Асимптотическая диагонализация полиномиальных квантовых гамильтонианов

В ряде задач квантовой оптики [1, 2] процессы взаимодействия излучения с веществом моделируются гамильтонианами, полиномиальными в терминах операторов рождения и уничтожения, действующих в симметричном пространстве Фока [3]:

p

Й = ^ w- a+ a- +       Ьав a ^{+ а}а-^в + ^h-^c- (^1Л)

к =1             ( а,в ) GJ

В (1.1) принята, мультиипдекспая запись мо-α αp пома aa = a 11 ...ap . где? ипдсксы а (п апало-гично в) принадлежат некоторому подмножеству p целочисленной р-мернои решетки Z +, в соответствии с размерностью задачи, определяемой количеством типов р частиц, так что вектор показателей степеней (а, в) € J С Z+p принадлежит некоторому конечному подмножеству J целочисленной 2 р-мерной решетки Z+p. Вет шины шi и Ьав — действителы 1ые постоянные, h.c. означает эрмитово сопряжение.

Операторы a± действуют в гильбертовом пространстве функций H, реализованном как L2 (Rp).  Стандартный ортонормированный ба зис этого пространства, состоящий из собственных р + - векторов оператора Йо = У) шka+ a-, обознача-=1

ется через {|n)} . Onejштор n_к = a+ a- называется оператором числа, частиц.

Пусть {|n)_k} — базис, отвечающий частице k -ro типа. Операторы a± и П- действуют на векторы своего базиса, по формулам [3]:

a-Vni- = Vnn- 1 i-, a-ni- = Vn +1|n + 1i-, n- lni- = VnN-. (1.2)

Для нескольких типов частиц, с каждым из которых связывается свое гильбертово пространство, базисом является тензорное произведение соответствующих одночастичных базисов: |n = = n i i i... vnpip.

Задача, решаемая в данной работе, состоит в отыскании асимптотики собственных значений и собственных функций гамильтониана. (1.1) при больших числах заполнения, т. е. при больших собственных значениях оператора, числа, частиц.

Если множество J состоит только из элементов 0 и 1, гамильтониан (1.1) является квадратичным по операторам a± и может быть диагонали-зован каноническим преобразованием Боголюбова. [3]. Если взаимодействие имеет более высокий порядок по степеням а, в, точное диагонализующее преобразование в терминах операторов a± в общем случае не известно, причем оно заведомо не будет каноническим.

При малых числах заполнения спектр и собственные функции могут быть найдены приближенно по теории возмущений. С одной стороны, сами полиномиальные модели вида. (1.1) носят приближенный характер, и при сколь угодно больших числах заполнения могут быть неадекватны исходной постановке задачи. С другой стороны, при достаточно больших числах заполнения, по таких, что ряд теории возмущений все же сходится, низшие приближения могут давать весьма, неточные оценки, а. вычисление высших поправок трудоемко. В этом случае практическую важность приобретают методы асимптотического анализа, спектра, гамильтониана, и нахождения соответствующего диагопализующего преобразования, т. е. асимптотических собственных функций. Идея построения такого преобразования при больших числах заполнения состоит в следующем.

Во многих практически важных примерах, содержащихся, например, в [1], гамильтониан (1.1) имеет полный набор законов сохранения. Если среди этих законов существует один, обеспечивающий ограниченность всех чисел заполнения, то на. соответствующем инвариантном подпространстве задача, на. собственные значения в терминах чисел заполнения становится конечной. На этом подпространстве находится степенная асимптотика, спектра с точностью O (1 /N) (главная асимптотика), где N есть собственное значение вышеуказанного «копечпомерящего» закона, сохранения [4]. Каждому значению N отвечает конечная эрмитова, матрица, гамильтониана, на. данном инвариантном подпространстве и соответствующая функция распределения его собственных значений. Затем изучается сходимость последовательности функций распределения собственных значений при N ^ + го.

В данной работе формулируется метод асимптотической диагонализации полиномиальных гамильтонианов вида. (1.1), имеющих полный набор законов сохранения.

II. Матрица полилинейного гамильтониана

Чтобы избежать непринципиальных технических трудностей, связанных с громоздкостью алгебраических вычислений, рассмотрим подробно относительно простой полилинейный гамильтониан, являющийся частным случаем (1.1):

p

H = a+ a- + B k = 1

(a + П

\   k = 2

ak

+ h.c.

(2.1)

Заметим, что при построении главной асимптотики спектра, из всей суммы в (1.1) следует оставить только один моном, старший по степеням операторов а±, и (2.1) представляет частный случай такого монома.

Гамильтониан (2.1) имеет полный набор сохранения [4], т. е. является полностью интегрируемой по Лиувиллю динамической системой. Эти законы сохранения линейны по операторам числа, частиц:

представляется в виде разложения по фоковскому базису |n = |n i ) 1 ... |np)p:

В силу выбранных законов сохранения n ₂ = = n з = • • • = np. .a. n 1 + np = N. Следовательно, в р -компоиеитиом коэффициенте u(N’.„n, разложения p — 1 компонент связаны законами сохранения, и потому независимым является только один параметр np, который на данном подпространстве может принимать любые целочисленные значения от 0 до N. В результате разложение |ф_N) имеет ВИД

N

IФN i = E ujN ) N — ji 1 j 2 ... jip.      (2.3)

j =0

Действуя на. вектор (2.3) оператором (2.1) и используя правила. (1.2), получаем из уравнения Н|ф_Ni = Е ⁽ N ) |ф_Ni систему для определения компонент собственной функции u⁽ N ) =

( N ) ( N )        ( N )

= ( u 0 ,u 1 ,. .. ,uN

H(N)u(N) = x(N)u(N), x(N) = E(N) — Ш1N, (2.4) B где H(N) — симметричная трехдиагональная (яко-бисва) (N + 1) х (N + 1)-матрица:

^Н kj = p 9 k + 1 ,N6k,j +1 ⁺ C k,N 5k,j ⁺

+ p 4k,N⁵k,j- 1 , k,j =0 , 1 , ..., N, (2 . 5)

qk,N = kp- ¹ ( N — k + 1) ,

~ k ( ж X !       (2-6)

ck,N = B    ^ 1 ⁺ / , ^i .

^B         i =2

Таким образом, задача, на. собственные значения для гамильтониана. (2.1) сводится на инвариантном подпространстве к определению спектра, якобиевой матрицы вида. (2.5) с элементами (2.6).

N = П1 + np ; Ik = nk — np, k = 2 , 3 ,...,p — 1 .

(2.2)

III. Существование асимптотической функции распределения спектра

Законы сохранения I_k в (2.2) фиксируют разности между числами заполнения частиц указанных сортов, а закон сохранения N ограничивает их область изменения. Для сокращения вычислений удобно положить собственные значения операторов I_k равным!I нулю: Ik = 0. Влияние выбора этих постоянных на. спектр гамильтониана, при переходе к асимптотике N ^ + го имеет порядок O (1 /N ), т. е. несущественно в главной части.

Итак, рассмотрим задачу па. собственные значения Нф = Еф для гамильтониана (2.1), ограниченного па. подпространство законов сохранения (2.2). Соответствующие величины будем снабжать индексом N. Собственная функция |ф_N)

Найдем главную часть спектра, гамильтониана (2.5) по N. С этой целью построим главную асимптотику ст ( x ) точечной плотности спектра

1 ^N

^CTN ^{( x} ) = N +TX ⁵ (x^{— x}j^N ))     (^ЗЛ)

^{+ 1} j =0

( N )

конечномерной задачи при N ^ + го, г де xj

собственные значения матрицы (2.5). Существование предельной функции ст ( x ) устанавливается следующей теоремой.

Теорема 3.1. Пусть матрица, гамильтониана, на инвариантном подпространстве является якобиевой, а. ее элементы определяются в (2.6). Тогда.

на отрезке [ -R,R ]. г,те R = 2^( р — 1) ^{p 1} /р . существует предельная плотность а ( s ) распределения нормированных собственных значений s ^{( N} ) = = x ^{( N} ) / ( N + 1) ^{p/ 2}. являющаяся слабым пределом последовательности aN ( s ) (3.1) при N ^ + го. □

Доказательство. Рассмотрим моменты плотности (3.1), т. е. средние значения степеней матрицы (2.5):

Д n,N = j xnaN ( x ) dx = n + 1 Tr ( H ^{( N} )) . (3.2)

В частности, сумма собственных значений равна

Ц 1 ,N =

N + 1

N

52 ^E k-N = k =0

— - XX k =

N + 1 B^

k = 1

p fi = —1 + ^Wi, i =2

N fi

2B’

(3 . 3)

а. сумма, их квадратов равна.

^Д2 ,N = OR ₂ (^{1 +     + S}P- 1^{( N ) + S}P- 1⁽ N - 1) -

3 B      2 N

— N TT( Sp ( N ) + Sp ( N — 1)) • (3 • 4)

В (3.4) использовано обозначение Sp ( N ) для суммы р -х степеней натуральных чисел от 1 до N.

Поскольку порядок Sp ( N ) равен ( N +1) ^р, то при р >  2 главная часть по N второго момента распределения (3.1) определяется побочной диагональю матрицы (2.5) и имеет порядок ( N + 1) ^p. Введем нормированные собственные значения по формуле

s ^{( N} ) = x ^{( N} )( N +1) ^{- p/ 2} .          (3.5)

Моменты распределения величин s(N), в отли чие от моментов (3.2), будем обозначать цn,N (без тильды): ^n,N = Дn,N (N + 1) np/2

Элементы главной диагонали матрицы

H ВТ ^{( N} )) n

представляют собой полиномы по k, по рядок которых равен 1 + (п — 1)р/2 для нечетного п и пр/2 для четного. Поэтому главная часть мо

ментов нечетного порядка ц _{2 п} +1 ,_N имеет порядок ( N + 1)^{1 р/ 2} и стремится к нулю с ростом N. поскольку р >  2. Главная часть моментов четного порядка ц _{2 n},N имеет порядок O (1).

При фиксированном N матрица H(N) ограни чена, поэтому существует предел

RN = lim (Дn,N )1 /n = lim (Д2nN)1 /(2n) , n→∞         n→∞ являющийся спектральным радиусом оператора. Гамильтона, на. данном инвариантном подпространстве. Спектральный радиус оператора, с нормированными собственными значениями по формуле (3.5) есть

R n = lim ( ц 2 n,N )1 ^{/ (2} n ) = RR n ( N + 1) ^{- p/ 2} , (3.6) n→∞

• т.    e. предел lim ( ц ₂ nN )1 / ^{(2 n} ) также существует. n→∞    ^,

В силу полиномиальной зависимости от N моментов Д _n,_N, момеиты ц_n,_N представляют собой полиномы по степеням 1 / ( N + 1), причем с положительными коэффициентами. Тогда, последовательность ( ц _{2 n},N )⁽¹ / ^{2 n} ) мажорируется сходящейся последовательностью ( ц _{2 п}, ₀)⁽¹ / ^{2 n} ) и потому сходится равномерно по N. В силу равномерной сходимости можно сначала, найти предел

Цп = lim Цn,N,             (3.7)

N→∞ а затем перейти к пределу lim (ц2п)1 /(2п) = n→∞

= lim R_N = R.

N→∞

Введем тогда, в представлении матрицы (2.5) новую переменную t е [0; 1], определиемую как t = = k/N. и положим q (t )= tp- 1(1 — t).              (3.8)

Используя (3.8), находим, что предельные значения моментов (3.7) равны

^Ц 2 п

= Ш )1^{qn (} t ) ^dt = 0

(2 п )! (( р — 1) п )! п ! ( рп + 1)!

Ц 2 п +1 = 0 . (3 . 9)

Из (3.6) и (3.9) находим спектральный радиус нормированного оператора:

R = lim ( ц 2 п )1 / ^{(2 n} ) = 2Р( р — 1) ^{p 1} /р^р.   (3.10)

n→∞

Итак, при N ^ го моменты нормированных собственных значений (3.5) существуют и конечны. Опи являются моментами плотности распределения, к которой в слабом смысле сходится последовательность плотностей (3.1) нормированных собственных значений. Существование этого предельного распределения следует из теоремы Хелли [5], согласно которой у любой последовательности вероятностных мер существует хотя бы одна предельная точка. Обозначим ее а(s). Далее, в силу конечности спектрального радиуса. (3.10), ∞ числовой ряд P (ц2п)-1 /(2п) очевидно расходится, п=0

что означает выполнение условия теоремы Карле-маиа об одиозиачиой восстановимости плотности меры а(s) по ее моментам. Таким образом, существует предельная плотность а (s), такая, что lim

N→∞

R N

^ aN ( s ) sⁿ ds

-R N

R j a(s)sn ds

Цп. (3.11)

Теорема. 1 доказана.

Напомним теперь [6], что с системой моментов (3.11) плотности меры ст ( s ) связана система полиномов, ортогональных относительно этой меры на промежутке ( -R,R ), причем каждые три последовательных полинома, связаны рекуррентной зависимостью:

Pk +1( s ) = sPk ( s ) - gkPk- 1( s ) ,

P— i = 0 , P о = 1 ,

(3.12)

где последовательность gk представляет собой отношение определителей матриц, составленных из моментов меры:

		= Gk Gk- 2
gk		" ( Gk- 1)2 ’
	ц 0	ц 1         . . .	µk	(3.13)
Gk =	ц 1 ...	ц 2        . . . ...     ...	Цk +1 ...	.
	µk	цk + 1     .. .	Ц 2 k

Тем самым определены компоненты асимптотической собственной функции, отвечающей нормированному собственному значению s. В базисе из этих функций гамильтониан — в данном случае (2.1) — диагоналей, на диагонали стоят его собственные значения. Соответствующее преобразование базиса, влечет за. собой и преобразование операторов рождения и уничтожения, в терминах которых гамильтониан диагоналей. Это преобразование является каноническим (сохраняет коммутационные соотношения) только при р 6 2.

h.c. вектор в- напротив, имеет первые s компонент нулевых, а остальные р — s его компонент положительные.

Введем обозначения:

а^а = П аа ^ , в^в = П вв, Ы = X аk. (4.1) kkk

Аналогом нормировки (3.5) тогда, является соотношение

( N ) = x ( N ) N- ( |a| + |в| ) / 2 ,            (_{4 2})

а. аналогом величины (3.8) - формула.

q ⁽ t ) |а Ш а| + |в| t^ ^{(1 аst} ) । । . ^{, 4}'³⁾ α_s βp

Спектр укороченного гамильтониана асимптотически расположен симметрично относительно нуля, моменты четного порядка имеют вид

1 /a s

Ц 2 n = lim ц 2 n,N =           qⁿ ( t ) dt =

N→∞n

/ 2 n \ а^ав^в n Г( |а|п +1)Г( |в|п +1) \ n) ( аsвp ) ^{| a | +} 1^в( Г( |а|п + |в|п + 2)

, (4 . 4)

где Г есть гамма-функция Эйлера. Спектральный радиус равен

R = lim ( ц 2 n )1 / ^{2 N} = 2 VQZ ; n→∞

IV. Асимптотика спектра укороченного гамильтониана

Q =

ααββ

( аsвp ) ^{| a | + | в |} ’

(4.5)

Аналогичные рассуждения могут быть про

Z =

|α| ^{| α |} |β| ^{| β |}

( |а| + |в| ) ^{| а | + | в |} .

ведены и в случае укороченного гамильтониана, общего вида. (1.1), когда, в сумме оставлен самый старший по порядку взаимодействия моном. Предполагается, что такой моном единственный с точностью до h.c., причем он обладает полным набором законов сохранения, линейных по операторам числа, частиц. Достаточные условия для этого p сформулированы в [7]: оператор I = 52 Cknk ком-k=1

мутирует с гамильтонианом (1.1), если вектор коэффициентов C ортогонален линейной оболочке векторов а — в, составленных из показателей степеней операторов a±: (C, а — в) = 0. Если эта оболочка одномерна, то гамильтониан имеет р — 1 линейно независимых законов сохранения указанного вида. Для монома, это имеет место, если вектор а содержит хотя бы одну нулевую компоненту, по в целом отличен от пулевого вектора.

Пусть для определенности вектор а имеет строго положительные компоненты а 1, ..., а_s на s первых мостах: 1 6 s < р . а остальные р — s компоненты равны пулю. В силу наличия слагаемого

Используя (4.4) - (4.5), можно получить аналитическое выражение для характеристической функции предельной плотности распределения спектра:

R

х ⁽ z ) = У

-R

ст ( s ) exp( isz ) ds

_ ^ ( — 1) k    2 k

52 (2k)! ц2kz k=0

1 /as j jo(zpq(t)) dt,   (4.6)

где J o( z ) — функция Бесселя нулевого порядка, а q ( t ) определена в (4.3). Для каждого набора мультииндексов а, в формула (4.6) определяет специальную функцию х_а,в ( z ) которая отвечает за. асимптотику спектра, соответствующей модели рассеяния.

Из хода, доказательства, теоремы 1 вытекает, что в главной асимптотике спектра, не участвуют диагональные элементы матрицы (2.5), что связано с тем, что они имеют меньший порядок по N по сравнению с элементами побочной диагонали. Поэтому главную диагональ матрицы гамильтониана в представлении (2.5) можно считать асимптотически пулевой. Отметим, что диагональные элементы могут быть и точно равны пулю: это возможно, когда параметр П, введенный в (3.3), равен нулю. В общем случае (1.1) величина П определяется равенством

П=( в - а,_Ш ) /вр. (4.7)

В квантовой оптике случай П = 0 называется «точным резонансом». В этом случае вектор частот пропорционален какой-либо линейной комбинации законов сохранения. Таким образом, рассмотрение гамильтониана комбинационного рассеяния при больших числах заполнения показывает, что в асимптотике реализуется случай точного резонанса.

Соотношения (3.12), (3.13) и (4.5), (4.6) составляют основу метода, нахождения асимптотики спектра, полиномиальных квантовых гамильтонианов, укорочение которых имеет полный набор законов сохранения.