Асимптотические свойства предельных множеств Азарина
Автор: Нгуен В.К.
Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j
Рубрика: Математика, информатика и инженерия
Статья в выпуске: 12 (102), 2023 года.
Бесплатный доступ
Теория меры играет важную роль в теории субгармонических и -субгармонических функций. Классические свойства меры были представлены во многих монографиях, например, в [1]. В статье представляется усиление варианта Азарина теоремы о предельных множествах радоновых мер. Результаты нашей статьи позволяют несколько упростить конструкции из этих работ.
Мера хана, мера жордана, сингулярная положительная мера, линейный непрерывный функционал, радоновая мера
Короткий адрес: https://sciup.org/140302739
IDR: 140302739
Текст научной статьи Асимптотические свойства предельных множеств Азарина
К С
А t
Пусть р (t) - некоторый уточнённый порядок. На пространстве определяется однопараметрическое семейство преобразований Азарина ^с ^ ^с, tе(0,да), согласно формулам рДЕ\ = pt = Atp, ' ■
Для любого борелевского множества E .
Пусть ^ е Ф 1 R о). Формула переменных даёт

™-*х
< Г 6 К, : г = lim Л и. lim г
Пусть множество
предельным множеством Азарина и обозначим через
будем называть .
В случае вещественных радоновых мер наряду с предельным множеством Азарина Fr [ И ] важными асимптотическими характеристиками меры μ являются её верхняя конусная плотность и нижняя конусная плотность , а также верхняя плотность и нижняя плотность
. Пусть – некоторое фиксированное число, – борелевское подмножество единичной сферы в пространстве , .
Тогда указанные высшие величины определяются следующим образом

?

Заметим, что величины и
имеет смысл определить только в
случае, если уточнённый порядок
_ /^hm^(r)>0
таков, что
особенно наглядно для случая положительной меры. В случае
Это
Р >0
величины и не зависят от выбора числа
Заметим, что величины и не зависят от для любых уточнённых порядков . Эти величины имеют смысл рассматривать для любых уточнённых поряд-ков. Эти величины являются важными характеристиками мер, как в случае , так и в случае .
В общем случае, когда нет связи между мерой и уточнённым порядком каждая из четырёх величин является элементом расширенного множества вещественных чисел . Обычно величины , рассматривают как функции на пол-уоси . Однако, иногда удобно считать эти величины функциями на полуоси .
Из свойств пределов и уточнённого порядка р ( r ) вытекают следующие соотношения



р = р ^ = lim р ( r ) где r ^”

В общем случае функция
является не числовой
функцией, а фун-кцией со значениями из расширенной числовой прямой . Поэтому в неравенс-твах (3)-(6) правая часть не всегда имеет смысл. Если в каком-то из этих неравенств правая часть не имеет смысла, то соответствующее неравенство нужно считать пустым утверждением. По другому можно сказать так. Мы считаем, что неравенства , выполняются для любого .
Пусть мера μ положительна, то функция будет возрастающей. В этом случае из равенства (4) следует, что если конечна для
некоторого а >0, то она конечна для любого а >0. Отметим ещё, что для вещественных мер из неравенств (4), (6) следует, что если функция ограничена сверху на некотором интервале (0, ^), то она ограничена сверху на любом интервале (0 ,а), а если функция " : _ ограничена снизу на некотором интервале (0 ’^), то она ограничена снизу на любом интервале (0 ,а
Легко видеть, что для того, чтобы обе функции
и
были
непрерывными на полуоси выполнялись равенства
необходимо
и достаточно, чтобы
lim Ма,£) = 0
lim £(#,£) = О
Обозначим функцию
. Иногда мы будем рассматривать
А’ОЛ^И
-—/z((rsr + ar]x£j
= hm——--------
. (7)
Иногда возникает необходимость оценивать функцию с помощью
функций и полезна функция
" ~ . В этом случае наряду с функцией V ( r ) = r P

Как показывает опыт, применение функции 5 i ( r ) становится неэффективным, если эта функция является ограниченной. В случае ограниченности функции 5 1 ( r ) применяют функцию
$2 | —— dt
С помощью правила Лопиталя получаем, что

( 5 1 ( r ) — не ограничена)
Имеем

Поскольку
V ( ur )
V ( r ) ^ up
r -> то u £ [ 1 , e ]
то

Из этого следует, что V ( r ) ^ 0 ( r ^то ) , если 5 1 ( r ) - ограниченная функция.
Вновь применяя правило Лопиталя, получим lim
( 5 1 ( r ) - ограничена)
Из этих равенств видно, что функции 5 i ( r ) и 5 2 ( r ) особенно важны в случае ■ “ ' " _ '. В этом случае функции s i ( r ) и ^ ( r ) , а также функции 5 2 ( r ) и ^ ( r ) имеют различный рост на бесконечности.
Теорема 1. Пусть – произвольный уточнённый порядок, –
множество из единичной сферы, пусть , . Тогда, если при выполняется неравен-ство


то равномерно на сегменте выполняется неравенство

Последнее означает, что функция
7|/ + ^£)-/(л£)
Равномерно на сегменте стремится к нулю при
Доказательство. Обозначим , , ,
. В новых обозначениях неравенство (4.13) выглядит так

[-ln27h(U29
Если утверждение теоремы неверно, то существуют последовательность х„ а а El O.k(L-i)1 „ а а и посл-едовательность такие, что выполняется неравенство

а = I Ortnit’_| lr_2rh’_ ("1 - 2^)—hl У i I
Пусть . Обозначим
£„ = [ t +
– возрастающая последовательность измеримых множеств. Из неравенства t°^l _ Ет™^=<>
-
(4.14) следует, что . Поэтому .
Далее обозначим
F„ = 7€[-4?sln(l+ s)]: ^(x^ + rJ-^x^+rjt-/?) < 2^(xt + rt-/?) V£>m}
– также возрастающая последовательность измеримых множеств. Из

неравенства (12) следует, что
Поэтому
bm mesF„ = In (1 + b) + 5
Пусть
Обозначим
(арифметическая разность множеств).
Справедливы вклю-чения
Е, и являются частью сегмента
Сумма мер этих множеств больше длины указанного сегмента. Поэтому aeE;rF' a = r пересечение этих множеств не пусто. Пусть p . Тогда , где
P^F,
. Поэтому выполняются неравенства
6>(x„ +й )~ ^(- k„ ) < 2ЛФ(х„)
, p (x„ + r„) - ф |xp + r, - /?) < 2ЛФ (x5 + г, - P ) .
оо , х, + а = х„ + г„ -р
Складывая эти неравенства, и учитывая равенство , получим
Обозначим . Далее находим


Так как а е (0;J , то при достаточно малых <5 и достаточно больших -:' будет х. + г.)—х.) < 5ЛФI х. J выполнять-ся неравенство . Это противоречит
-
(4.15). Теорема доказана.
Сейчас мы сформулируем условия, обеспечивающие существование предела
lim /z((r,2?]x£ j
. При выполнении этих условий функцииобозначены
одним символом
совпадают.
Теорема 2. Пусть pV? . такой уточнённый порядок, что функция ограничена. Пусть “ – мера Радона на полуоси IR0 такая, что её функции №=£) ■A4ti) x PM
, , вычисленные относительно уточнённого порядка ограничены на некотором интервале (07d . Тогда для любого r- > 0
существует предел hni /z| (r.7?]x£ j
.
Доказательство. Из локальной ограниченности меры “ следует, что теорему доста-точно доказывать для случая r > 1 . В дальнейшем мы будем считать, что это неравенство выполнено.
Как уже отмечалось раньше ограниченность функций , на какомнибудь интервале (07d влечёт их ограниченность на любом интервале
I O.iz) ^) Т . ^ J г
. Из этого, конечно, следует, что для любого величины
Х^-.Е1, конечны. Из доказательства лемм 4.3 и 4.4 легко усмотреть, что существует не зависящая от ^ величина м такая, что при г 5 1 выполняются неравенства


Из этих неравенств и ограниченности функции
■ ■ следует сходимость ряда

Из ограниченности функций ЕЧ.а.Е\ , ХАа-Е'\ на любом интервале '. 0:с .1 следует их ограниченность на любом сегменте [с = ^] "1-1^1. Тогда, как следует из теоремы 1, применённой к мерам “и А для любого » > 0 существует постоянная м такая, что для любых а е [0:6] и любого г 5 1
выполняется неравенство
.
Мы уже отмечали, что из ограниченности функции S. । г । следует, что 7 (г) ^ 0 (> ^ =С') .
Список литературы Асимптотические свойства предельных множеств Азарина
- Kadets, V.M. (2006), A course of Functional Analysis, Kharkov National University.
- Van Quynh Nguyen (2015), Various Types of Convergence of Sequences of Subharmonic Functions, Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom,Volume 11, Number 1, 63-74. EDN: THNOAL
- Nguyen Van Quynh, Theorem on uniform continuity of Logarithmic potential, Visnyk of science and education, Issue 5 (59), 6-10p.
- Nguyen Van Quynh, Le Anh Thang (2021), THEOREM ON THE REPRESENTATION MEASURES "Мировая наука" №3 (48) 2021.
- Nguyen Van Quynh, Le Anh Thang (2021), THEOREM ON A COMPACT SET IN THE SPACE OF RADON MEASURES "Мировая наука" №11 (56) 2021.