Асимптотические свойства решений линеаризованных уравнений движения слабо сжимаемой среды

Для математического описания механики жидкостей, как правило, используется модель несжимаемой жидкости. Данная модель является идеализацией, так как любая реальная жидкость, существующая в природе, является слабо сснсимае-мой. В связи с этим возникает задача, об исследовании свойств решений уравнений слабо сжимаемой среды, в частности, сходимости этих решений к решению уравнений несжимаемой жидкости.

Поведение решений уравнений сжимаемой среды при стремлении числа. Маха, к нулю¹ исследовалось в работах [1-4]. В частности, было доказано (см. [1, 4]) существование последовательности слабых решений иачальио-краевой задачи для этих уравнений, для которой поле скорости сходится слабо к полю скорости несжимаемой жидкости. Однако с физической точки зрения сильная сходимость поля скорости (а. также давления) является более естественной и поэтому также представляет значительный интерес.

Сильная сходимость поля скорости была, установлена. для искусственной системы уравнений сжимаемой среды, используемой при численном решении уравнений несжимаемой жидкости методом искусственной сжимаемости (см., например, [5. III. § 8]). Также была, установлена. * -слабая сходимость градиента, давления. Сильная сходимость давления не исследовалась.

При некоторых условиях сходимость решений уравнений сжимаемой среды не может быть сильной. Так, в [6] было получено необходимое условие сильной сходимости классических решений уравнений сжимаемой среды при стремлении коэффициента. сжимаемости к пулю. Это условие представляет собой ограничение на. начальное условие для уравнений несжимаемой жидкости и, во обще говоря, не выполняется. В силу отсутствия па. данный момент глобальных теорем существования классических решений уравнений сжимаемой среды [2] актуально исследование необходимых и достаточных условий сильной сходимости для слабых решений.

В данной работе рассматриваются линеаризованные уравнения движения слабо сжимаемой среды. Эти уравнения описывают первую поправку к решению уравнений несжимаемой жидкости, обусловленную сжимаемостью среды. Опи значительно проще исходных нелинейных уравнений, что делает возможным более детальное исследование влияния коэффициента, сжимаемости па. их решения. Линеаризованные уравнения сжимаемой среды представляют и самостоятельный интерес (например, в [7] исследовались спектральные свойства, оператора, соответствующего стационарным линеаризованным уравнениям сжимаемой среды).

В большинстве работ рассматривались уравнения движения сжимаемой среды, линеаризованные вблизи состояния покоя (см. [8,9]). В [9] была, получена, априорная оценка, для сильного обобщённого решения иачальио-краевой задачи для таких уравнений в ограниченной области D с R³, однако влияние коэффициента, сжимаемости на. константы, входящие в эту оценку, не исследовалось. Существование сильного обобщённого решения задачи Коши в R³ для уравнений было установлено в [8]. Вопросы существования и единственности слабых решений в указанных работах не рассматривались.

В данной работе приводятся достаточные условия существования и единственности слабых решений иачальио-краевой задачи для общих линеаризованных уравнений слабо сжимаемой среды.

Исследуется сходимость этих решений при стремлении коэффициента, сжимаемости к пулю. Основные результаты по сходимости состоят в следующем:

• •    В общем случае поле скорости сходится слабо.

• •    Если начальное условие для поля скорости соленоидально, то поле скорости сходится сильно и поле давления сходится слабо.

• •    Если, кроме того, начальное условие для давления совпадает со значением давления в несжимаемой жидкости в начальный момент времени, то сходимость поля давления является сильной.

II.    Обозначения

Рассмотрим ограниченную область D С R d (d е N. d >  2) с кусочно-гла,дкой границей dD. Пусть T >  0. Q t = D х (0 , T ).

В данной работе используются стандартные обозначения для пространств Лебега L ²( D ), Соболева. H 1( D ). Лебега-Бохнера. Lp (0 , T ; X ) (г,те X — банахово пространство, p >  1 ил и p = го ) и т. п. (см., например, [10]). Множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным в G С R k (к е N) носителем об<означается как D( G ). Топология в D( G ) вводится стандартным образом (см., например, [10, с. 179]); сопряжённое к D( G ) пространство обозначается как D 0 ( G ).

Замыкание D( D ) в H 1( D ) обозначим через H 1( D ). Пространство, сопряжённое к H 1( D ). обозначим через H- 1( D ). Сопряжённое к H 1( D ) d пространство можно отождествить с H- 1( D ) d.

С помощью ( •, • ), в зависимости от контекста, будем обозначать стандартное скалярное произведение в R k либо скалярное произведение в L ² ( D ) k. т. с. ( u , v ) = f uivi dx.

D

Пусть X — банахово пространство. X* — сопряжённое к нему, xn С X, fn С X* x е X, f е е X*. Введём обозначения hf,xi = f (x);

xn * x ^ xn сходится к x слабо в X ;

fn + f ^ fn сходится к f * -слабо в X *.

Пусть J( D ) — пространство бесконечно дифференцируемых финитных соленоидальных векторных полей (т. е. функций D ^ R d ). Пусть J ( D ) и V ( D ) — зам икания J( D ) в L ²( D ) d i1 H 1( D ) d соответственно. Обозначим через P j ортогональный проектор L ²( D ) d и a J ( D ), часто называемый проектором Лерэ-Гельмгольца.

III.    Линеаризованные уравнения слабо сжимаемой среды

Рассмотрим вязкую баротропную среду с уравнением состояния % = F (p), г де % и p — плотность и давление соответственно. Линеаризуем это уравнение в окрестности некоторого значения давления pref.

% = F ⁽Р) ~ F ⁽P ref ) ⁺ F0 ⁽P ref ⁾⁽P - P ref ) • Обозначим F (p _re f ) = % о >  0. F 0 (p _re f ) = а. С (физической точки зрения 1 /а = ^ p = с ² >  0, г де с — скорость звука. Итак, линеаризованное уравнение состояния имеет вид

% = % о + а (p - p ref ) .

При линеаризации уравнений движения сжимаемой баротропной среды с таким уравнением состояния получается следующая система, уравнений для поправок р, u и p к плотности, скорости и давлению соответственно:

pt — (Ь, V)р + ср + div u = ст, ut + Vp = —Au + pf + s,        (3.1)

P = ap, где

—Au = pAu+nV div u — [(u, V)b1+(div b2)u+ + (Ьз, V)u], p,p,c,CT — скалярные поля (т. e. функции D х (0 ,T) ^ R).                     '

• Ь , Ь 1 ,2, ₃ , u , f , s — векторные поля (т. e. функции D х (0 , T ) ^ R ^d ). npi 1чём Ь IdD = 0.

Коэффициенты вязкости p >  0 и n >  0 предполагаются постоянными. Число а >  0 называется коэффициентом (фактором) сжимаемости [6].

Поля Ь , Ь 1 ,2, ₃ и с определяются полем скорости v, в окрестности которого проводится линеаризация: Ь 1 ,2, ₃ = v = — Ь, с = div v. Однако наряду с этим «основным» случаем мы будем рассматривать и «обобщённый» случай, когда, все поля различны.

Поставим для уравнений (3.1) следующие начальные и краевые условия:

u |dD = 0 , u |t =о = u o, pit =o = po.      (3.2)

Решение задачи (3.1), (3.2) зависит от фактора, сжимаемости а:

{ u ,p} = { u a,pa}.

Основной целью данной работы является изучение поведения решений при а ^ 0. Однако перед исследованием этого предельного перехода, необходимо дать определения слабого решения задачи (3.1), (3.2) и слабого решения соответствующей задачи для несжимаемой жидкости.

IV.    Существование и единственность слабых решений

Предположим, что

• 1.    Ь 1 , Ь ₂ е U” (0 ,T ; W ¹ ,“ ( D ) ^d ):

• Ь ₃ е U” 0 ,T ; L” ( D ) ^d.

• 2.    Ь е L 1(0 ,T ; H К D ) ^d ):

• с, div Ь е L 1(0 ,T ; L” ( D )).

• 3.    f Е L ²(0 ,T ; L” ( D ) d ): ст Е L ²(0 ,T ; L ²( D )): s Е L ²(0 ,T ; H- 1( D ) d ).

• 4.    u o Е L ²( D ) d p o Е L ²( D ).

Обозначим po = apo.

Определение 4.1. Пара

{ u ,p} Е L ²(0 ,T ; H 1( D ) d ) x L” (0 ,T ; L ²( D ))

называется слабым решением задачи (3.1), (3.2), если для Vф Е D([0 , T )). V Ф Е D( D ) d ii Vp Е Е D(R d ) i d

T

j ⁽ p, p ) ^t dt - ⁽ po, p ) ^{ф (0)}+

+ j {( P [ c + div b ] ,p ) + ( p b , Vp )+

⁰              +(div u — ст, p ) ^ dt = 0 ,

T uo, Ф)ф (0) + J hVp, Фi фdt =

T j (u, Ф) Фt dt - (

0              T

= У { h-A u , Ф i + ( P f , Ф) + h s , Ф i } Ф dt. 0

Здесь p^D обозначает суяеение функции p на. область D:

hVp, Ф i = — ( p, div Ф) .

Оператор A: H1(D)d ^ H- 1(D)d для гладких функций u определяется по формуле hAu, Фi = = (Au, Ф), а на остальные функции продолжается по непрерывности.

Теорема 4.1. Пусть выполнены предположения 1-4. Тогда, задача. (3.1), (3.2) имеет единственное слабое решение { u ,p}. При этом | |u ||L ₂( D ) _d + + a|p|L 2( D ) Е W ^{1 ,} 1(0 , T ) и для п. в. t Е [0 , T ] выполняется равенство

2 ( I I u I I L 2( D ) d ^{+ a | p |} L ²( D )) t ⁺

)

+ \p 2 div b + c , Р) +

+ hA u , u i = ( p, ст ) + a ( p f , u ) + h s , u i.

При этом существует константа C, зависящая от A . b. c. D 11 f. такая, что при 0 < a <  1 справедлива. оценка:

• ^{1    u} V l 2 (0 ,T ; H 1 ( D ) ^d ) ^{+ 1 u} H l ” (0 ,T ; L ²( D ) ^d ) ⁺

⁺ V^{a | p |} L ” (0 ,T ; L ²( D )) 6

• ⁶ C^Va^po^L ²( D ) ^{+ 1 u} o^L ²( D ) ^{d +}

^{| CT |} L ²(0 ,T ; L ²( D ))

⁺ h ^s H l ²(0 ,t ; h - 1( D ) ^d ) ⁺           /0

. ¤

Замечание 4.1. Для слабого решения задачи (3.1), (3.2) при V p Е D(R ^d ) ^D и п .в. t Е [0 , T ]

( Р ( t ) - Po,p ) + j {( Р [ c + div b ] ,p )+

+( p b , Vp ) + (div u — ст, p ) О dt = 0 .

V.    Уравнения несжимаемой жидкости

Предположим теперь, что po, uo, s и ст в (3.1), (3.2) зависят от a, то есть po = poa, uo = ua, s = sa, CT = CTa , причём ста ^ 0 и s a ^ s пр и a ^ 0. Тогда уравнения (3.1) формально переходят в нестационарные уравнения Стокса, для несжимаемой жидкости:

div v = 0 , v _t + Vq = —A v + s .

(5.3)

Поставим для уравнений (5.3) следующие начальные и краевые условия:

v | ₉ D = 0 ,    v |t =0 = v o.            (5.4)

Определение 5.2. Пара

{ v ,q}Е L ²(0 ,T ; V ( D )) x D ⁰ ( Q t )

называется слабым решением задачи (5.3), (5.4), если (5.3) выполняется в D ⁰ ( D x (0 ,T )) и для Vф Е Е D([0 ,T )). V Ф Е J( D )

T

I ( v , Ф) фt dt — ( v o, Ф) ф (0) 0

T j h—Av + s, Фi ф dt.

Достаточные условия существования слабого решения задачи (5.3), (5.4) при b1 , ₂ , ₃ = 0 и А = 0 приведены, например, в [5]. Регулярность решений задачи (5.3), (5.4) изучалась В.А. Солоппико-вым (см., например, [11]).

VI.    Сходимость к решению уравнений несжимаемой жидкости

Пусть при каждом a Е (0 , 1) выполнены предположения 1-4. Пусть

^{ u a , ^pa ^} 0 1

— множество решений задачи (3.1), (3.2) (существование и единственность которых следует из теоремы 4.1). Пусть {v,q} — слабое решение задачи (5.3), (5.4) с начальным условием vo = Pjuo.

Теорема 6.2. Если при a ^ 0

^a^L 2(0 ,T; L 2 (D)) = O ( V°), sa + s bL 2(0,T; H - 1( D)d), ua - uo BL 2( D)d, VJl 2( D) = O /a=y то при a ^ 0

ua - vb L2(0,T; H1(D)d), ua + vb L” (0 ,T; L2 (D)d),       (G.5)

Vp _a + Vq _B D ⁰ ( D x (0 ,T )) .         □

Теорема. 6.2 согласуется с результатами, полученными в [1,4]. С помощью теоремы 4.1 можно усилить топологию сходимости (6.5)

Теорема 6.3. Пусть b Е L ²(0 , T ; L” ( D ) d ), с Е Е L ²(0 ,T ; L” ( D )). Плсть v t Е L ²(0 ,T ; H- 1( D ) d ) и q Е L” (0 ,T ; H 1( D )) П W ¹ - ²(0 ,T ; L ²( D )). Если u o Е J ( D ) и при а ^ 0

^a^L 2(0 -T; L 2( D )) = o ( V“ ), sa ^ s bL2(0,T; H- 1(D)d), ua ^ uo bL2(D)d, Ml2(D) = o ^A^y то при а ^ 0

ua ^ VB L2(0, T; H1(D) d), ua ^ VB L” (0 ,T; L 2( D) d).      □

Замечание 6.2. При b = b 1 , ₂ , 3 = 0 и c = 0 можно показать, что условие u o = P j u o является не только достаточным для сильной сходимости поля скорости u _a, 110 и необходимым.

Теорема 6.4. Пусть b Е L ²(0 , T ; L” ( D ) d ), с Е Е L ²(0 ,T ; L” ( D )). Пл-сть v t Е L ²(0 ,T ; H- 1( D ) d ) и q Е L” (0 ,T ; H 1( D )) П W ¹ - ²(0 ,T ; L ²( D )). Если u o Е J ( D ) и при a ^ 0

^a^L 2(0 -T ; L ²( D )) = O ^{( a} ) ,

• ^{1    s} a - ^s ^L 2(0 -T ; H- 1( D ) d ) = O ⁽V ^ ) ,

I Iu a - u o|_L 2( _D ) d = O ( Va ) , pa огранинено в L ²( D ) , то существует такая последовательность a_n ^ 0, n ^ ^. что

Pan +e В L” (0 ,T; L2(D)), где {v,q} — решение (5.3). (■5.4).                □

Замечание 6.3. Поскольку ей q могут отличаться, p_a может не иметь слабого предела.

Вернёмся теперь к «основному» случаю с = = — div b. Из замечания 4.1 следует, что в этом случае для линеаризованных уравнений сжимаемой среды выполняется закон сохранения массы:

Mt = ( ст, 1) = У kdx, где M ( t ) = У р ( t ) dx.

DD

Отсюда видно, что если а = 0, то J p ( t ) dx не за-

D biicht от t. Для несжимаемой жидкости J q(t) dx D в общем случае зависит от t, так как давление q определено с точностью до аддитивной функции времени. Однако для произвольного числа. A Е R эту функцию можно определить так, что J q(t) dx = A для п. в. t Е [0, T].

D

Теорема 6.5. Пусть область D — звёздная (см. [12]): b Е W1 ’2(0,T; W1 ’”(D)d). с Е Е W1 ’2(0,T; L”(D)). Vt Е L2(0,T; H- 1(D)d) 11 q Е Е W2-2(0,T; L2(D)) П W1 -2(0,T; H 1(D)). причём dt У q(t) dx = 0 при п. в. t Е [0, T].

D

I I^s a ^{— s} Д 2(0 -T ; H^- 1( D ) ^d ) = o ⁽ лД) ,

• ^{1    u} a ^{— u} o^L 2( D ) d = o ^{( Va} ) ,

poa ^ qo = q|t=0 В L2(D), то при a ^ 0

Pa ^ q В L” (0 ,T ; L ²( D )) . □