Асимптотическое поведение орбитального углового момента светового поля как суперпозиции мод Эрмита-Гаусса

Орбитальный угловой момент (ОУМ) электромагнитного поля рассматривался в литературе [1], в частности для лазерных мод Лагерра–Гаусса [2]. Как интегральный инвариант и специфическая характеристика светового поля, он представляет интерес для оптических микроманипуляций, передачи информации и т.п. [3, 4]. Насколько известно автору, понятие «оптический вихрь» было впервые введено в работе [5], и зачастую наличие ОУМ отождествляют с присутствием таких вихрей в световом поле. Как показано в работе [6], это не всегда справедливо. С другой стороны, хотя вращающиеся при распространении поля, или спиральные пучки [7, 8], обладают, как правило, ненулевым ОУМ, вращение не есть необходимое условие для его наличия. Это легко понять, если вспомнить, что параметры вращения определяются только индексами составляющих мод, тогда как ОУМ зависит также и от их весовых коэффициентов [7]. Более того, структурно устойчивые невращающиеся световые поля, обладающие ненулевым ОУМ, представляют отдельный интерес. В работе [9] рассматривался частный случай таких полей в виде суперпозиции двух мод Эрмита–Гаусса, а в работе [10] было показано, что в случае суперпозиции из трёх мод и более модуль удельного ОУМ может быть больше, чем максимальный модовый индекс в суперпозиции. Однако в [10] не ставилась и не решалась задача поиска максимальных значений модуля ОУМ. Целью данной работы является исследование асимптотического поведения ОУМ при стремлении индексов составляющих мод к бесконечности и поиск условий экстремальности ОУМ.

1. ОУМ для суперпозиции двух мод Эрмита–Гаусса

Рассмотрим сначала некоторое обобщение работы [9]. Найдём выражение для ОУM следующей суперпозиции:

F ⁽ x , y ) = HG N ( x ) ^х HG M ( y ) + + i х AHG N ₊ 1 ( x ) х HG M - 1 ( y ),

где HG N,M = H N,M ( x , y )×exp(–(( x ²+ y ²)/2)) – моды Эрмита–Гаусса, H N,M ( x , y ) – полиномы Эрмита H N ( x )× H M ( y ). Легко видеть, что данное выражение имеет известный вид из [9] при M=N+1 .

Найдём значение удельного ОУМ для (1) [10]:

M i = Re[ - x (eE_xB - B x eE i ) - y ( e E y B i -eE^ )] =

e t„ I 17d F dFF I -----Im xF--yF --- . 8 n ck 0 I d y d x J

Мощность светового поля определяется выражением:

E = jj FFdxdy = ^П ^ ( C_N , _M C n , m х 2 N ^{+ M}N ! M !).

2 N , M

Тогда удельный ОУМ будет следующим:

Ll E

2 A 1 х ( N + 1) х M !

N X M ! + A 2 х ( N + 1) X ( M - 1)!

.

Эту формулу вряд ли можно исследовать на асимптотику, т.к. N и M в общем случае – независимые переменные. Данную трудность можно преодолеть, если ввести некую зависимость между N и M . Тогда, деля ОУМ на соответствующий номер моды, можно получить асимптотические выражения. Пусть,

например, N = M . Тогда (1) примет вид:

F ( x , y ) = HG N ( x ) х HG N ( y ) +

+ i х AHG N + 1 ( x ) х HG N - 1 ( y ).

Удельный ОУМ будет следующим:

Ll E

-

-

2 A 1 х ( N + 1) X N !

N X N ! + A 2 х ( N + 1) X ( N - 1)!

2 A х ( N + 1)

, . 2 N + 1

1 + A2 х---- 1 N

Из (4) легко видеть, что, во-первых, максимум модуля ОУМ достигается при неединичном весовом коэффициенте ( A 1 = ^N / ( N + 1)), а во-вторых, он не превышает ОУМ из [9],

V N х v N + 1 <  N + 1.                       (5)

Если поделить удельный ОУМ на N +1 и устремить N к бесконечности, то, как легко видеть, этот случай и суперпозиция из [9] станут эквивалентными.

• 2.    ОУМ светового поля для суперпозиции из трёх мод Эрмита–Гаусса

Пусть теперь световое поле представляет собой суперпозицию из трёх мод Эрмита-Гаусса:

F ( x , у ) = HG n ( x ) х HG n ₊ 1 ( у ) +

+ i A 1 HG n + 1 ( x ) х HG n ( у ) +                       (6)

+ i ² A ₂ х HG n + 2 ( x ) х HG n - 1 ( у ).

Для удельного ОУМ получим [10]:

L _ 2 A 1 ( N + 1) + 2 AA ₂( N + 2)

^E"     1 + A 2 + A ^ N + ²     .

¹ N

Асимптотическое выражение для (7) после деления на N +2 будет:

L = ₍ L )    =_ 2 A + 2 AA 2

A    E ( N + 2) "“     1 + A ^ + A 2'

Найдём для него необходимые условия существования максимума модуля:

и несколько иной суперпозиции, нежели (6). Возьмём следующую комбинацию из трёх мод:

F ( x , у ) = - iA _1 HG n - 1 ( x ) х HG n + 2 ( у ) +            ₍₁₂₎

+ HG n ( x ) х HG n + 1 ( у ) + i A 1 HG n + 1 ( x ) х HG n ( у ). ^{( }}

Составив и решив систему, аналогичную (9), найдём:

L = ₍    L i   .      =_ 2 A _ 1 + 2 A 1

A ^VE ( N + 2) "“      1 + . 1 / + A ²,

I ^LA Imax = ^Л^^2,

^{A 2} 1 = У, ^A 1 = ^A - 1 = ^

Таким образом, экстремальное значение L A определяется не столько функциональной зависимостью от весовых коэффициентов, сколько структурой суперпозиции: комбинация (12) так же, как и (8), состоит из трёх соседних по индексам мод. Существенно, однако, что при эквивалентности результатов последний вариант бывает проще для вычислений. Это будет видно ниже.

• 3.    ОУМ светового поля для суперпозиции из четырёх мод Эрмита–Гаусса

Рассмотрим теперь следующее световое поле:

F = HG n ( x ) HG n + 1 ( у ) + A HG n + 1 ( x ) HG n ( у ) +

+i2 х A х HGn+2 (x) HGn-1 (у) + i3 х х A3 х HGn+з( x) HGn-2 ( у),

N >  2.

( L A ) = 0 = 2 ( 1 + A ) х (1 + A ² + A ^;) -d A 1

• - 2 х ( A 1 + A 1 A ₂) х 2 A 1 ,

(LA) = 0 = 2 A1 х (1 + A2 + A2) - дA2

• - 2 A ₁ (1 + A ₂ ) х 2 A ₂ .

Решая (9), найдём:

A ^ = A 2 ² + 1, A 2 = 1, A ^ = 2.

Отсюда легко найти асимптотическое выражение для ОУМ:

L

A

х2 .

Асимптотическое выражение для него будет сле-

дующим:

L = ₍ L .         2 A 1 + 2 A 1 A + 2 A A 3

A    E ( N + 3) ^{N n} "”       1 + A ^ + A ₂ ² + A ₃ ²

Необходимые условия для максимума модуля (15) будут следующими:

2(1 + A 2 )(1 + A ² + A 2 ² + A ²) -- 2( A 1 + A 1 A 2 + A 2 A 3 )2 A 1 = 0, y( A 1 + A 3 )(1 + A ² + A 2 ² + A ²) -’ - 2( A 1 + A 1 A ₂ + A ₂ A ₃)2 A ₂ = 0,

2 A 2 (1 + A ² + A 2 + A ²) -

- 2( A 1 + A 1 A 2 + A 2 A ₃)2 A ₃ = 0.

Таким образом, экстремальное значение модуля L A будет в J2 раз больше, чем в [9]. С физической точки зрения это вполне понятно, т.к. произошёл качественный скачок в характере суперпозиции: средний член - это соседний для первого и третьего. На взгляд автора, поучительным является рассмотрение

Систему (16) можно несколько упростить, например, следующим образом. Умножим первое уравнение на A 2 , затем на A 3 и вычтем из него умноженные, соответственно, на A 1 второе и третье уравнения.

Тогда получим следующую систему:

(1 + A 2 )(i + A 2 + A 2 + A 3 ²) -

— ( A i + A i A 2 + A A ₃)2 A i = 0, A 2^{(1 +} A 2 ) ^{— A}i⁽ A i ⁺ A 3 ) = 0, A 3 (1 + A 2 ) — A i A = 0.

Решая совместно второе и третье уравнения из (17), получим:

' A 3 = ( A² A 2 ) / (i + A 2 )² = A 3 /(i + 2 A 2 ),

< A 2 A3 = (Ai A 22)/(1 + A),(18)

[ A² = ( A 2 (i + A 2 )²)/(i + 2 A 2 ).

Подставляя выражения из (18) в первое уравнение из (17), найдём:

A2 — A —i = 0.(i9)

Тогда из (18) и (19) получим:

A2 = (i + V5)/2, Ai = A2, A3 = i.(20)

Подставляя значения (20) в (15), найдём экстремальную асимптотическую величину для этого случая: L = ₍ L ) = _— 2 A i + 2 A i A + 2 A A 3 = - A

A ^VE ( N + 3) "“        i + A ² + A 2 ² + A ₃^{2        i}, (21)

• — A i — — 1, 62.

Соотношение (21) легко установить аналогично (18). Интересно отметить, что значение – L A в этом случае в точности равно величине широко известного т.н. «золотого сечения», а уравнение (19) – уравнение этого сечения.

С физической точки зрения это довольно понятно: с увеличением количества членов в суперпозиции происходит качественный «перелом» в характере роста модуля ОУМ, рост начинает всё более замедляться (например, при пяти и шести членах в суперпозиции L A = — V3 — — 1,73, L A =-1,78 соответственно).

Приоритетные вопросы, касающиеся «золотого сечения», весьма сложны. Отметим только, что в Интернете есть довольно обширная библиография по этой теме.

То же можно получить несколько проще, взяв «симметричную» комбинацию, аналогичную (12):

F ( x , y ) = — iA — 2 HG N — i ( x ) x HG N + 2 ( y ) +

+ A — i HG N ( x ) x HG N + i ( y ) + i A i HG N + i ( x ) x        (22)

x HG N ( y ) + i ² A 2 HG N + 2 ( x ) x HG N — i ( y ).

Экстремальная величина для ОУМ будет следующей:

L = (--- L l ----)

A ^lE ( N + 2/ N "“

2 A _{— 2} A _{— i} + 2 A _i A _{— i} + 2 A 2 A _i ⁽ A — 22 + A 2i + A + A 2 ^{2 )}

Тогда можно найти необходимые условия на экстремум:

• 2 A — 1 ( A — 22 + A — ² i + A ² + A 2 ) —

• — 2( A — 2 A — i + A — i A i + A i A 2 )2 A = 0, 2( A — 2 + A i )( A — 22 + A — ² i + A ² + A 2 ) — — 2( A _{— 2} A _{— i} + A _{— i} A _i + A _i A 2 )2 A _{— i} = 0, ^{2( A} — 1 ^{+ A} 2 ⁾⁽ A — 2 ^{+ A}2i ^{+ A} 12 ⁺ A 22 ) ^— — 2( A _{— 2} A _{— i} + A _{— i} A _i + A _i A 2 )2 A _i = 0, 2 A i ( A — 22 + A — ² i + A ² + A 22 ) —

• _— 2( A — 2 A — i + A — i A i + A i A 2 )2 A 2 = 0.

Из (24) легко получить:

A i = A — i , A 2 = A — 2 , A ² — A i A 2 — A 2 = 0, л -1+V5 ,

• ^A 1       2    A 2^.

  
  
  
  

Соответственно, экстремальная величина модуля L A будет той же, что и для (14), т.е. равна величине «золотого сечения».

Заключение

В работе рассмотрено асимптотическое поведение ОУМ для светового поля как суперпозиции мод Эрмита–Гаусса. Получены аналитические выражения, описывающие асимптотическое поведение орбитального углового момента такого поля. Найдены максимальные значения модуля ОУМ для суперпозиции из трёх и четырёх мод Эрмита–Гаусса. Для таких суперпозиций получено, что у них, в отличие от суперпозиции из двух мод, модуль удельного ОУМ может существенно превышать значение максимального индекса в суперпозиции при сохранении структурной устойчивости самого светового поля.

Выражаю благодарность профессору В.В. Котляру за ценное обсуждение работы, А.М. Майоровой и Е.А. Соколовой за помощь в оформлении статьи.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ и частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-02-01055 А) и Министерства образования и науки РФ.