Асимптотика по времени решения задачи о распаде размазанного разрыва для закона сохранения

• I.    Математические модели транспортного потока.

Cодержательная интерпретация решения задачи о распаде «размазанного разрыва» для закона сохранения

В середине 50-х годов XX века независимо в работах [1] и [2] была предложена, по-видимому, первая макроскопическая (гидродинамическая) модель однополосного транспортного потока, получившая впоследствии название «модель Лайт-хилла–Уизема». В этой модели поток АТС рассматривается как поток одномерной сжимаемой жидкости и предполагается, что

• 1)    существует взаимно однозначная зависимость между скоростью v ( t,x ) и плотностью (погонной) р ( t,x ) потока;

• 2)    выполняется закон сохранения плотности АТС р ( t,x ) .

Запись р ( t,x ) обозначает число АТС на единицу длины в момент времени t в окрестности точки трассы с координатой x . Аналогично, v ( t,x ) — скорость АТС в момент времени t в окрестности точки трассы с координатой x .

Первое предположение выразим «уравнением состояния»:

v ^{( t,x} ) = ^{V (} Р ^{( t,x} )) •           (1)

Относительно функции V ( р ) делается следующее предположение:

V ' ( р ) <  0 •                (2)

Положим Q ( р ) = рV ( р ) — величина потока АТС (количество АТС, проходящих в единицу времени через заданное сечение). Зависимость Q ( р ) часто называют фундаментальной (или основной) диаграммой. Для однополосного потока можно считать Q " ( р ) <  0 [3]. Однако если агрегировать несколько полос в одну (иначе говоря, заменить несколько полос одной агрегированной, на которой уже предлагается использовать рассматриваемую модель), то от вогнутости Q ( р ) , вообще говоря, придётся отказаться.

Второе предположение выразим законом сохранения

bb

I ^р ( t

t +д

-

+ A ,x ) dx — |

р ( t,x ) dx

t +д

j Q ( р ( т,Ь )) dT — j Q ( р ( т,а )) dT >  •

t

t

Отсюда следует, что для любого прямоугольного контура Г в полуплоскости t ^ 0 со сторонами, параллельными осям, выполняется

| —р ( t,x ) dx + Q ( р ( t,x )) dt = 0 •     (3)

г

В точках гладкости р ( t,x ) :

др + ^{д (} vp ) = др + ^{д (} V ⁽ р ) р ) = ∂t ∂x ∂t ∂x

Введём функции двух переменных h (t,x), р (t,x) = h(1x-, v (t,x), задав их значения в полуплоскости t ^ 0 на счётном наборе кривых, согласно формулам др + dQ (р) ∂t ∂x

Поставим начальное условие вида «разма-

занного разрыва»

р (0 ,х ) = р о ( х )   ( lim р о ( х ) = р ± ) , (5)

Х ^±^

h ( t, ( s n ( t ) + S n +i ( t )) / 2) = h n ( t ) ,

v ( t,S n ( t )) = v n ( t ) •

Считая h n ( t ) — малой величиной и учитывая, что

v ( t,S n ( t )) = V

( р (t^ ( t ) + 2 h n

( t )         ,

где р о ( х ) — ограниченная измеримая функция.

Задача Коши (4), (5) возникает, например, при описании распространения затора (пробки). Ряд других модельных задач (задача о светофоре, об эволюции локального затора) для закона сохранения (4) рассмотрен в [3].

Приведём один из способов определения зависимости V ( р ) .

Пример (модель Танака (1963) [4]). Рассматривается однополосный поток АТС. Пусть скорость АТС не может превышать v _max . Плотность р ( v ) = d^V- , где d ( v ) = L + c i v + c ₂ v ² — среднее («безопасное») расстояние между АТС при заданной скорости v движения потока, L — средняя длина АТС, c 1 — время, характеризующее реакцию водителей, c ₂ — коэффициент пропорциональности тормозному пути. Отсюда можно получить зависимость (1) V ( р ) , удовлетворяющую условию (2).

Пусть теперь АТС в однополосном потоке движутся и пронумерованы слева направо. Обозначим через sn (t) — координату n-го автомобиля в момент времени t ^ 0. Положим hn (t) = Sn+i (t) - Sn (t) , vn (t) = sn (t) •

В микроскопической модели Ньюэлла (эта модель была предложена в 1961 г. и является одной из первых моделей оптимальной скорости [3]) постулируется, что vn (t) = V (рп (t)), V' (р) < о• (6)

Формулу (6) можно понимать так, что для каждого водителя существует «безопасная» скорость движения, зависящая от дистанции до лидера.

dh U*. ( t ) + 2 h n ( t )} =

= v (t,Sn +1 (t)) - v (t,Sn (t)) , получим v (t,Sn (t)) — V (р (t,Sn (t))) +

+ V ' ( р ( t,S n ( t ))) р _ж ( t,S n ( t ))

h ( t,S n ( t )) ,

h t ( t,S n ( t )) + v ( t,S n ( t )) h x ( t,S n ( t )) ~

- v _x ( t,S n ( t )) h ( t,S n ( t )) •

Умножая второе уравнение на —р ² ( t,s _n ( t )) и продолжая «по непрерывности» р ( t,x ) и v ( t,x ) со счётного набора близких кривых на полуплоскость t ^ 0 , придем к системе

V ' ( р ( t,x )) v ⁽ tx ) ^- V ⁽ р ^{( t,x} )) +              р _х ^{( t,x} ) ,

2 р ( t,x )

pt (t,x) + (v (t,x) р (t,x))x — 0, которую перепишем как др , dQ (р) _ д_ (    .д^ \ dt + дх дх V (р) дх) ,  ()

где D ( р ) = — V-7p)- >  0 . Появившиеся в правых частях соотношений (7), (8) новые (по сравнению с (1), (4)) диффузионные слагаемые могут быть проинтерпретированы следующим образом. Водители снижают скорость при увеличении плотности машин впереди ( р _х >  0 ) и увеличивают при уменьшении ( р _х <  0 ). Гидродинамическая (макроскопическая) модель (2), (5), (8), в которой D ( р ) >  0 произвольно, называется моделью Уизема (1974) [3]. Использованный выше прием (вывод модели Уизе-ма из модели Ньюэлла) называют автомодельной редукцией. Следует заметить, что этот приём (достаточно популярный в математической физике) является эвристическим.

В случае (Б.Д. Гриншилдс (1934)), когда Q ( р ) — парабола (вогнутая), D ( р ) = е ( е >  0 ), можно показать, что уравнение (8) сводится с помощью замены переменных и неизвестной функции: t ^ t , x ^ X , р ^ р к уравнению Бюргерса (играющему важную роль в гидродинамике):

ЕЛ ~       <Л~       О 9 ~ др   _ др д2 р dt   рдх   Едх2 ’ е > 0.

С помощью замены Флорина–Хопфа–Коула: р = - W x ; задача Коши (8), (5) (для уравнения Бюргерса) сводится к задаче Коши для уравнения теплопроводности:

w t = EW xx ,

x fр0(Р) dp

^-      (² _Е )

Используя этот факт, Э. Хопф (1950) изучал поведение решения начальной задачи Коши для уравнения Бюргерса [3]. Так, например, им был обоснован предельный переход (получивший название «метод исчезающей вязкости») при е ^ 0+ от уравнения Бюргерса к уравнению Хопфа:

др , ^^Р др dx = 0.

В связи с вышесказанным заметим, что для нелинейного закона сохранения (4) гладкое решение задачи Коши (4), (5) существует, как правило, только в малой окрестности линии, где заданы начальные условия. По разрывным начальным условиям решение задачи Коши для нелинейных уравнений, вообще говоря, не определяется однозначно даже в сколь угодно малой окрестности линии, где заданы начальные условия. Для того чтобы задача Коши для нелинейных уравнений с гладкими или разрывными начальными условиями была однозначно разрешима в большей области, необходимо рассматривать разрывные решения уравнения и по-новому ставить задачу Коши. Казалось бы, что достаточно (следуя идеям С.Л. Соболева в линейном случае) равенства (4), (5) понимать в слабом смысле (понимать (4) в смысле соотношения (3)). Однако такое определение решения не обеспечивает его единственности. Корректный способ заключается в том, чтобы понимать решения задачи Коши (4), (5) р (t,x) как предел п. в. при е ^ 0+, D (р) := eD (р), D (р) > 0 решений задач Коши (8), (5) ре (t,x): ||р(t,-) - ре (t,•)||L 1 (r) = О (Vet) (оценка Н.Н. Кузнецова (1975)).

Это представляется естественным. Ведь оба уравнения (4) и (8) возникли (на разных уровнях детализации) при описании одного явления. Обоснованием метода исчезающей вязкости интенсивно занимались в середине XX века (О.А. Олейник, И.М. Гельфанд, П.Д. Лакс, О.А. Ладыженская и др.). Наиболее общие результаты получил С.Н. Кружков в конце 60-х [5]–[7].

II. Изучение асимптотики по временни решения задачи о распаде размазанного разрыва для закона сохранения

Для простоты изложения будем в дальнейшем считать, что Q ( р ) — полином (возможно, достаточно большой степени). Также для определённости будем считать в формуле (5) р _- < р ₊ .

В конце 50-х годов И.М. Гельфанд [8] построил с помощью метода исчезающей вязкости решение задачи о распаде произвольного разрыва, то есть решение задачи Коши (4)

Р ⁽⁰ X ) = I

р - , x <  0 , р ₊ , x ^ 0

(начальное условие Римана).

Приведём способ построения решения (обоснование см. в [6]). Для этого введём функцию Q (р) = F** (р),

F (р) = Q (р) + I[р—,р+] (р), i (р) = Г0, р ^ [р—,р+], [р-,р+]^ t то,р^ [р-,р+], где F*(x) = supy^R (xy - F (y)) — функция, сопряженная к F (у). Таким образом, Q (р) — нижняя граница выпуклой оболочки множества {(р,q): р е [р-,р+] ,q > Q(р)}. Будем искать автомодельное решение уравнения др + dQv^p) = 0 ∂t ∂x

вида р (t,x) := р (t) (заметим, что € = x — является инвариантом группы растяжений: x ^ kx, t' ^ kt, допускаемой законом сохранения (10)), удовлетворяющее начальному условию (9). Подстановка ρ xt в (10) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению р (€) (€ - Q' (р)) = 0.

Откуда с учётом начального условия (9) следует, что р ( t,x ) = Q ^{- 1} ( x ) ( Q ^{- 1} ( • ) — обратная функция к Q ( • ) ).

Для большей наглядности представим решение немного в другом виде. Положим, что

{р е ^[ р - ,р + ^] : ^{Q (} р ) > ^{Q (} р )} =

= (а о ,во) U (а 1 ,в i) U ... U (а^вп), c о = Q (а о) = Q (во),

Сп = Q (ап) = Q (вп), ck = Q (ак) = Q (вк)

(очевидно, что ck- 1 С ck), к = 1, ..., n — 1, где р- = а о С во С а 1 С в 1 С ...

С а п С в п = р + .

Тогда р (t,x) =

р - , X < С о t,

Q'-1 (x/t),  Ск-11 < x < Ckt, к = 1, ..., n, р +, x> Cnt.

Заметим, что р ( t,x ) определяется с точностью до почти всюду по x при любом фиксированном значении t ^ 0 . Поэтому в формуле (11) можно не доопределять значения р ( t,x ) на разрывах. Принято называть разрывы решения (11) ударными волнами, а Q' ^{- 1} ( у ), С к - 1 t < x < С к t , к = 1 , ..., n — волнами разрежения (волна разрежения исчезает, если С _{к - 1} = С _к ).

Естественно, возникает желание «раз- мазать» разрыв:

{р-, x < x-, ро (x), x- С x

р +, x > x+

(начальное условие типа Римана), где ро (x) — ограниченная измеримая функция, и посмотреть, как изменится формула (11).

Теорема 1. Существует такой набор {dk }^п=_о(причём если Ск-1 = Ск, то dk- 1 С dk), что решение задачи Коши (4), (12) сходится при t ^ то в L 1 (R) к

<

р^(t,x) = <

р-, x < с о t + d о,

Q^-1(x/t),

Ск-11 + dk-1 < x < Скt + dk, к = 1, ..., n, р +, x > СпЬ + dn.

Эта теорема была доказана в 1960 году А.М. Ильиным и О.А. Олейник [9] при следующих предположениях:

р- = а о < во = р+

и

Q' (а о) > 0,     Q' (во) > 0

или р- = ао = во < а 1 = в 1 = р +.

В 1982 году Н.С. Петросян [10] доказала теорему 1 в предположении, что р- С ро (x) С р +.          (13)

В 2007 году Г.М. Хенкин [11] получил теорему 1 при условии, что

Ск-1 < Ск, к = 1, ..., n;

Q" (ак) > 0, Q" (вк) > 0, к = 0, ...,n.

Если размазать разрыв так, чтобы \р (0 ,x) — р-\ ^ 0 (x ^ —то) или |р(0,x) — р₊\ ^ 0 (x ^ то) недостаточно быстро (размазать «неинтегрируемым образом»), то следует, вообще говоря, допускать зависимости dk (t). Точнее, имеют место следующие теоремы.

Теорема 2. (С.Н. Кружков, Н.С. Петросян (1982) [12]). Существует такой набор функций {dk (t) }п=о (причём если Ск-1 = Ск, то dk-1 (t) С dk (t)), что dо (t) = o (t), dn (t) = o (t), dk (t) ^ dk (t ^ то), к = 1, ..., n — 1, и решение задачи Коши (4), (5) с монотонной ро (x) сходится при t ^ то в L^ (R)

к

<

Р^(t,x) = <

р-, x < cо t + dо (t),

Q- 1 (x/t), ck-1t + dk-1 (t)

< ckt + dk (t), k = 1, ..., n, р +, x>cnt + dn (t).

Теорема 3. Существует такой набор функций {dk (t) }П=0 (причём если Ck-1 = Ck, то dk-1 (t) < dk (t)), что dk (t) = o (t), k = 0, ..., n; если 3l< k : el- 1 < al и 3r > k : er < ar₊₁, то dk (t) ^ dk (t ^ то), и решение задачи Коши (4), (5) сходится при t ^ то в L^ (R) к (14).

Если, кроме того,

|р (0,х) - р± | = О (|x| 7±) , то

3х о ,Хп > 0 : -X о ^{Y- +}Vt< d о (t) , dn (t) < Xn ^{Y ++}Vt.

Замечание 1. В работах [9, 10, 12] были найдены формулы для расчёта d_k .Ряд оценок dо (t), dn (t) имеется в [7, 12].

Замечание 2. Утвержение теоремы 2 останется верным, если заменить монотонность начальной функции ро (x) более общим условием (13).

Доказательство теорем 1, 3 (с грубыми оценками: d_k (t) = o (t), k = 0, ..., n; если 3l< k : el- 1 < al и 3r > k : er < ar₊₁, то d_k (t) = О (1)) может быть осуществлено аналогично работам [13] — [15], в которых исследовалась асимптотика по времени решения задачи о распаде размазанного разрыва для закона сохранения с нелинейной дивергентной диффузией (8). Ключевой находкой является обнаружение «наследования» законом сохранения (4) от закона сохранения с нелинейной дивергентной диффузией (8) помимо хорошо известного принципа сравнения:

р¹(0,x) < р²(0,x) ^

^ р¹(t,x) < р²(t,x), t ^ 0, ещё и приципа сравнения на фазовой плоскости

{р1(0,x) < (>)р2(0,x)

^ р 1(0,x) < (»р2(0,x),x > «)x}^

^ {р1(t,x) < (>)р2(t,x)

^ р 1(t,x') < (>)р²(t,x),x ^ (<)x}, t ^ 0.

Заметим, что в доказательстве часто в качестве сравниваемых функций выбираются решение рассматриваемой задачи и специальным образом подобранное решение уравнения (4) с начальным условием Римана (9):

р (° ,x) = { р 1 ’ x < d р 2, x ^

При этом ρ₁, ρ₂выбираются из множества точек {aо,во,a 1, ..., в_п- 1 ,a_n,en} либо из малых окрестностей этих точек, а d подбирается так, чтобы в начальный момент времени выполнялись условия используемого варианта принципа сравнения.

Для получения более точных оценок d_k (t) предлагается использовать принцип сравнения, считая начальным моментом времени не t = 0, а t = t_о, где tо — выбирается достаточно большим. При этом (ведь tо ^ 1) можно пользоваться уже установленными «грубыми» вариантами доказываемых теорем.

Автор признателен Ю.В. Дорну, Н.С. Петросян, В.Н. Разжевайкину, О.С. Розановой, А.Ю. Семенову, Г.М. Хенкину, А.А. Шананину за ряд ценных замечаний.

Работа поддержана грантами РФФИ № 07-01-00703, РФФИ № 08-07-00158, РГНФ № 08-02-00347, грантом Президента РФ (по госсударственной поддержке ведущих научных школ), проект № НШ — 2982.2008.1, ПФИ ОМН РАН № 3, ПФИ Президиум РАН П-2. Работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (мероприятие 1.2.1, НК-15П (3); мероприятие 1.3.1, НК-215П (1)).