Аттракторы конечно-разностных схем для системы Лоренца с зависящими от времени коэффициентами

Динамические системы, порождаемые диссипативными эволюционными уравнениями, и их аттракторы привлекают внимание исследователей в различных областях научных знаний. Первоначально аттракторы рассматривались только для автономных уравнений, затем это понятие было обобщено [1] и на. случай неавтономных эволюционных систем. Важным для приложений является вопрос о том, насколько близки аттракторы дискретных аппроксимаций математических моделей к их истинным аттракторам. Для автономных уравнений этот вопрос был изучен в [2], где была, доказана, теорема, о полунепрерывной зависимости от параметра, аттракторов семейств полу-динамических систем. В [3,4] аналогичные результаты были получены для равномерных аттракторов семейств полупроцессов, соответствующих неавтономным эволюционным уравнениям. Целью настоящей работы является исследование равномерных аттракторов конечно-разностных схем для неавтономной системы Лоренца.

• I.    Полупроцессы и их аттракторы

Вначале определим понятия семейств полупроцессов и их аттракторов, придерживаясь изложения, принятого в [1,3].

Пусть E — полное метрическое пространство с метрикой diste(•, •); T — нетривиальная подгруппа аддитивной группы R вещественных чисел, T+ = T П [0, + го) — полугруппа неотрицательных элементов из T. Например, T+ = R+ = [0, + го) для систем с непрерывным временем, T+ = Z . = = {0,1,2,... } 11 T+ = Z+ т = {0, т, 2 т,... }. где т > 0, для систем с дискретным временем. Пусть при всех h е T+, t е T+, t > h на E определены непрерывные операторы U(t, h) : E ^ E такие, что U(t, s)U(s,h) = U(t, h) V t,s,h е T+: t > s > h. Тройку {U,T+, E} будем называть полупроцессом. Рассмотрим семейства операторов Uf (t,h), функционально зависящие от символа f = f (t), где под f (t) подразумеваются зависящие от времени коэффициенты и члены в правой части уравнения. Пусть F — некоторое множество символов и каждому f е F поставлен в соответствие полупроцесс {Uf ,T+, E}. Множество всех полупроцессов {Uf ,T+, E}, таких, что f е F, будем называть семейством полупроцессов (СПП) и обозначать как {Uf ,T+ ,E,F }.

Множество называется равномерно притяги-ваюгцим множеством семейства, полупроцессов {Uf,T+ ,E,F}, если для любого ограниченного в E множества B имеет место равенство lim sup dist E (Uf (t,h) B,P)=0 V h е T+, tt∈→T∞+ f∈F где diste(X,Y) = sup inf diste(x,y).

x ∈ X ^{y ∈ Y}

Равномерным аттрактором семейства, полупроцессов называется его наименьшее замкнутое равномерно притягивающее множество. Равномерный аттрактор СПП будем для краткости называть просто аттрактором. Достаточные условия существования аттрактора, дает следующая

Теорема! ([1]). Если семейство полупроцессов обладает компактным равномерно притягивающим множеством, то указанное СПП имеет компактный аттрактор.                        □

Далее предполагается, что на F заданы операторы T ( h ). h е T + такие, что:

• 1)    T ( t ) T ( h ) = T ( t + h ) Vt, h е T ₊ :

• 2)    T ( h ) F C F V h е T ₊.

• 3)    Uf ( t + h,h ) = U t ( h ) f ( t, 0) V f е F V t,h е T +

Семейство полупроцессов {Uf,T+ ,E,F} будем называть локально равномерно непрерывным, если для любого е > 0. любого огргшичешюго в E множества. B и любого t е T+ найдется константа. 5 = = 5(e,B,t) > 0 такая, что sup distE(Uf (t, 0)u, Uf (t, 0)v) 6 е f∈F

Vu,v е B : dist e ( u, v ) 6 5.

Имеет место

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/11133) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

Теорема 2 ([3]). Пусть ограниченное в Е множество А является аттрактором локально равномерно непрерывного семейства, полупроцессов {Uf ,T + ,E,F} . Тогда, для любого u е A и любого t е T + найдутся послещоватслыюсти un е А и fn е F такие, что Uf n ( t, 0) un ^ u при n ^ го . □

Перейдем к рассмотрению семейств полупроцессов {Uf,T + ,E_d,F}, зависящих от параметра d. при этом будем предполагать, что d пробегает некоторое метрическое пространство D с метрикой р ( •, • ), а Ед являются подпространствами (замкнутыми подмножествами) полного метрического пространства Е.

Справедливо следующее утверждение о полунепрерывной зависимости от параметра, аттракторов семейств полупроцессов.

Теорема 3 ([4]). Пусть при каждом d е е D локально равномерно непрерывное семейство полупроцессов {Uf,T + ,Ed,F} имеет компактный аттрактор Ad. d 0 — исизолированная точка. D и Е_д 0 = Е. Предположим, что:

• 1)    для каждой сходящейся к d о последовательности dk е D, dk = d 0 замыкание в Е объединения по всем к е N аттратсторов A_d k компактно:

• 2)    если dk ^ d 0. то для лтобхзго элемента, t е T + ⁰ существует сходящаяся к нему последовательность tk е T + k:

• 3)    если dk ^ d о. uk е Ад _к 11 uk ^ u о- tk е е Td k и tk ^ t е T + 0, то имеет место равенство lim sup dist _E ( Ud k ( tk, 0) uk, Ud ⁰ ( t, 0) u 0) = 0.

k→∞ _{∈ F}

Тогда для любого e >  0 найдется 5 >  0 такое, что dist e ( Ад, Ад 0 6 e при всех d е D. для которых р ( d,d о) 6 5.                                         □

Обозначим B r и O r — замкнутый шар и сферу радиуса R в R ⁿ . При исследовании разрешимости неявной схемы мы будем использовать следующее

при всех t >  0 верны неравенства

c 1 6 ст о ( t ) 6 C 2 ,		dст о( t ) dt	6 c 3 ,
c 4	6 r о ( t ) 6 C 5 ,	dr о( t ) dt	6 c 6 ,	(1)
c 7	6 b о( t ) 6 C 8 ,	db о( t ) dt	6 C 9 .

Обозначим вектор q ^о( t ) = ( ст ^о( t ). r ^о( t ). b ^о( t )) ii введём множество всех его неотрицательных сдвигов по времени Q = и T ( s ) q ^о( t )= и q ^о( t + s ).

s >0                s >0

Рассмотрим задачу Коши для системы Лоренца. с зависящими от времени коэффициентами

dx dt = ст(t)(У — x),

dy dt

dz dt

= xy — b ( t ) z,

r (t) x — y — xz, t > h,

x ( h )= x о ,   y ( h ) = y о ,   z ( h ) = z о ,

утверждение.

Лемма 1 (об остром угле). Если Ф: R ⁿ ^ ^ R ⁿ — непрерывное отображеиие и на. сфере O r выполняется «условие острого угла» (Ф( x ) ,x ) > 0, то существует x е Br. для кс >торого Ф( x ) = 0. □

Доказательство. Предположим противное.

где h > 0 11 q ( t ) = ( ст ( t ). r ( t ). b ( t )) е Q.

Вектор q ( t ) = ( ст ( t ). r ( t ). b ( t )) е Q является символом, то есть множеством всех зависящих от времени коэффициентов системы уравнений (2). По теореме о продолжении решений нормальных систем решение задачи (2) определено при Vt > >  0. Будем его записывать как ( x ( t ) ,y ( t ) , z ( t )) = = U_q ( t,h )( x _о ,y _о , z _о), t > h. Тем самым заданы операторы Uq ( t,h ), обладающие свойством (1) при V q е Q. Непрерывность Uq ( t, h ) следует из теоремы о непрерывной зависимости от начального условия решений задачи Коши. Таким образом, для каждого q е Q определён полупроцесс {Uq. R₊. Е}. г,те R₊ = T ₊ = [0 , + го ) — область изменения переменной t, Е = R³ — множество, которому принадлежат начальные состояния ( x о ,y о , z о). Объединение этих полупроцессов по всем q е Q образует семейство полупроцессов {U_q, R+, Е, Q}, порождаемое задачей (2).

Обозначим через X = ( x, y, z ) вектор неизвестных системы (2) и запишем её в виде

Пусть Ф( x ) = 0 во всех точках x е Br. В шаре

B r рассмотрим f ( x )

R

Ф( x )

I Ф( x ) I

Опа непре

dX

— = F ^{( X,}q ) , t>h, X ⁽ h ) = ⁽ x о ,y о ^,z о) , (3) dt

рывна и переводит B r в себя. По теореме Брауэра

[б] существует x е Br- для к< второго f ( x ) = x. Так как |f ( x ) | = R. то |x| = R. Тс>гда ( x,x ) = = —R ^(ф( x ) \x ) 6 0, что невозможно.

I^ф( x ) \ ⁶

где F ( X, q ) = ( ст ( y — x ). rx — y — xz. xy — bz ).

Обозначим u = z — ст — r.Y = ( x,y,u ). В новых переменных система. (2) принимает вид

dx

= ст ( t )( y dt

x ) • dy

—ст ( t ) x — y — xu,

II. Равномерные аттракторы конечно-разностных схем для неавтономной системы Лоренца

Пусть заданы непрерывно дифференцируемые функции ст ^о( t ), r ^о( t ), b ^о( t ), причём существуют положительные постоянные Ck, к = 1 , 9, такие, что

du dt

= xy — b ( t ) u — b ( t )( ст ( t ) + r ( t )) —

dст ( t )      dr ( t )

dt dt

x ( h )= x о ,  y ( h )= y о ,

u ( h ) = u о = z о — ст ( h ) — r ( h ) .

Умножая уравнения (4) на xy ни соответст венно, имеем

1 dx ²

2 л

= о ( t )( yx - x ²⁾ ,

i dy 2

2 dt

^{—о (} t ) xy ^- у ² - xuy,

1 du¹²

2 IT

uxy — b(t) и2 — b (t) и (о (t) + r (t)) — do(t)      dr(t)

dt dt

Суммируя эти уравнения, получим

| ²

t = 2 ( -ox ² — у ² — bu ² — bu ( о + r ) —

— и ( do + dr )) • (5)

dt dt

ПЛ. Аттрактор неявной схемы

Пусть т >  0 — шаг сотки по времени, tk = кт. к Е Z₊. xk = x ( tk ). yk = у ( tk ). zk = z ( tk ) — значение приближенного решения в момент t = tk. Рассмотрим неявную конечно-разностную схему для отыскания приближенного решения задачи (2):

xk - xk- 1

ok (yk   xk yk - yk-1

--------- = rkxk - Уk - xk Zk, т                                    (10)

zk - zk- 1

---------- = xkyk - bkZk, τ к — l + 1, l + 2,..., где xi. уь zi задгты. qk = (о^ rk- bk) = q(tk)• q(t) = = (о(t). r(t). b(t)) Е Q.

Обозначив через u_k = z_k — o_k — r_k, запишем уравнения (10) в виде

Оцепим члены в правой части (5):

-σx ² - y ² - bu ² 6

6 ( —с 1 x ² — у ² — с 7 и ²) 6 —a|У| ² , (6)

xk - xk- 1 τ

yk - yk- 1 τ

= Ok ( yk - xk ) ,

-σkxk - yk - xkuk,

— 2 ub ( о + r )

dσ dr ^u dt dt

uk - uk- 1 τ

= xkУk - bk Uk - bk ( Ok + rk ) —

6 2 | u | G 6 аи ² + — , a

^σk ^{- σ}k- 1 _- ^rk ^{- r}k- 1 ττ

к — l + 1 , .. .

где а = min {с 1 , 1 , с 7 }. G = с ₈( с 2 + с 5) + с 3 + с ₆. Используя (5) - (7), получим

Умножая уравнения (11) на Xk,Уk,Uk соответственно и суммируя результаты, получаем соотношение

4Д 6 — 2 а|у| = + аи 2 + G 6 —а ^ + G. dt                       a               a

.

Умножив полученное соотношение на eat и проинтегрировав по времени от h до t >  h , приходим к оценке

^x k^{— x} k- 1 ₊ ( xk — xk- 1)² ₊ yk^— y k - 1 ₊

2 т   ⁺     2 т ⁺   2 т   ⁺

+ ^{( y}k ^{— y}k- 1⁾² + ^U k ^{— U} k- 1 + ^{( U}k — ^Uk- 1⁾² 2 т           2 т           2 т

= ^—ok ^xk ^— yk ^— bk ^Uk ^{— U}k ^bk ^{( o}k ⁺ rk ) ⁺

|У ( t ) | ² 6 |У 0 | ² e^a ^{( t-h} ) + р ² (1 — e^a ^{( t-h} )) ,    (8)

+ ^ok ^{— o}k- 1 + rk ^— rk- 1 ττ

из которого вытекает оценка

к — l + 1 , .. .,

где У о = ( x 0 ,у о , и о) ,р = G/а.

Теорема 4 ([6]). Семейство полупроцессов {Uq, R+, E, Q}, порождаемое задачей (2), имеет аттрактор A. причем

|Х | 6 р + с ₂ + с 5 VX Е A. □ (9)

Доказательство. Из (8) вытекает, что СПИ, порождаемое задачей (4), имеет равномерно притягивающее множество P = {|У| 6 р}. Поскольку |Х| 6 |У| + |z — и|, то замкнутый шар B = {|X| 6 р + с ₂ + с 5 } является равномерно притягивающим множеством СПИ {Uq, R+, E, Q}, порождаемого задачей (2). По теореме 1.1 указанное спп имеет компактный аттрактор, причем верно (9).

1Y^^ — Yk-12 + .Yip 6 G!, τa то есть |Yk | 2 6 lY-1 । + р2 (1 — —1— ) .

1 + ат           1 + ат у

Используя индукцию по к, убеждаемся, что верно неравенство

|Yk| ² 6                 |Yl| ²+

(1 + ат ) ^{k 1}

⁺ (1 — (1 + ат ) ^k-l ) ^{р 2} , ^к >  l. ⁽¹²⁾

Схему (11) запишем в виде

Y k — Y k- ¹ = V ( Yk,qk ) + Ф k,       (13)

где V ( Yk,qk ) = ( "k ( yk - Xk ) , -"kXk - yk -- XkUk , Xkyk — bkUk ).

* k = ⁽0 , 0 ,-bk ( „k + rk ) - ^   - rr-Tr- l⁾

Из (1) и (5), (6) вытекает, что при всех q Е Q верны оценки

( V ( Yk , qk ) ,Yk ) 6 -a\Yk | ² , | * k | 6 G.

Обозначим B r и O r замкнутый шар и сферу радиуса. R в R³. H* = max {\Y|, р}- Из (12) следует. что \Y_k | 6 H* при всех k >  l.

Лемма 2. При всех R >  0 и всех q Е Q справедливо неравенство

Лемма 3. Для каждого т 6 т ⁰ существует время T^T Е Z+ т такое, что:

1) для любого q Е Q и любого Yt. \Yl\ 6 H_T. верно неравенство

\I^T_q ( tk + ti,ti ) Yt\ 6 H t - 2A V tk >  T^T ; (16)

2) T^T ^ 0 nj hi т ^ 0.                          □

Доказательство. Из (12) вытекает, что (15) будет выполнено, если

22 H_τ ² - ρ ² (1 + ат ) ^k

+ p ² 6 ( H t - 2A)² ,

то есть

(1 + ат ) ^k >

Hτ ²

ρ ²

( HT - 2A)² - P ²

И

\V ( Yk,4k ) | 6 L ( R ) \Yk| VYk Е B r ,     (14)

— ln(1 + ат ) > ln τ

^Hτ ²

ρ ²

где L ( R ) = pl + 3 c 2 + c 8 + R ².                □

Доказательство. Вычислим \V ( Y_k ,q_k ) | ² = = "k ( yk - Xk )² + ( "kXk + yk + XkUk )2 + ( Xkyk -^- bkuk ⁾² 6 ² " ²⁽ xk + y 2^{) + (} " 2^{+ 1 +} xk ⁾⁽ xk + y 2 + ⁺ uk )^{+ (} y2 ^{+ b}k ⁾⁽ xk ⁺ uk ) 6 ⁽³ " 2^{+1 +} xk ⁺ yk ^{+ + b}k ^{)( х}k ⁺ yk ^{+ u}k ) 6 ⁽³ c 2^{+1 +} c 8^{+ R 2)} \Yk\ 2 ^что и дает (14).

Теорема 5. Если tL ( H* ) <  1, то решение (10) существует и единственно.                    □

Доказательство. Введём вектор-функцию Е( Y ) = Y - tV ( Y, qk ) - Yk- 1 - т * k. тогда. (11) можно записать в виде: Е( Y_k ) = 0. Покажем, что (Е( Y ) , Y ) > 0 V Y Е OH*. Действительно, если Y Е OH*- то

(Е( Y ) ,Y ) =

= \Y| ² - т ( V ( Y, qk ) ,Y ) - ( Y,Yk- 1) - т ( Y, * k ) > > (1 + та ) \Y| ² - 2 ( \Y| ² + \Yk- 1 | ²) -

- 2 (* + T ) =

= 1 (I Y1 2 -|Yk- 112) + у (I Y| ² - P 2) > 0 .

По лемме 1.1 система. (11) имеет решение, тогда. (10) также имеет решение.

Если Y_k 11 Л _k — два решепня (11). то Y_k - Л _k = = т ( V ( Yk ,qk ) - V (Л k,qk ))■ | Yk - Л k | 6 tL ( H * ) | Yk -- Л _k | . то ость (1 - tL ( H* )) |Y_k - Л _k | 6 0. следовательно, Y_k = Л _k. Решение (11) единственно, значит, и решение (10) единственно.

При т <  1 /L ( H * ) и k > l будем записывать решение (10) как ( Xk,yk,zk ) = UT ( tk,ti )( Xi,yi,zi )■ a решение (11) как ( Xk,yk,Uk ) = IT ( tk,ti )( Xi,yi,ui ). Обозначим M = max " o ⁰( t ) + r ⁰( t )). m = t >0

= imm ⁽ " ⁰( t ) + r ⁰( t p y = M+m■ A = M—m. H о = p 2 p + 2A. т ⁰ = 2 l ( H o) • При т 6 т ⁰ радиусы H_T определим равенством tL ( H_T ) = ^. то есть ^h t = Г 4 ^ 2 ^{- 1 - 3} c 2 ^- c 8 •

( HT - 2A)² - P ²

Следовательно,

H ² - ρ ²

( H t - 2A)2 - p 2 / ^{ln(1 +} a^T ) .

Оцепим величины в правой части последнего пе-

равенства. Поскольку H_T

при т ^ 0. то т ln

( H T

H

∼

1 / (2 т ). ln(1 + ат ) ~ ат

τ ^-

- 2Д)'

ρ ²

ρ

] / ln(1 + ат ) ~

~ 8^ aT" ^ 0. Таким образом, T^T можно выбрать

стремящимся к нулю при т ^ 0.

Для т 6 т ⁰ введем гпюжество E_T = = {x, y,z : x ² + y ² + ( z - y )² 6 ( H_T - A)²}, которое будем рассматривать как полное метрическое пространство с метрикой, индуцированной из R³.

Для краткости обозначим Z = ( x,y,z - Y )• Если Xi Е E_T. то для соответствутощего Yt = ( Xi,yt,zt -- "t - ri ) имеем оценку \Yt | 6 \Zt | + \"t + ri -- y \ 6 H_T- Пз"сть t_k- tl Е Z+ T^T. тогда, по определению T^T для решения (11) выполняется неравенство \IT ( t_k,tl ) Yl\ 6 H_T - 2A, следовательно, \^Zk \ ⁶ \^Yk \ ⁺ \"k ⁺ rk ^- Y\ ^{6 H}T ^{- A} 11 Xk = = UT ( t_k ,tl ) Xl Е E_T. Нами показано, что при всех q Е Q операторы UT ( t_k ,tl ). t_k ,tl Е Z+ T^T . переводят E_T в себя. Таким образом, определено СПП {u_q-. Z+ T^T. Et. Q}.

Теорема 6. Если т 6 т ⁰, то семейство полупроцессов {UТ, Z+ T^T, E_T, Q}, порождаемое схемой (10), имеет аттрактор А_Т, причем

x ² + y ² + ( z - Y )2 6 ( P + A)² VX Е A t . □ (16)

Доказательство. Из (12) вытекает, что СПП, порождаемое схемой (11), имеет равномерно притягивающее множество {\Y\ 6 р}- Поскольку \Z| 6 \Y| + \" + r - Y|- то замкнутый шар {х ² + + y ² + ( z - Y )² 6 ( P + A)² } является равномерно притягивающим множеством СПП {UT , Z+ T^Т, Е_Т, Q}. По теореме 1.1 указанное СПП имеет компактный аттрактор, причем верно (16).

Нетрудно проверить, что входящая в (3) вектор-функция F ( X, q ) удовлетворяет в шаре

B ⁰ = {|X| 6 р + 3 с 2 + 3 с 5 } условию Липшица с некоторой константой L 0 >  0:

IF ( X, q ) - F ( X *,q* ) | 6 L o( |X - X *| + |q - q* ) ∀ X,X ^∗ ∈ B ⁰ , ∀ q,q ^∗ ∈ Q.

Далее будем обозначать через Cn различные положительные константы. Справедливо следующее утверждение о равномерной по q Е Q сходимости схемы (10).

Лемма 4. Если т 6 т 0. X ⁰ Е A. X ₀ = = ( x 0 ,y o ,z о) Е At. X ( t ) = Uq ( t, 0) X ⁰ Xk = = U" ( tk, 0) X 0 c тезi же q Е Q. T >  0 i U n = Nt 6 6 2 T, то верно неравенство

|X ( T ) - X n | 6 с ( |T - tN | + |X ⁰ - X 0 | + т ) , (17)

где постоянная с >  0 зависит только от T и констант Ck. к = 1 , 9. входящих в (Г). □

Доказательство. По теореме 2.1 |X ⁰ | 6 р + + с 2 + с 5, тогда для соответствующего вектора Y ⁰ = ( x ⁰ ,y ⁰ , w ⁰ - а (0) - r (0)) верна <щенка |Y ⁰ | 6 6 р + 2 с 2 + 2 с 5. Из (8) вытекает. что |Y ( t ) | = = |Wq ( t, 0) Y ⁰ | 6 р + 2 с 2 + 2 с 5. тогда |X ( t ) | 6 р + + 3 с 2 + 3 с 5 при всех t > 0. Аналогично убеждаемся. что |X_k | 6 р + 3 с 2 + 3 с 5 при всех к Е Z+-Используя (1), находим

Теперь покажем, что при стремлении шага т к пулю аттрактор схемы (10) лежит в сколь угодно малой окрестности аттрактора, задачи (2).

Теорема 7. Для любого е >  0 найдется константа 5 >  0 такая, что при всех т 6 5 справедлива оценка:

dist_R3 ( A_T ,A ) 6 е.               □

Доказательство. Рассмотрим зависящие от параметра, d семейства полупроиессов {Ud- T +■ Ed. Q}. в которых зиач<зииям параметра d = т >  0 соответствуют СПП {U,^ ", Z+ T^т, E_T, Q}, порождаемые схемой (10), а значению параметра d = 0 соответствует СПП {Uq , R+, E, Q}, порождаемое задачей (2). На множестве параметров D = [0 ,т ⁰] введем метрику, индуцированную из R. Из лемм 2.2, 2.3 и теоремы 2.3 вытекает, что рассматриваемые семейства полупроцессов и точка d ₀ = 0 находятся в условиях теоремы 1.3, что и доказывает пашу теорему.

• II.2.    Аттрактор явной схемы

Рассмотрим теперь явную конечно-разностную схему для отыскания приближенного решения задачи (2):

^xk +1 ^{- x}k τ

^ak ⁽ yk   xk ) ,

|X ( T ) - X ( s ) | =

T j F (X (t) ,q (t)) dt s

6 C i |s - T| V s > 0 , V q Е Q. (18)

Обозначим Xk = X(tk).  Проинтегрировав систему (3) по времени от tk- 1 до tk, находим. что Xk - Xk-1 = tF(Xk,qk) + т 5k. где 5k = 1 J (F(X(t),q(t)) - F(Xk, qk)) dt. |5k| 6 tk-1

6 CL J ( tk - t ) dt 6 C 3 T. t k - 1

Для разностей S_k = X_k - X^k получаем соотношение

Sk ^- Sk- 1 = ^{tF ( X}k , qk ) ^{- tF ( X}k , qk ) ^{- T}^k, следовательно, |S_k | 6 |S_k- 1 | + tL ₀ |S_k | + т ² C 3,

I^S          L Sk- 1 ^{| +} ( L - 1) ^Tr „ ⁶

6 (1 - тL0)N |S01 + ((1 - tL0)N - 1) Tz|’ где к = 1 ,N. От(пода |Sk | 6 7.----FEiE/E |S01 +

(1 — tL 0 ) ^A /

⁺ ( (1 —         ^- 0 T C 3 ⁶ C 4^{( |S} 0 ^{| +} T )

Последнее неравенство вместе с (18) приводит к (17).

yk +1    yk

---------= rkXk - yk - XkZk,         (19)

zk +1 - zk τ

xkyk   bk zk,

к = l, l + 1 ,...,

где xi,yi,zi залгты. qk = ( ak,rk,bk ) = q ( tk )• q ( t ) = = ( а ( t ) ,r ( t ) ,b ( t )) Е Q.

Решение (19) будем записывать как ( Xk,yk,Zk ) = Jq ( tk,ti )( Xi,yi,zi ). к >  l. Обозначив uk = Zk - ak - т_к, представим уравнения (19) в виде

xk +1 - xk τ

yk +1 - yk τ

uk +1 - uk τ

= ak ( yk - Xk ) ,

-σkxk - yk - xkuk,

= Xkyk - bkUk - bk ( ak + rk ) -

_- σk +1 - σk τ

Решение

( Xk,yk,Uk ) = W" ( tk,ti )( xi,yi,zi ). к >  l . Схему (20)

- rk +1u rk , к = l, l + 1 , ... τ

(20) будем записывать как

запишем в виде ^{Y k +1} _Т —Y k = V ( Y_k, q_k ) + Ф _k, где

ф k = (0 , 0 , -bk ( ak + rk ) - ^ai H^ - r-k +iL-Zk) .

Из (1) вытекает оценка | Ф _k | 6 G- Введем

дующие обозначения 7 ( R ) =

a ² R ² - G ²

2 a ( G ² + R ² L ² ( R ))

сле-

, где

L ( R ) — постоянная Дипшица из (14). R 0 = V 2 G.

т* = 7 ( R 0). т 0 = min { t *, 1 /a}. 9 = ^7 0 L ²( R 0).

Так как т 0 6 т* < а/ (4 L ²( R 0)). то ^ T q 6 < а/ 4. Для т 6 т о рад1гусы R_T и р_т определим равенствами

то есть

_β k ₆

( R t — 2Д)² — р 2

R ² - ρ ²

и

tLL 2( Rt ) = V4 L 2( R о), то есть

R t =           ^{R 0} ) - 1 - 3 С 2 - С 8 ,

— In вт 6 ln τ

( R t — 2Д)² — р 2

R ² - ρ ²

ρτ

2      (1 + 2 ат ) G¹²

P^T   a ( a — 2 L ²( R_T ) т )

(1 + 2 ат ) G ² a ( a — 2 6^т )

ln

Следовательно. t_k >  т —

Заметим, (1 + 2 ат * ) G

что рТ

(1 + 2 ат * ) G ²

( R t — 2Д) 2 — р Т R τ ² - ρ ² τ ln в т

а ( а — 2 @ V t * )

ним величины в правой части последнего

венства. Поскольку R _t ^ Ст ¹ / 4, р-,- ~

Оце-иера- G/a.

а ( а — 2 т * L ² ( R о ))

= R 0 6 R² при т 6 т о, причем

ln вт ~ —aт при т ^ 0. то

— р. R_T — + го щ hi т — +0.

Обозначим через в_т = 1 — aт + 2 т ² L ²( R_T ) = (1 — aт + 2 тт6"0 ) Е (0 , 1) щ hi т Е (0 ,т о].

Теорема 8. Если т 6 т ₀ и |Y| 6 R_T, то для

т ln

2Д)

( R t

ρ ² τ

Rτ2 ρτ2 ln в

решения (20) верна, оценка:

4Д\

¹    R t

~ т ln —-—   ln в

4 С Дт1 / 4

~—> 0

a

Yk| ² 6 вТ-lYil 2 + (1 — вТ^- ) РТ,  k >  I- □ (21)

Доказательство. Из (20) имеем

Yk +1 | ² = Yk + тV ( Yk ,qk )+ т Ф к | ² =

= Y| ² + 2 т ( V ( Yk, qk ) ,Yk ) + 2 т ( Yk, Ф к )+

+ т ² |V ( Yk, qk ) | ² + т ² | Ф k | ² + 2 т ²( V ( Yk, qk ) , Ф k ) .

Предположим, что |Y_k| 6 R_T и для краткости обозначим L = L ( R_T ). Оценивая ( V ( Y_k,q_k ) ,Y_k ) 6 6 —a|Yk | ². 2 | ( Yk, Ф k ) | 6 a|Yk | ² + G ² /a.

2 | ( V ( Yk , qk ) , Ф k ) | 6 |V ( Yk ,qk ) | ² + G ² ,

|V(Yk,qk)| 6 L|Yk|, находим, что

|Yk +i | ² 6 (1 — aт + 2 L ² т ²) |Yk | ² + тG ²

(2 т + 1)

Используя введенные нами ранее обозначения, запишем последнее неравенство в виде |Y_k +1 | ² 6 6 в_Т|Y_k| ² + (1 — в_Т ) Р 2- Применяя Iшлукпнто по к. убеждаемся в справедливости (21).

Поскольку р_т — р. R_T — + го щ mi т — +0. то существует шаг т д >  0 такой, что R_T > р_т + 2Д при всех т 6 т д.

Лемма 5. Для каждого т 6 т д существует время t^T Е Z+ т такое, что:

• 1)    для любого q Е Q и лтобого Yi- |Yl| 6 R_T верно неравенство

|WT ( tk + ti,ti ) Yi| 6 R t — 2Д Vtk >  t^T ; (22)

• 2)    t^T ^ 0 nj mi т ^ 0.                            □

Доказательство. Из (21) вытекает, что (22) будет выполнено, если ek (R2 — Р2) + Р2 6 (Rt — 2Д)2,

Таким образом, f можно выбрать стремящимся к пулю при т — 0.

Для т 6 т д введем в рассмотрение множество E^T = {x,y,z; x ² + y ² + ( z — y )² 6 ( R _t — Д)² } - которое снабдим метрикой, индуцированной из R³. Как и ранее, будем обозначать Z = ( x,y, z — Y )• Если Xi Е E^T- то для соответствующего Yi = ( xi,yi,zi — — ct i — ri ) имеем оценку |Yl| 6 |Zi| + |^i + ri — — y | 6 R_t- Пусть t_k,t Е Z+ С. тогда, по определению Y для решения (20) выполняется неравенство | W^t ( t_k ,t_l ) Y_l | 6 R _t — 2Д, следовательно, ^|Zk ^{| 6 |Y}k ^{| + |}^k ⁺ rk ^— Y^{| 6 R} t ^{— Д} 11 Xk = Jq ⁽ tk-t_l ) X_l Е E^t. Нами показано, что при всех q Е Q операторы Jq ( t _k- t_l ). t_k,t Е Z+С переводят метрическое пространство E^t в себя. Таким образом, определено СПП {Jq. Z₊ С". E^t . Q}.

Теорема 9. Если т 6 тд, то семейство полупроцессов {Jq, Z+ tT,ET,Q}, порождаемое задачей (19), имеет аттрактор At, причем x2 + у2 + (z — Y)2 6 (Рт + Д)2 VX Е At. □ (23)

Доказательство. Из (21) вытекает, что СПП, порождаемое задачей (20), имеет равномерно притягивающее множество {|Y| 6 р-г}• Поскольку |Z| 6 |Y| + |ст + r — Y|- то замкнутый шар {х ² + + у ² + ( z — Y )² 6 ( р_т + Д)² } является равномерно притягивающим множеством СПП {Jq, Z+ Y, E^t, Q}. По теореме 1.1 указанное СПП имеет компактный аттрактор, причем верно (23).

Лемма 6. Если т 6 т д. X ⁰ Е A. X о = ш ( х о ,у о ,z о) Е AT X ( t ) = Uq ( t, 0) X ⁰. Xk = = Jq ( t_k, 0) X ₀ с тезi же q Е Q. T >  0 11 t_N = Nt^T 6 6 2 T, то верно неравенство

|X ( T ) — X n | 6 a ( |T — tN | + |X ⁰ — X о | + т ) , (24)

где постоянная a > 0 зависит только от T и кон стант Ck- к = 1,9. входящих в (1).

¤

Доказательство аналогично доказательству леммы 2.3.

Теперь покажем, что при стремлении шага т к пулю аттрактор схемы (19) лежит в сколь угодно малой окрестности аттрактора, задачи (2).

Теорема 10. Для любого е >  0 найдется константа 5 >  0 такая, что при всех т 6 5 справедлива оценка:

dist_R3 ( A^T,A ) 6 е. □ (25)

Доказательство. Рассмотрим зависящие от параметра d семейства полупроцессов {Ud T +, Ed, Q}. в которых зиачпиям параметра d = т >  0 соответствуют СПП {Jq ", Z+ t^T, E^т, Q}, порождаемые схемой (19), а значению параметра d = 0 соответствует СПП {U_q, R+, E,Q}, порождаемое задачей (2). На множестве параметров D = [0 , т д] введем метрику, индуцированную из R. Из (23), (24) и леммы 2.4 вытекает, что рассматриваемые семейства полупроцессов и точка d о = 0 находятся в условиях теоремы 1.3, следовательно, верно (25).

• III.    Заключение

В работе исследованы условия и характер сходимости равномерных аттракторов конечноразностных схем к истинному аттрактору системы Лоренца, с зависящими от времени коэффициентами. Неявная схема, формально обладает свойством глобального притяжения, однако па. каждом шаге по времени опа. приводит к решению нелинейных алгебраических систем. Существование и единственность решения таких систем представляет собой отдельную проблему. В рассматриваемом случае мы не можем гарантировать единственность решения при произвольном начальном условии, следовательно, не можем установить существование глобального аттрактора, неявной схемы. Явная разностная схема, наиболее удобна, для программирования, по опа. не обладает свойством глобального притяжения. Тем не менее удается показать, что при достаточно малых шагах дискретизации возникает локальный аттрактор схемы, область притяжения которого бесконечно расширяется при стремлении шага, сетки к пулю. Дополнительные сложности были связаны с тем, что система. Лоренца, приводится к диссипативному виду при помощи линейной замены, в которую входят переменные коэффициенты системы. Разработанная методика, исследования аттракторов может быть применена, к широкому классу задач, содержащих явные функции времени.