Автомодуляция одномерных волн на основе нелинейного уравнения Шрёдингера с нелинейностью типа кубик-квинтик

Практически все волны модулированы, т.е. амплитуда, фаза, частота и даже форма огибающей могут медленно меняться. Модуляция может быть связана с воздействием внешних сил или полей, а может возникать в результате развития разного рода неустойчивостей. Поскольку только модулированные волны могут переносить информацию, теория распространения таких волн имеет важное прикладное значение. Основным уравнением теории модулированных волн является так называемое нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ), которое было выведено в различных областях физики: НУШ описывает распространение нелинейных ленгмюровских волн, волн на глубокой воде; волн в линиях передачи, акустических волн в жидкостях с пузырьками и, прежде всего, распространение оптического излучения в нелинейных средах. Последний класс приложений стал особенно актуальным с развитием лазерных технологий, поскольку интенсивность лазерного излучения обычно настолько велика, что возникает необходимость учитывать нелинейную часть восприимчивости среды.

В обширной монографической литературе, посвящённой НУШ, особняком стоят две книги: [1], являющаяся наиболее полным и глубоким математическим исследованием солитонной теории НУШ, и [2], представляющая собой энциклопедический обзор физических приложений НУШ в нелинейной оптике и смежных областях (число журнальных публикаций по данной тематике растёт подобно снежному кому).

НУШ описывает в общем случае эволюцию комплексной огибающей несущей периодической волны в слабонелинейной системе. Стандартное безразмерное НУШ с кубической нелинейностью имеет вид i ду / дt + d2 у / dx2 + n | V |2 у = 0. В этом уравнении быстрые пространственно-временные осцилляции уже отделены. Нелинейный кубический член | у |2 у в различных физических моделях, описываемых этим уравнением, возникает обычно из степенного разложения некоторой функции отклика системы на периодическое возмущение несущей волны. Эта функция отклика зависит от интенсивности I = | у |2 и облада- ет очевидными свойствами: в нуле она обращается в ноль и на бесконечности асимптотически стремится к постоянному значению.

Её разложение в степенной ряд имеет вид nNL(I) = n21 + n412 + .... = n2 |у|2 + n4 |у|4 +

Стандартный безразмерный вид НУШ, приведённый выше, записан при учёте наинизшего члена разложения n_NL ® n 2 1 = n 2 1 у |².

При этом коэффициент нелинейности n пропорционален n 2 .

Основной формализм

При больших амплитудных значениях комплексного поля у уже нельзя ограничиваться первым членом разложения и учёт следующей поправки приводит к уравнению:

iду / дt + д2у / дx2 + n1 |у|2 у + n2 |у|4 у = 0 . (1)

Если система обладает слабовыраженным керровским откликом, то предпоследним слагаемым в (1) можно пренебречь и получим НУШ с нелинейностью пятой степени. Способ решения такого уравнения подробно изложен в [3].

В данной работе предполагается, что n 1 отлично от нуля и поправки степени шестой и выше в разложении функции отклика пренебрежимо малы. Экспериментальные исследования в нелинейной оптике [2] подтверждают такую зависимость нелинейного показателя преломления от интенсивности оптического поля в полупроводниковых волноводах, стёклах, допированных полупроводниками, и органических полимерах.

От обобщённого НУШ (1) перейдём к уравнению для интенсивности поля I. Подстановка полевой функции у вида у = VI exp {iqx}, (2) где q – свободный параметр, играющий роль поправки к центральному волновому числу внешнего монохроматического возмущения, в (1) приводит после отделения мнимой и вещественной частей к двум уравнениям:

⁸ — о ⁸ 1 n

+ 2 q   = 0, dt     9x

^d —| —1 = 2 ( q²1 -n /² -n ₂ - ³).        (4)

d x ² 2 - (d x )              1      ^{2 ;}

Таким образом, получена система двух уравнений на одну неизвестную функцию. Метод решения подобных систем приведён в [3]. Не повторяя содержание указанной работы, приведём окончательный результат, полученный данным методом

- =

A ²

4n2 A2

1 + —— +1

\ 3П1

ch 2 s

где 5 =^n ? A ( x — x ₀ —

Vn1 At) /

2 , А и x ₀ – свобод-

ные параметры, причём q = ^n 1 A / 2 •

В том, что найденная функция является решением системы уравнений (3), (4), легко убедиться прямой подстановкой (5) в указанную систему.

Заключение

Таким образом, получено точное решение в элементарных функциях НУШ с нелинейностью третьей плюс пятой степеней.

Как легко видеть, если в полученном результате положить η2 =0, то он примет вид известного решения НУШ с нелинейностью третьей степени.

Данная статья является органичным продолжением статьи [3], что подчёркивается общностью заголовков обеих работ.