Автомодуляция одномерных волн на основе нелинейного уравнения Шрёдингера с произвольной нелинейностью

Обобщённое нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) [1] имеет вид i ду / д t + д 2V / дx2 + g (I )у = 0,                 (1)

где I = |у|² - интенсивность поля, g ( I ) - функция, характеризующая нелинейный отклик среды на внешнее гармоническое возмущение, причём g (0) = 0 , а при больших интенсивностях функция отклика стремится к постоянному значению [1]. Это уравнение описывает эволюцию комплексной огибающей несущей монохроматической волны в нелинейной среде. Оно записано в безразмерном виде, и быстрые пространственно-временные осцилляции уже отделены.

Разложение g(I) в степенной ряд имеет вид g (I) = U1 + ^212 +U313 + - .

При малых значениях интенсивности I можно ограничиться несколькими первыми членами разложения. Если g ( I ) = u , I , то нелинейный отклик называется керровским и уравнение (1) имеет кубическую нелинейность. Этот случай детально исследован многими авторами. Наиболее полное изложение приведено в [2]. Если g ( I ), рассматриваемая как функция на всей числовой оси, имеет экстремум в нуле (некерровский отклик), то g ( I ) = u ₂ I ² и уравнение (1) имеет нелинейность пятой степени. Солитонное решение для этого случая найдено в [3]. Если же g ( I ) = Ц 1 I + u ₂ I ² (нелинейный отклик смешанного типа), то уравнение (1) характеризуется нелинейностью типа кубик-квинтик и его солитонное решение найдено в [4].

В данной работе не предполагается разложение функции g ( I ) в ряд, а будет получено решение уравнения для интенсивности I в квадратурах.

Д ²Т Г 7\т\²

2 1 14 — \ Ir I = 4 q ² 1 ² - 4 g ( I ) 1 ².

д x   V д x )

Уравнение (2), будучи линейным однородным уравнением первого порядка [6], имеет своим общим решением любую дифференцируемую сложную функцию I = I ( s ( x , t ) ) , где s ( x , t ) - левая

часть первого интеграла уравнения характеристик, имеющая вид

s = x - x ₀ - 2 qt .

д I dI д s dI ( s )

Так как — =---=----, то уравнение (3)

д x ds д x    ds

превращается в обыкновенное дифференциальное

уравнение

2 1 d r -1 T I = 4 q²1 ² - 4 g ( I ) 1 ². ds V ds )

Несложно проверить, что (5) следует из нормальной системы гамильтоновых уравнений

dI _ д H ds д P ’

dP _ дH ds     дI с функцией Гамильтона

H = ( 4 P² - q ² ) 2 + 2 G ( I ),

Основной формализм

Подставляя в (1) выражение у = V 7 exp { i ( qx ) } , где q - поправка к центральному волновому числу, получим следующую систему уравнений для интенсивности:

дI ч дI . --+ 2 q— = 0 ;

д t    ^Чдx

где G ( I ) - первообразная для функции g ( I ), т.е.

G ( I ) = J g ( I ) dI . (9)

Таким образом, для уравнения (5) существует частица-аналог, подчиняющаяся классическим уравнениям динамики. Иными словами, (5) является уравнением Эйлера-Лагранжа для механической частицы-аналога.

Хорошо известно [5], [6], что решения I ( s ), асимптотически стремящиеся к нулю на бесконечности, существуют (если они существуют) при нулевой энергии механической частицы-аналога, т.е. при H = 0 . Из (6) с учётом (8) получим dI / ds = 4 IP , откуда P = ( dI / ds ) /4 1 . Подставляя это выражение в (8) и приравнивая результат к нулю, находим

dS = У 4 1² q ² - 4 IG ( I ) .

Интегрируя последнее выражение, получим решение уравнения (5) в квадратурах:

1f dI _—

^{2 J} У q²1 ² - IG ( I )

Аддитивная произвольная постоянная в (10) включена в постоянную x 0 , входящую в правую часть (10).

Формула (10) является основным результатом данной работы. Она в неявной форме определяет решение I — I ( x - x 0 - 2 qt ) , представляющее собой локализованный импульс, движущийся с постоянной скоростью.

Применим формулу (10) к различным случаям.

Для случая керровской нелинейности g ( I ) — ц 1 1 . Тогда G ( I ) — ц 1 1 ² / 2 . Полагая для удобства ц 1 — 2 ц , из формулы (10) получим

1 dI

² bjq ² -ц !

— s .

Вычисляя интеграл [7] в левой части, имеем

1 Л Уq 2 -ц I

^-п Arth —П— qq

— s .

Обращая это выражение, находим q2 / ц ch2(qs)

Обозначим, как это принято, q ² / ц — A ². Тогда

I — A2 / ch2 (УцAs), что в точности совпадает с известным [2] результатом. A2 имеет физический смысл пикового значения безразмерной интенсивности импульса.

Для случая некерровской нелинейности g ( I ) — ц ₂ 1 ². Тогда G ( I ) — ц ₂ 1 ³ / 3 . Полагая для удобства ц ₂ — 3 ц , из формулы (10) получим

1f dI _—

• ^{2 J} I,q    _:J       .

Вычисляя интеграл в левой части, имеем

Arch

2 q

q / УУ

I

— s .

Отсюда

I —

I q | / Уц ch ( 2| q|s )

Обозначая, как обычно, |q| / Уц — A2, оконча- тельно получим

I — —------ ch (2 УцA2 s)

что совпадает с результатом, найденным в [3].

Совершенно аналогично рассматривается и нелинейный отклик смешанного типа g ( I ) — ц , I + ц ₂ 1 ², что приводит к результату, найденному в [4].

Заключение

Таким образом, найденная в данной работе квадратура (10), определяющая в неявном виде точное решение обобщённого НУШ в форме локализованного импульса, содержит в себе как частные случаи все известные результаты. Эта статья является обобщающей по отношению к работам [3] и [4], что и побудило автора сохранить общность заголовков.