Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле ортогональных типов

Введение. Алгебру Шевалле L K над ассоциативнокоммутативным кольцом K с единицей характеризуют базисом Шевалле [1-3]. Ее ассоциируют с каждой из 9 неразложимых (приведенных) систем корней Ф, из которых 4 - классических типов A n , B_n, C_n, D_n и 5 -исключительных типов E_n ( n = 6, 7, 8), F ₄ и G ₂. Подалгебру в L_K с базисом из элементов e_r ( r е Ф⁺) базиса Шевалле называем нильтреугольной и обозначаем через N Ф( K ); для типа A_n- 1 она представляется алгеброй Ли, ассоциированной с алгеброй NT ( n , K ) нильт-реугольных n х n матриц над K . Авторы исследуют следующие две проблемы, изученные ранее [4; 5] в различных частных ситуациях:

• (А). Описать автоморфизмы алгебр Ли N Ф( K).

(Б). Описать автоморфизмы нильтреугольных подколец N Ф( K) алгебр Шевалле L_K .

Автоморфизмы унипотентного радикала U в подгруппе Бореля групп лиева типа над полем F описал в 1970 году Дж. Гиббс [6] при F = 2 F = 3 F , см. также [7, проблема (1.5)]. В 1990 году их описание завершил В. М. Левчук [8] (см. также [9]; задача Б отмечается там же вместе с полученным решением для типа D ₄).

В обзоре [10] задачи (А) и (Б) отмечались в связи с вопросами элементарной эквивалентности и другими теоретико-модельными исследованиями алгебр и колец Ли N Ф( K), наряду с аналогичными вопросами для групп U , восходящими кА. И. Мальцеву [11].

Автоморфизмы кольца NT ( n , K), его ассоциированного кольца Ли (т. е. N Ф( K) типа A n _—1) и присоединенной группы, изоморфной унитреугольной группе UT ( n , K), взаимосвязанно описаны в [4], а кольца Ли NC n ( K) ( n > 4) - в [12; 13].

Вопрос (А) описания автоморфизмов алгебры Ли N Ф( K) исследовался в [5], как и вопрос об Aut U -Гиббсом [6], при K = 2 K = 3 K , а для некоторых типов при более слабых ограничениях, например, K = 2 K для типов B_n , C_n и F ₄.

При переходе от алгебр к кольцам Ли, в частности, добавляются кольцевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами основного кольца (для алгебр это, очевидно, только единичный автоморфизм), расширяется подгруппа центральных автоморфизмов, т. е. действующих тождественно по модулю центра.

Наша цель - решить задачи (А) и (Б) для ортогональных типов B_n и D_n и завершить их решение для классических типов (см. теоремы 1, 2 и заключение). В решении задач мы используем методы описания Aut U в [8].

Представления, стандартные автоморфизмы и центральные ряды. Известно, что (элементарную) группу Шевалле типа Ф над K порождают корневые автоморфизмы x_r ( t ) ( r е Ф, t е K) алгебры Шевалле L_K [1, пункт 4.4]. В этом случае

U = U Ф( K ): = ( x r ( t ) | r е Ф ⁺ , t е K^ .

Для типа A n _-1 группа U изоморфна UT ( n , K). Ограничения корневых автоморфизмов x r ( t ) при r е Ф⁺ дают автоморфизмы алгебры N Ф( K), порождающие подгруппу внутренних автоморфизмов , изоморфную фактор-группе унипотентной подгруппы U Ф( K) по центру.

К основным стандартным автоморфизмам алгебр и групп Шевалле относят также диагональные и графовые автоморфизмы [14; 1; 15], а для алгебр N Ф( K) см. также [5; 8; 12]. Автоморфизмы, порождаемые основными стандартными автоморфизмами, называют стандартными .

В [8] понятие центрального автоморфизма обобщается: автоморфизм группы или алгебры Ли R, являющийся единичным по модулю m-го гиперцентра и внешним автоморфизмом по модулю (m-1)-го гиперцентра, называем гиперцентральным высоты m или, кратко, гиперцентральным автоморфизмом, когда R не совпадает с m-м гиперцентром.

Аналогично группам в произвольном кольце Ли R вводят нижний центральный ряд

R = Г 1 ₂ Г ₂ 2 - Г n 2 . , Г n + 1 : = [Г n , R ] ( n >  1) и верхний центральный, или гиперцентральный , ряд

⁰ = Z о Е Z 1 Е Z 2 Е .. , Z i + 1 ^: = { g ^{е R} |[ g , ^{R ]} Е Z i }

( i >  0).

Как в [1; 16], используем функцию высоты ht ( r ) на корнях r системы Ф, максимальный корень р и число Кокстера h: = ht (р) + 1. Полагаем p (Ф): = = max{( r , r )/( s , s ) | r , s е Ф}.

В алгебре Ли N Ф( K) стандартным центральным называют ряд

• ^L 1 ³ L 2 ³ ... ³ L h _ 1 ^{3 L} h = 0;

L i = KKe_r | r е Ф ⁺ , ht ( r ) >  i ^,

(1 <  i <  h - 1).

По аналогии с [8, лемма 1] справедлива лемма 1.

Лемма 1. Верхний и нижний центральные ряды кольца Ли N Ф( K) при p (Ф)! K = K совпадают с её стандартным центральным рядом: Г i = L i = Z h-i (0 <  i <  h + 1).

В описаниях в [5] автоморфизмов алгебр Ли NФ(K) типа Bn при K = 2K и типа Dn, когда аннулятор A2 элемента 2 в K нулевой, основные нестандартные автоморфизмы, по существу, исчерпывают следующие гиперцентральные автоморфизмы высоты 2, построенные по аналогии с Гиббсом [6]. В системе корней Ф типа Bn и Dn всегда существует и единствен простой корень q такой, что s = р-q е Ф+. Автоморфизм Гиббса алгебры Ли NФ(K) получаем для любого f е K как линейное продолжение отображения eq H eq + fes , ea H ea (a * q )•

Оказывается, при A ₂ * 0 как раз и появляются разнообразные исключительные автоморфизмы, что и потребовало для их систематизации ввести в [8] гиперцентральные автоморфизмы. Далее мы построим даже гиперцентральные автоморфизмы высоты, зависящей от лиева ранга.

Легко проверить, что при f е K линейное отображение алгебры N Ф( K) типа B n , оставляющее на месте e r , когда r - длинный корень или максимальный короткий корень с , и переводящее e_r в e_r + fe_r+c для любого короткого корня r * с , является автоморфизмом, который называем полувнутренним (при f /2 е K это корневой автоморфизм х_с(f /2)).

Выявим автоморфизмы алгебры Ли ND n ( K ) ( n > 4) с нестандартным действием по модулю централа Г₂. Как и в [4], в группе SL (2, K ) выделяем подгруппу

S : =К a ¹¹ a ¹² |е SL (2, K ) |2 a_n a₁₂ = 2 a ₂₁ a ₂₂ = oL

Ц a 21 a 22 )                                    J

В системах корней Ф типа D n ( n > 4) выбирают однозначно симметрию порядка 2 и простые симметричные корни r и r . Аналогично [4] для типа A ₃ = = D ₃, любой матрице A е S соответствует автоморфизм A алгебры Ли ND n ( K ), характеризуемый действием

A : er H a11 er + a12 er, er H a21 er + a22 er, es H es (S е П 4r,r}).

Центральные ряды кольца Ли NB_n ( K ) при 2K * K строятся сложнее. Мы используем представление из [8] алгебр N Ф( K) классических типов специальными матрицами. Алгебра N Ф( K) типа B n выбирается с базисом { e iv | 0 <  |v| <  i <  n }, а типа D n - как подалгебра с базисом { e iv | 0 < |v| < i <  n }. Произвольный элемент а е N Ф( K) в них представляем суммой a = £ a iv e iv = = ||a_iv|| , называя, соответственно, B n ⁺ -матрицей и D_n⁺ -матрицей. Тогда умножение определяется по правилу:

Ф = B n , D n : [ e j , e v ] = e iv ,

[ e_J v ,e_l __v ] = e i , —j ( i >  j >  |v| > 0),               (1)

Ф = B n : [ e j , e j 0 ] = e i 0 , [ e i 0 , e j 0 ] = 2e, , —j ( i >  j ).

Подмодуль в Li с базой { e uv | 0 <  v < u <  n , u - v >  i }

n обозначим через Li[0. Пусть также Rj:= E Kei0, 1 < j < n.

i = ^j

С помощью соотношений (1) несложно вытекает лемма 2.

Лемма 2. Центральные ряды кольца Ли NB n ( K ) записываются в виде:

Г i = L i ^[0 + L i+ 2 + 2 L i (1 < i <  n ),

Г , = L_{i+ 2} + 2 L i ( n < i < 2 n - 3), Г , = 2 L i ( i > 2 n - 2);

Z i = L 2 n-i + A 2 R n+ 1 -i (1 <  i <  n - 2),

Z n -1 = ^Ln+ 1 ⁺ A 2 R 2 ⁺ A 2 ^en 1 ,

Z n+i = L n—i + A 2 R 1 + A 2 L n—i— 2 ^[0 (0 <  i <  n - 3), Z _{2 n -2} = L ₂ + A ₂ L ₁.

Автоморфизмы колец Ли N Ф( K) ортогональных типов. Ступень нильпотентности кольца Ли N Ф( K), а поэтому и функция / = / (Ф, K) наивысшей высоты его гиперцентральных автоморфизмов ограничена числом Кокстера h = h (Ф) системы корней Ф. Естественно, возникает вопрос о наилучшей оценке функции % (Ф, K).

Близка к ступени нильпотентности высота следующих гиперцентральных автоморфизмов алгебры Ли NB_n ( K ) ( n > 3):

n - 1

Z t,d ^{: a = | | a}uv ^| H ^a + E ^ak - 1 ^{( te}k 0 ⁺ de n, - k ) ⁽ t, d ^е A 2 ) , k = 2

^i,t : « = 11 auv   > « + t IL a^k,-i, k=i+1

i = 1, ..., n - 2 ( t е A ₂).

Когда 2 K * K , к порождающим множествам Ke_ii- 1 (0 < i < n + 1) кольца Ли NB_n ( K ) следует добавить Ke ₂ , _—1. При обратимом 1 + с е 1 + A ₂ выделяем полу-диагональный автоморфизм

5С-1) : ekv H (1 + с)ekv (0 < -v < k ^ n), ekv H ekv (0 ^ v < k ^ n).

При A ₂ * 0 мы выделяем, кроме указанных, также другие гиперцентральные автоморфизмы высоты 3, 4 и 5, индуцирующие автоморфизмы и подалгебры ND_n ( K). Вместе с полувнутренними автоморфизмами, автоморфизмами Гиббса, ^ i , _t ( i > 1) и z t , _d , они порождают подгруппу автоморфизмов алгебры NB_n ( K ), обозначаемую через V ( B_n ).

Теорема 1. Всякий автоморфизм кольца Ли NB_n ( K), n >4, есть произведение автоморфизма из V ( B_n ), стандартного и вида 5 _с ^(-1), ^ 1, _t автоморфизмов.

Нильтреугольная алгебра Ли ND_n ( K ) представляется в алгебре NB_n ( K ) подалгеброй всех B„ -матриц, у которых 0-й столбец состоит из нулей. Она инвариантна относительно автоморфизмов ^ i, _t (1 <  i <  n - 2, t е A ₂) и автоморфизмов из V ( B_n ) высоты < 5. Их ограничения индуцируют автоморфизмы алгебры ND_n ( K ) (обозначения сохраняем), порождающие подгруппу автоморфизмов алгебры ND_n ( K ), обозначаемую через V ( D n ).

Изоморфизм группы ( A ₂, + ) на пересечение V ( D_n ) А S , очевидно, дает отображение t ^ ^ 1, _t ( t е A ₂) . Автоморфизмы кольца Ли ND_n ( K) описывает теорема 2.

Теорема 2. Всякий автоморфизм кольца Ли ND_n ( K ), n >  4, есть произведение стандартного автоморфизма на автоморфизм из S •V ( D_n ) .

В доказательствах теорем существенно используется характеристичность централов Г i и гиперцентров Z j , а также их централизаторов. Вначале удается провести редукцию произвольного автоморфизма к гиперцентральным автоморфизмам; используются умножения на диагональный и индуцированный кольцевой автоморфизмы и, кроме того, автоморфизм из S для типа D n , полудиагональный и вида ^ 1, t автоморфизмы для типа B n . Далее автоморфизм удается редуцировать к центральному автоморфизму умножениями на внутренние и построенные гиперцентральные автоморфизмы.

Заключение. Полученные теоремы решают также вопрос (А) об автоморфизмах алгебр N Ф( K). Вместе с основными теоремами из [4; 12] они показывают также, что группа автоморфизмов кольца Ли N Ф( K) классического типа ранга n >4 есть произведение группы автоморфизмов алгебры Ли N Ф( K) на произведение подгрупп центральных автоморфизмов и автоморфизмов, индуцированных автоморфизмами основного кольца K .

Acknowledgments. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research, grant 16-01-00707.