Автоморфизмы обобщенной унипотентной группы UDt(K)

0 X x ¹ -1, k ^E i , k⁰ k =2- i

X x ¹ s ,1- i ^E s ,- i ° x ¹ j ,1- i ^E j +1,- i = ⁰ ■ s = i +1                                  _____________

Следовательно, x^ = 0,j >i, k = 1 - j , -1 , те^ (x E , _{i - 1} ) ^ф имеет нули ниже i-й строки

Рассматривая коммутатор

[(xE. .-^ ,^/],, -^^ имеем

• ^- X x j , k ^E j +1, k ^0- k =1- j

• ^- X x s ,- j ^E s, - j - 1 ^0XX i -1,- j ^E i ,- j -1 = ⁰

s = j +2                             ___________

Учитывая, что x^ = 0, k = 1 - j ,-1 , x_s _ = 0, s = j + 2, i -1 , скоммутируем два элемента (x E ₁ . _{- 1} ) ^ф и (y E ₁ p°, i <у Так как их коммутатор равен нулю, то -г . . хе ^, . = 0,

_/ +1,1-, У + 1,-i а значит произвольный элемент (xe. i- 1)ф имеет в i-й строке не более, трех ненулевых элементов на позициях (i, 1 - i), (i, 2 - i), (i, 3 - i)

Рассматривая коммутаторы

К^.Л

ЛуЕ^.Л (е,,._1П получим, чтоу =0^ Таким образом, для произвольной матрицы xE, i -1 ее образ относительно о имеет вид xi-2,3-i Ei-2,3-i ° xi-1,2-iEi-1,2-i 0 xi, 1-iEi, 1-i ° xi,2-iEi,2-i 0xEi,i-r

Теперь уточним значения x_{i - 23 -} , , x_{i -12 -} . , x , ₁ _. , x . ₂ _ . ■ Для этого рассмотрим два коммутатора:

[Н^лл^и [(е^ли^л

Откуда следуют соотношения: xi-1,2-i=x'1'i-1,2-i, x' 1i,1-i-xi+1,1-i = -xxi,1-/, x' 1i,1-i = xi,1-i, x'xi-1,2-i=xi,2-r

По соотношениям (3) и (2) вытекает, что xi,1-i-xi + 1,1-i = -xxi,1-i, (1+x)xi,1-i = xi+1,1-i^

Пусть x = y + z, тогда

⁽¹ + у +Ziy i, 1 - i +⁽¹ +y+ ^{z ) z}i, 1 - i = T i ₊ 1, 1 - i + ^zi ₊ 1,1 - i ,

⁽¹ +y + ^{z )}y. 1-i + ⁽¹ +y + ^{z )} z. 1-i = ⁽¹ +y⁾y. 1-i +^{(1 + z ) z}i,1

Откуда следует, что

^.1-, ⁺УЕ ,1-, = °

Так как z,y - произвольные элементы поля К, то положим z = x = y^ Получаем 2yy , _{1 -} . = 0 и, соответственно, y . _{1 -} , = 0^ По произвольности у следует, что для любой матрицы x „ J ее проекция на (i, 1 - i) нулевая:

x, 1- , = ¹ , ,1- , =⁰^

По соотношению (2) следует, чтоxi+11 .=0 или, что то же самое, xi2-. = 0^ А по соотношению (4) вытекает, что

= 0, т■е■x. ,, =0^

’            . - 2, 3 -.

x. , , ■ .- 1, 2 -.

Остается неизвестным значение x. -1 2 - . Равенство нулю коммутатора [(xE, ,-1)ф, (е, ,_ 1)ф] даст соотношение (1)^ Так как [(xE,.+ 1 ,)ф, (е, ,_1)ф] =x Ei+1 ,_1, то рассмотрим коммутатор

^[y ^E i ₊ 1,i-1 , ^xi-1,2-i ^E i-1,2-i O^xE;i-1 ^]=⁰^

В силу того, что [(y E _{i + 1} , _-1) ^ф , (x E , ,_ ₁) ^ф ] = 0, получим yx_{i -1 2- i} = 0^ И поскольку у ^ 0, то x_{i -12- i} = 0^

Теорема доказана^

Таким образом, сформулировано и доказано, что всякий автоморфизм группы UD (К) над полем К характеристики А 2 разложим в произведение диагональных, полевых, графовых и локально внутренних автоморфизмов^