Авторегрессионное прогнозирование показателей эффективности сельскохозяйственных предприятий по тренду и колеблемости

Одной из важнейших задач статистики изучения показателей эффективности сельскохозяйственных предприятий является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (или временной ряд) – это числовые значения определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени.

В таблице 1 представлена динамика показателей эффективности сельскохозяйственных предприятий Орловской области. А это динамика прибыли, затрат и рентабельности.

Таблица 1 – Динамика прибыли, затрат и общей рентабельности сельскохозяйственных предприятий Орловской области.

Годы	Прибыль, млн. руб.	Затраты, млн. руб.	Рентабельность, %
1	2	3	4
2004	471,627	2205,769	21,38
2005	555,137	2428,49	22,86
2006	455,007	2746,82	16,56
2007	526,95	2783,2	18,93
2008	518,326	2002,33	25,89

Продолжение таблицы 1

1	2	3	4
2009	785,526	3759,6	20,89
2010	541,955	3229,27	16,78
2011	823,027	1935,82	42,52
2012	1912,699	5379,98	35,55
2013	1209,708	3754,48	32,22
2014	881,293	3692,05	23,87
А	40,97	148,6276	0,2489
Т	1,06452	1,0529	1,0114

Проверка наличия тенденции в исследуемом динамическом ряду, отраженный в таблице 1, основана на сравнении двух средних, вычисленных для двух равных по числу членов частей, на которые разбивается динамический ряд. Каждая из частей рассматривается как самостоятельная совокупность, имеющая нормальное распределение. Поэтому если динамический ряд имеет тенденцию, средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно различаться между собой. Если же расхождение средних будет незначительным, т.е. случайным, то динамический ряд не имеет тенденции.

Проверим гипотезу о существовании тенденции в динамическом ряду прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области.

Разобьем динамический ряд прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области на две части, каждая из которых представляет собой самостоятельную выборочную совокупность, имеющую нормальное распределение.

2004-2008 гг. – n 1 = 5 шт.

2009-2014 гг. – n 2 =6 шт.

Принимаем нулевую гипотезу о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. По каждой части ряда рассчитаем среднюю прибыль и дисперсию.

Среднюю прибыль рассчитаем по формуле:

y = 5yi(1)

n где yi – уровни динамического ряда;

n – число уровней ряда.

_  471,627 + 555,137 + 455,007 + 526,950 + 518,326  2527,047, y., =------------------------------------------------=---------= 505,4094 млн. руб.

_   785,526+541,955+823,027+1912,699 +1209,708 + 881,293  6154,21 dnnc7nd^

y2 =----’-----------’-----------’------------’------------’----------’----=------’— = 1025,701млн.руб.

Рассчитаем дисперсию для каждой части ряда по формуле:

s2  % yi-y)

n s2 ( 471,627-505,40942 + 555,137 -505,4094^2 + 455,007 -505,40942 + 526,950-505,4094^2 +

1 =

+ 518,326 - 505,40942  6785,323 _С7ПСС

—-------------------- =--------= 1357,065 млн .руб.

_s2 ( 785.526-1025.7012 + 541.955-1025.7012 + 823.027-1025.7012 + 1912.699-1025.7012 +

+ 1209,708 - 1025,701? + 881,293 - 1025,701?

Проверим гипотезу о равенстве дисперсий.

Рассчитаем F критерий по формуле:

F = S 1

S22

1174248,672

-----------= 195708,112млн. руб.

F =

1357,065 195708,112

0,0069

По специальной таблице «Таблица 5% уровня распределения F» установим табличное значение критерия Фишера F табл. (0,0.5,5.6)= 4,39.

Так как F табл. >F ф (4,39>0,0069), то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, надежность уравнения регрессии.

Проверим основную гипотезу о равенстве средних.

H0: У1 = У 2

Для этого рассчитаем Т критерий по формуле:

У1 - У2             n • П(n1 + П2 - 2)

—,                                      - • ---------------------------

V ( П 1 - 1) • S { + ( n 2 - 1) • S 2 V      ⁿ 1 ⁺ П 2

505.4094 - 1025.701            / 5 • 6(5 + 6 - 2)

—.                                       — • _ ---------------

7 (5 - 1) • 1357.065 + (6 - 1) • 195708.112  V 5 + 6

-2,303

По таблице «Значение критерия t Стьюдента при уровне значимости 0, 10,0,05,0,01» на основе заданной вероятности (0,95) и числа степеней свободы n-2(11-2=9) определим табличное значение критерия t Стьюдента.

tma6. (0,05 • 9) = 2,2622

Так как |^| < t^^ (-2,303<2,2622), то следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу – можно считать, что математические ожидания генеральных совокупностей равны.

Так как прибыль меняется по годам более-менее равномерно, то для всех рядов динамики прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области формой тренда может служить уравнение прямой линии.

Модель линейного тренда является простейшей моделью, применяемой для прогнозирования:

где

^{~ y} ( t )

^{~ y} ( t )

= а + bt

– теоретические уровни;

a    – средняя урожайность;

b    – среднегодовой абсолютный прирост;

t     – обозначение времени.

^У

а = —

n

b =

E yt

E t

Установим уравнение тренда для сельскохозяйственных предприятий Орловской области. Определим для этого параметры a и b , используя таблицу 2.

a =

8681,255

» 789,05

b =

9655,473

= 87,778

Уравнение тренда имеет вид:

Таблица 2 –Динамика прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области

Годы	Прибыль , млн. руб.	По-рядковый номер года	Аналитическое выравнивание по уравнению прямой линии
			t	t2	у xt	У	\yi-Vt\	(yi - yt)2
2004	471,627	1	-5	25	-2358,1	350,31	121,3071	14715,42
2005	555,137	2	-4	16	-2220,6	438,09	117,0401	13698,39
2006	455,007	3	-3	9	-1365,0	525,87	70,86692	5022,12
2007	526,95	4	-2	4	-1053,9	613,65	86,70095	7517,05
2008	518,326	5	-1	1	-518,3	701,42	183,102	33526,33
2009	785,526	6	0	0	0	789,20	3,679	13,54
2010	541,955	7	1	1	541,96	876,98	335,027	112243,1
2011	823,027	8	2	4	1646,05	964,75	141,7321	20087,98
2012	1912,699	9	3	9	5738,09	1052,5	860,1629	739880,2
2013	1209,708	10	4	16	4838,83	1140,3	69,39489	4815,65
2014	881,293	11	5	25	4406,46	1228,0	346,7971	120268,2
Итого	8681,255	х	0	110	9655,47	8681,25	2335,81	1071788

Таким образом, рассчитаем параметры a и b:

~ t) = 789,205+ 87,78t

За период 2004-2014 гг. прибыль сельскохозяйственных предприятий Орловской области имела тенденцию увеличения в среднем на 87,788 млн.руб. Средняя прибыль сельскохозяйственных предприятий за анализируемый период составила 789,205 млн.руб.

В статистике для измерения колеблемости динамического ряда разработана система показателей:

• 1)    Амплитуда или размах колебаний:

Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значением признака в изучаемой совокупности:

Рассчитаем по формуле

R (t)⁼ y max^- y min^,                                                 (8)

где y max ,y min - наибольшее и наименьшее значения изучаемого признака R (t) =1912,699-455,007=1457,692 млн. руб.

Таким образом, на предприятиях Орловской области разница между максимальным и минимальным размером прибыли в период с 2004 г. по 2014 г. составила 1457,692 млн. руб.

• 2)    Cреднее линейное отклонение:

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины. Эта величина всегда именованная и измеряется в тех же величинах, в которых даны статистические показатели.

Рассчитаем по формуле:

∑| ViSt |

где y i – фактический уровень, y t ˜– теоретический уровень, n – число уровней,

• p – число параметров уравнения тренда.

l=2335,81/(11-2)=259,534 млн. руб.

В период с 2004 г. по 2014 г. прибыль сельскохозяйственных предприятий Орловской области отклоняется от уровня тренда на 259,534 млн. руб.

• 3)    Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз в среднем колеблется величина признака совокупности. В зарубежной литературе оно называется стандартным отклонением и применяется в различных стандартах. Рассчитаем по формуле

∑( yi-yt ^{) 2}

=

\ n-p где yi – фактический уровень, yt˜-теоретический уровень, n-число уровней, p-число параметров уравнения тренда

1071788,08

5 =         ^,   = 345,09 млн. руб.

11–2

За анализируемый период прибыль отклонялась от уровня тренда в среднем на 345,09 млн. руб.

• 4)    Коэффициент колеблемости:

Отражает относительную меру колеблемости крайнихзначений признака вокруг средней.

Рассчитаем по формуле:

v =  × 100%                                (11)

Профессор М.М. Юзбашев рекомендует оценивать колеблемость таким образом: слабой, если v ≤10%; умеренной, еслиv ≤20%; сильной, если 20%≤v ≤ 40%; очень сильной, если v> 40%.

v=(345,09/789,205)*100%=43,73%

Колебания прибыли сельскохозяйственных предприятий является очень сильными и составляют 43,73% среднего многолетнего уровня.

Для изучения динамики посевной площади рассчитаем коэффициент устойчивости по формуле :

K уст =1 – v                                                   (12)

К уст =1-0,4373=0,5627

В среднем в виду ежегодной колеблемости обеспечивается 56,27% уровня, рассчитанного по тренду.

Рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмена для прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области.

Коэффициент корреляции рангов Ч. Спирмена рассчитаем по формуле

K_p =1-⁶" ^∑ 5                              (13)

где d – разность между рангом уровня себестоимости и рангом номера лет (d=Py-Pt), n – число уровней ряда.

Таблица 3 – Расчет коэффициента корреляции рангов Ч. Спирмена

6 × 28 113–11

К р =1-

Коэффициент корреляции Ч.

Годы	Прибыль, млн. руб.	Р у	Р л	d=P y -P л	d 2
2004	471,627	2	1	1	1
2005	555,137	6	2	4	16
2006	455,007	1	3	-2	4
2007	526,95	4	4	0	0
2008	518,326	3	5	-2	4
2009	785,526	7	6	1	1
2010	541,955	5	7	-2	4
2011	823,027	8	8	0	0
2012	1912,699	11	9	2	4
2013	1209,708	10	10	0	0
2014	881,293	9	11	-2	4
Итого	–	–	–	0	38

=0,873

Спирмена показывает, что размер прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области имеет устойчивый рост, равный 87,3%.

Составим точечный прогноз прибыли сельскохозяйственных предприятий

Орловской области на 2015–2017 года.

Уравнение тренда имеет вид:

~ t) = 789,205 + 87,78t , если в 2014 г. t = 5, то в 2015 году t =6,в 2016 году t =7 и в 2017 г. t = 8, то размер прибыли будет равен :

y_tt  =789,205+87,78 x 6=1315,885 млн. руб.

у ft  =789,205+87,78 x 7=1403,665 млн. руб.

y_f t   =789,205+87,78 x 8=1497,455 млн. руб.

На основании точечного прогноза прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области в 2015 г. составит 1315,885 млн. руб.; в 2016 г. составит 1403,665 млн. руб., в 2017 г. – 1497,455 млн. руб.

Таблица 4 – Прогнозирование прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области на 2015-2017 года, млн. руб.

Год	Точечный прогноз	Интервальный прогноз		t
		Нижняя граница	Верхняя граница
2015	1315,885	740,45	1891,3	6
2016	1403,665	789,84	2017,5	7
2017	1497,455	842,62	2152,3	8

Интервальный прогноз учитывает уровень колеблемости прибыли и определяется по формуле:

^прогноз интервальный = ^(i+1) ± ^(i+1) ^ v yпрогноз 2015 интервальный =1315,885 +1315,885 *0,4373=1891,3млн. руб.

y прогноз 2015 интервальный =1315,885 -1315,885 *0,4373=740,45млн. руб.

y прогноз 2016 интервальный =1403,665 +1403,665 *0,4373=2017,5млн. руб.

y прогноз 2016 интервальный =1403,665 -1403,665 *0,4373=789,84млн. руб.

y прогноз 2017 интервальный =1497,455 +1497,455 *0,4373=2152,3млн. руб.

y прогноз 2017 интервальный =1497,455 -1497,455 *0,4373=842,62млн. руб.

Из точечного и интервального прогнозирования следует, что в дальнейшем среднегодовой прибыли сельскохозяйственных предприятий Орловской области будет иметь тенденцию к росту.

При точечном прогнозе прибыль сельскохозяйственных предприятий будет в 2015 году 1315,885 млн. руб., в 2016 году 1403,665 млн. руб., в 2017 году 1497,455 млн. руб.

При интервальном прогнозе прибыль сельскохозяйственных предприятий в 2015 году будет находиться в интервале от 740,45 млн. руб. до 1891,3млн. руб, в 2016году - от 789,84 до 2017,5млн. руб; в 2017году–от 842,62 до 2152,3млн. руб.