Banax fazosida oshkormas va teskari funksiya haqidagi teoremalarning tatbiqlari haqida

Ma`lumki [1], oshkormas va teskari funksiya haqidagi klassik teorema juda ko‘p tatbiqlarga ega. Biz bu teoremalarni Banax fazolari uchun keltiramiz va ularning chegaraviy masalalarni yechishga tatbiq etamiz.

• X , Y , Z - Banax fazolari bo’lsin. L ( y ; Z ) bilan Y fazoni Z fazoga o‘tkazuvchi uzluksiz chiziqli akslantirishlar fazosini belgilaymiz, W = { ( x , y ) e X x Y ||| x - x ₀|| <  а л| | y - y ₀|| <  в } ( x ₀ e X , y ₀ e Y ) deylik. F : W ^ Z akslantirishni qaraylik. Tayinlangan x e { x e X | x - x ₀ <  a } uchun ^{F ( x} , • ) ^{: {} y ^{e Y} | | y ^- У o|| <  в } ^ Z akslantirishning Freshe ma'nosidagi hosilasini D_yF ( x , y ) deb belgilaymiz, ( x , y ) ^ D_yF ( x , y ) e L ( Y ; Z ). C ( w ; Z ) bilan barcha

• f : W ^ Z uzluksiz akslantirishlar (funksiyalar) sinfini belgilaymiz.

Teorema 1 [1]. Faraz qilaylik, F : W ^ Z akslantirish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

• 1.    ^F ( ^x 0 , y 0 ) = 0.

• 2.    F e C ( W ; Z)

• 3.    D y ^{F ( x} 0 , y 0 ) - chiziqli gomeomorfizm.

U holda x nuqtaning X dagi shunday U atrofi va y nuqtaning Y dagi shunday V atrofi topiladiki, ixtiyoriy x e U uchun y ga nisbatan F ( x , y ) = 0 tenglamaning yagona y = f ( x ) e V yechimi mavjud. Bunda f : U ^ V akslantirish uzluksiz bo‘ladi.

Eslatma. Agar teoremani shartlariga qo‘shimcha F akslantirish n marta uzluksiz differensiallanuvchi ham bo’lsa, topilgan f : U ^ V akslantirish ham n marta uzluksiz differensiallanuvchi bo‘ladi.

Masala 1. Quyidagi nochiziqli chegaraviy masalani qaraylik:

y' + I f ( t , y ) = 0,  0 <  t <  l , y (0) = y ( l ) = 0.                  (1)

Isbotlaymizki, agar f uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu masala 0 ga yaqin Л e □ lar uchun yagona yechimga ega bo‘ladi.

Isboti. Ushbu

X = □ , Y = { f : [ 0; l ] ^0 | f e C ² [ 0; l ] л f ( 0 ) = f ( l ) = 0 } , Z = C ( [ 0; l ] ) .

fazolarni kiritaylik. Bu fazolar o‘zlarining odatiy normalariga ega deb hisoblanadi. F : X x Y ^ Z akslantirishni

F ( Л , y ) = y " + Л (t , y )

formula bilan aniqlaylik. F uzluksiz va F ( 0,0 ) = 0, ya'ni Л = 0 da (4) masala y = 0 trivial yechimga ega. Shuningdek, agar y ₀ e Y bo‘lsa,

DyF (Л, y 0 X z) = z" + Л f^y0! z, dy ya`ni

( Л , y ) ^ D y F ( Л , y )

akslantirish uzluksiz.

Endi ushbu T = DyF(0,0): Y — Z chiziqli akslantirishni qaraylik. Biz shu akslantirishni chiziqli gomeomorfizm ekanligini ko‘rsatishimiz kerak. Ma`lumki [3], har bir h e C([0;l]) uchun v" = h(t),0 < t < l, v(0) = v(l) = 0 chegaraviy masala yagona yechimga ega va u

—

~ ( l - 1 ) s , 0 <  s <  t

-1 ( l - s ) , t <  s <  П

l v (t) = f G(t, s)h (s) ds,   G (t, s)=<

—

formula bilan beriladi. (2) munosabatdan T “1ning in'ektiv va uzluksizligi kelib chiqadi, chunki

||v || = | T^-1 h || <  c||h ||, c - const .

Demak, oshkormas funksiya haqidagi teoremani barcha shartlari bajariladi. Shuning uchun nolning yetarlicha kichik atrofidagi A eD larda (1) tenglama yagona y e Y yechimga ega.

Teorema 2 [1]. Aytaylik, X , Y - Banax fazolari, U - a e X nuqtaning ochiq atrofi bo’lsin. f : U — Y akslantirish uzluksiz differensiallanuvchi va Df ( a ): X ^ Y - chiziqli gomeomorfizm ham bo’lsin. U holda a nuqtaning shunday U' atrofi, f ( a ) ning shunday V atrofi mavjud va bir qiymatli aniqlanadigan shunday g funksiya topiladiki, ular uchun

• a )    f : U' - V V - biyektiv akslantirish,

• b )    g : V — U '- biyektiv akslantirish va V x e U' g ( f ( x ) ) = x ,

• c )    g e C¹ (V ; U ‘ ) va Dg ( f ( a ) ) = D - ¹ f ( a )

xossalar o‘rinli bo‘ladi.

Teskari funksiya haqidagi bu teorema oshkormas funksiya haqidagi teoremadan standart usulda keltirib chiqariladi.

Masala 2. Ushbu x" + Ax + f (t, x) = g, x (0) = x (2l), x '(0) = x '(2l)             (3)

chegaraviy masalani qaraylik. Bu yerda g - 2l davrga ega bo‘lgan uzluksiz funksiya va AeD - parametr.

Quyidagi fazolarni qaraylik:

X = C ² ( [ 0;2 l ] ;□ ) n { x | x (0) = x (2 l ) л x (0) = x'(2l ) } ,   Y = C ( [ 0;2 l ] ;□ ) .

Bu fazolarda odatiy normalar kiritilgan deb hisoblanadi.

Agar f uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda ba'zi A lar uchun barcha g larda (3) masala yagona yechimga ega.

Isboti. Aytaylik F : X ^ Y funksiya

F ( x ) = x" + A x + f ( t , x )

formula bilan berilgan bo‘lsin. Ushbu x^DF (x) e L ( X; Y )

akslantirish uzluksiz, ya`ni F akslantirish  C1  sinfga tegishli. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma`lumki [3], x” + Ax = h tenglama A ^ nn2,n = 1,2,... bo‘lganda har bir 2l davrli uzluksiz h fUnksiya uchun

2l davrga ega bo’lgan yagona yechimga ega va x <  C h , C - faqat A ga bog’liq o’zgarmas. Demak, DF (0) - X ni Y ga o’tkazuvchi chiziqli gomeomorfizm.

Teorema 2 ga ko‘ra har bir g e Y va berilgan A ^ n n2 uchun (3) masala yagona yechimga ega.

Keltirilgan teoremalar xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun qo`yilgan chegaraviy masalalar yechimlarini o`rganishda ham qo`llanilishi mumkin.

Adabiyotlar

• [1]    В.А.Треногин. Функциональный анализ. -М.:Физматлит, 2007.

• [2]    В.А.Зорич. Математический анализ,ч.2. -М.: МЦНМО, 2019.

• [3]    Ф.Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. Мир, 1

"Теория и практика современной науки" №12(114) 2024