Базис свободной алгебры многообразия разрешимых коммутативных альтернативных алгебр

Автором ранее изучались вопросы конечной базируемости тождеств многообразия коммутативных альтернативных алгебр А над полем характеристики 3 с соотношением ( A 2 ) k = ( A ^m )³ = 0. В этой работе более детальному изучению подвергается частный класс при k =3, m =2, построен базис его свободной алгебры. Для этого строится вспомогательный пример алгебры порождающей многообразие D . Построен базис свободной алгебры центрально-метабелевого многообразия, т.е. многообразия заданного соотношением (( A 2 ) 2 ) • A = 0. Затем построен базис полилинейной части свободной алгебры многообразия D (теорема).

• 1.    Вспомогательная алгебра A

• 2.    Базис свободной метабелевой и центpально-метабелевой алгебр

Построение вспомогательной алгебры A е D проведём с помощью конечномерной супеpалгебpы.

Положим, E 0 ={ a,b }, E 1 ={ x, ax, bx }, E = E ₀ u E 1 , B=Ф ( E 0 ) +Ф ( E 1 ). Суперкоммутативное умножение на базисных элементах: a · a = b , a · x = ax, b · x = ax · a = bx , ax · x = a, bx · x = – b . Остальные произведения полагаем нулевыми.

Легко видеть, что B \ B ² = Ф { x }, B ²\ B ⁽²⁾ = Ф { a , ax }, B ⁽²⁾ = Ф { b , bx }, ( B ²)³ = 0.

Утверждение. B – коммутативная альтернативная супеpалгебpа. Гpассманова оболочка A = G ( B ) - коммутативная альтернативная ниль-алгебра индекса 3 с соотношением ( A ²)³ = 0 .

Положим M с D - многообразие метабелевых алгебр, т.е. алгебр А с соотношением ( A 2 ) 2 = 0.

Лемма 1. Пусть F = F(M) – свободная алгебра многообразия M метабелевых алгебр. Тогда множество полилинейных одночленов вида xx-x ... xt , i < i2 <... < i„ 4, j > i

J i I i 2 i n _— I ^v 1       2                 n 1 ^J 1

образуют базис пространства U ( F ) .

Пусть F=F ( D ) – свободная алгебра многообразия D с множеством свободных порождающих X = { x„x 2 ,..., x_n ,...}.

Тождество центральной метабелевости имеет вид [( x ₁ x ₂)( x ₃ x 4 )] x 5 = 0 .

Пусть A – свободная алгебра от множества порождающих X, I – идеал A . Обозначим через P ( I ) пространство полилинейных многочленов алгебры A, содержащихся в идеале I, P_n ( I ) с P ( I ) - подпространство полилинейных многочленов от множества порождающих X_n длины n .

Обозначим, Z_n = {1,2,..., n }, n >  4, ф , j = x'^ ... x ‘ - операторное слово длины n - 4, где { i 1 ,..., i n - 4 } = Z n \{1,2, i , j }, i 1 <  ... <  i n - 4 .

Лемма 2.

• 1.    Базис пространства P_n ( F ⁽²⁾ ( C )) при n = 4 t или n = 4 t + 3 составляют полилинейные одночлены вида

• а )    x 1 xiVi, j ⁽ x 2 x j ),² <  i <  ^j ,

• б)    x i xi Vi 3 (x 2 x 3 ),i >  3,

• 2.    При n = 4 t + 1 или n = 4 t + 2 базис составляют элементы типа а ) и б ) и полилинейный одночлен

• в ) x ₁ x ₅ ϕ _5,4( x ₂ x ₄) .

• 3.    Базис свободной алгебры F(D)

Положим F0(2) = F(2) , и далее по индукции F^ = F^2 ■ F. Будем считать, что множеством свобод- то ных порождающих алгебры F / Fp2) служит X. Заметим тогда, что P(F(2)) = Ф P(F(2) / F(+)). p                                                        p=0     p p

В этом пункте мы построим базис каждого из пространств P ( F p ²⁾/ F P +1 ). Ясно, что F₀№/ F 1 ⁽²⁾ = F ⁽²⁾( C ).

Положим, H_n – система элементов а ) – в ) из леммы 2, т.е. система базисных элементов пространства P_n ( F ₀⁽²⁾/ F ₁⁽²⁾) .

Обозначим, ^ n , _p = x П _ _{p + 1}... x n - операторное слово длины p , e n = x ₁ x 5 ^ 5,4 ■ x ₂ x 4 e H_n , e n , _p = e n _ _p^ „ , _p ,

^НП = ^{ x i x 4 Ф 4, j ■ x 2 x j ^{e H}n }.

Действие перестановок симметрической группы на пространстве многочленов длины n определим стандартным образом.

Основным результатом является следующее утверждение.

Теорема. Базис пространства P_n ( F^² / F_p⁽ + 1 ), где 1 < p < n- 4, составляют элементы следующей системы (обозначим эту систему E_{n , p} ):

• 1)    H_n , p = { b^ n , p\b e H n , p },

• 2)    H n , p (1 k ) = { b (1 k ) I b e H n , p }, где k=n-p +1,

• 3)    e n , p (1 i )(2 j )для всех i , j e {1,2} о Z n , p , i <  j, { i,j } * {1,2}.

Для фиксированных n, p назовем правильными числа множества {1,2} u Z n _p , регулярными - остальные числа Z_n . Переменные из X_n = { x ₁, x 2 ,..., x_n } с правильными (регулярными) индексами назовем также правильными ( регулярными ).

Элементы системы   ^ H_{n p} (1 i )(2 j ) порождают пространство P_n , _p ( F p ²⁾ / F^ ).

• i ,    j - прав ., i <  j

Система E_{n ,1} линейно независима и порождает P_n ( F ₁ / F ₂) . Доказательство теоремы в общем случае проведём индукцией по p. Для p= 1 теорема верна. Предположим, что для p> 1 и произвольного n такого, что p < n- 4, система E_n _ _{1 p} _ ₁ является базисом пространства P_n _ _{1 p} _ ₁. Покажем, что E_{n p} является базисом пространства P_{n , p} .

Заметим, что по определению E_{n , p} для p > 1

E n , p = U { e n , p (1 r )(2 n )} u E n _ 1, p _ 1 x n .

r _ прав., r < n

Проверив соотношение Ф ( U H_{n p} (1 i )(2 j )) с Ф ( E_n , _p ), покажем, что система E_n , _p порождает P_n , _p i, j-прав., i

По индуктивному предположению E_n _ _{1 p} _ ₁ порождает P_n _ _{1 p} _ ₁. Следовательно, при j ^ n, i

Ф ( H n , p (1 i )(2 j )) = Ф ( H n _ 1, p _ 1 x n (1 i )(2 j )) =

= Ф ( H_{n - 1, p - 1}(1 i )(2 j ) x_n ) ⊆ Ф ( E_{n - 1, p - 1} x_n ) ⊆ Ф ( E_{n , p} ).

Осталось показать, что для правильных r <  n

Ф ( H n , p (1 r )(2 n )) ⊆ Ф ( E n , p ).

Перерабатывая следующие одночлены, получаем для ξ

( x ₁ x_ixϕ ′⋅ yx ) ξy = ± ( x ₁ x_ixϕ ′⋅ yx ) yξ = 0 , ( xyyϕ ′′ ⋅ x ₂ x ₄) ξx = ± ( xyyϕ ′′ ⋅ x ₂ x ₄) xξ = 0 .

Линеаризовав оба соотношения по переменным x и y, получим для одночленов пространства P_{n , p} соответственно

( x ₁ x_ix ₄ ϕ ′ ⋅ x ₂ x_j ) ξx ₄ + ( x ₁ x_ix_jϕ ′ ⋅ x ₂ x ₄) ξx_n + g ′ ξx ₂ = 0 ,

(x1xix3ϕ′′ ⋅x2x4)ξxn +(x1x3xiϕ′′⋅x2x4)ξxn +g′′ξx1 = 0 , где g′ξ – многочлен от Xn \{x2} , g′′ξ – многочлен от Xn \ {x1} .

Далее, положив ξ = ξ_{n - 1, p - 1} , запишем эти соотношения в виде

( x 1 x i ϕ i , j ⋅ x 2 x j ) ξ n - 1, p - 1 x n = ± ( x 1 x i ϕ 4, i ⋅ x 2 x 4 ) ξ n - 1, p - 1 x n ± g ′ ξ n - 1, p - 1 x 2 ,

( x 1 x i ϕ 4, i ⋅ x 2 x 4 ) ξ n - 1, p - 1 x n = ± ( x 1 x 3 ϕ 3,4 ⋅ x 2 x 4 ) ξ n - 1, p - 1 x n ± g ′′ ξ n - 1, p - 1 x 1 .

Отсюда, ( x 1 x i ϕ i , j ⋅ x 2 x j ) ξ n - 1, p - 1 x n = ± ( x 1 x 3 ϕ 3,4 ⋅ x 2 x 4 ) ξ n - 1, p - 1 x n ± g ′ ξ n - 1, p - 1 x 2 ± g ′′ ξ n - 1, p - 1 x 1 .

Действуя на обе части последнего соотношения перестановкой (1 r )(2 n ), получим ( x ₁ x_iϕ_{i , j} ⋅ x ₂ x_j ) ξ_{n - 1, p - 1} x_n (1 r )(2 n ) ∈

∈ Ф ( e n , p (1 r )(2 n )) ⊕ Ф ( H n , p (2 n )(1 r )(2 n )) ⊕ Ф ( H n , p (1 n )(1 r )(2 n )) = = Ф ( e n , p (1 r )(2 n )) ⊕ Ф ( H n , p (1 r )) ⊕ Ф ( H n , p (2 r )) ⊆ Ф ( E n , p ) .

Следовательно, для r < n

Ф ( H_{n , p} (1 r )(2 n )) ⊆ Ф ( ∪ {( x ₁ x_iϕ_{i , j} ⋅ x ₂ x_j ) ξ_{n - 1, p - 1} x_n (1 r )(2 n )} ⊆ Ф ( E_{n , p} ).

Это соотношение завершает доказательство требуемого. Т.е. система E_{n , p} порождает пространство P_{n , p} .

Докажем линейную независимость системы En,p . Пусть f – линейная комбинация элементов системы E . Тогда n,p f = ∑αi(x1x3ϕ3,4⋅x2x4)ξn,pσin + f′xn, i-прав., i

Специализации x_i → xy, x_n → zt для каждого правильного i< n приводят к тождествам α_i(xyx₃ϕ_3,4⋅ztx₄)ξ_{n, p}σ_in =0.

Эти соотношения выполняются в алгебре A∈D только в случае α_i = 0 . Таким образом, коэффициенты α_i = 0 и тогда f = f ′ x_n = 0 в многообразии D_p . Это равносильно соотношению f ′ = 0 в многообразии D_p-1 . По индуктивному предположению система E_{n-1, p-1} линейно независима, следовательно, f ′ , а значит, и f тривиальны. Таким образом, линейная независимость системы E_n,p доказана.

Заключение

В теореме указан базис свободной алгебры D многообразия коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3. Доказательство проведено с помощью редукции к базису свободной алгебры С многообразия центрально-метабелевых алгебр.