Бейберекетсіз рдістерді басару есептеріні математикалы растырылуы мен оны басару шарттары

Осы мақалада бейберекетсіз үрдістер мен соған байланысты химиялық реакциялар берілген. Белгілі бейберекетсіз үрдістерді басқару есептерінің математикалық құрастырылуын беру үшін алдымен бейберекетсiздiк ЖYЙелердiц непзп модельдерi царастырылады.

К1лт сездер: аттрактор, генерациялау, фазалыц, траектория.

Бейберекетсіздіктің әр түрлі математикалық анықтамалары белгілі, және олардың барлығы дерлік сипаты бойынша динамикалық жүйелердің алғашқы шарттарға “жоғары сезгіштігін” білдіретін қасиетін көрсетеді: соншалықты жақын траекториялар уақыт өткен сайын шекті қашықтыққа дейін өрбиді, яғни траекторияны ұзақ уақытқа болжау мүмкін емес. Бұған қоса, әрбір траектория шектеліп отырылады, бұл сызықты жүйелермен жұмыс тәжірибелеріне негізделген орнықсыздық ұғымының түсінігіне қайшы келеді. Дегенмен, мұндай қасиеті бар бейсызықты детерминделген ЖYЙелер кептеп кездеседi [1].

Пуанкере-Бендиксон теоремасы бойынша екiншi реттi Y3dikci3 жүйелерде шектелген орнықталған қозғалыстың мүмкін болатын жалғыз Fана тYрлерi бар: тепе-тецдiк куй, не шект1 цикл. Бiрак; ХХ хасырдыц ортасында математиктердің өздері үшінші ретті жүйелер үшін олай еместігін тапты: жүйеде тіптен күрделі, периодты емес шектелген тербелістер мүмкін болады. 1963 жылы жарыққа шыққан Е. Лоренцтің еңбегінен кейін түбегейлі өзгеріс басталды. Новье-Стокстың дербес туындыларының күрделі теңдеулерімен көрсетілген атмосфера турбуленттігі құбылысының сапалық сипаты қарапайым үшінші ретті сызықты емес модель арқылы берілуі мүмкін (1.1). Бұл жүйенің шешімі параметрлердщ кeйбip мэндершде (мысалFа ст = 10,r = 97,b = 8/3) pemci3 тербелістер түрінде болады. Траекториялар күй кеңістігінде ( фазалық кеңістік ) құрылымы қайран қаларлық шекті жиындарға (аттракторға) жақындай алады.

dx dt dx dt dx dt

^{( x} 2 ^{- X} 1 ),

ст rx1 -x2 -x1 x3,                                   (1.1)

• - bx₃ + x,x ₂.

мұндағы σ, r, b – Лоренц теңдеуінің параметрлері.

Біз бейберекетсіз деп детерминделген теңдеулердегі қайталанбайтын қозғалысты айтамыз. Негізгі қиындық осы «қайталанбайтын қозғалысты» өлшеуде туындайды. Сондықтан қайталанбайтын қозғалысты қайталанатын қозғалыстан ажырататын критерийлерге ие болған дұрыс. Көбіне ажырататын критерийлер ретінде сигналды, қуат спектрін, автокорреляция функциясын, Пуанкаре бейнелеуін және Ляпунов көрсеткішін қолданады [2].

Хаостық үрдістерді зерттеуде және басқару міндеттерін шешуде Пуанкаре бейнелеуі кең қолданыс тапты. Нүктелік бейнелеу немесе бірізділік бейнелеуі деп те аталатын Пуанкаре бейнелеуі ( Poincarre map ) x o HYkmeci (ягни, барлы^ t > t o жэне x(t₀) = x₀ Yшiн x ( t + T ) = x(t) ) аркылы

өтетін (1.8) теңдігінің Т периодты шешімі бар деген жорамалмен енгізейік.

S — s(x) = 0 теңдеуімен анықталатын тегіс бет болсын, мұндағы s : Rⁿ → R¹ – тегіс скаляр функция. Траектория S-ті x 0 -де қиып өтсін, яғни s(x 0 ) = 0, ^v s(x₀) T F(x₀) ^ 0 орындалсын.

x Є S ={x : s(x) = 0} нүктесінде басталатын шешім x 0 нүктесінің маңайында s(x) = 0 бетін кем дегенде тағы да бір рет қиып өтетінін көрсетуге болады. τ = τ(x) – бірінші оралудың уақыты және x(τ) Є S – бірінші оралудың нүктесі болсын.

• P : x ^ x ( t ) бейнелеуi нYктелiк бейнелеу немесе Пуанкаре бейнелеу1 деп аталады. Бұл бейнелеу хаостық үрдістерді зерттеуде маңызды орын алады [3].

Бұрын айтылып өткендей, локальді орнықсыздық хаостың негізгі критерийі болып табылады, яғни алғашында жақын орналасқан траекториялардың жан-жаққа кетуі. Демек, Ляпуновтың жоғарғы көрсеткішімен анықталатын жан-жаққа кету жылдамдығы хаостың негізгі сипаттамасы болып табылады.

Үздіксіз уақыттағы динамикалық жүйені қарастырайық:

dX = F ( x )                                     (1.2)

dt мундаFы x = x(t) e Rn - жуйенщ куй векторы, 0 < t < да.

Ляпунов кeрсеткiштерi x ( о ) = x₀ алгашцы шартымен берiлген (1.2) жуйесшщ x ( t ) “тiрек” траекториясы ушш аныцталады. Ол ушш вариациялыц тецдеу курылады ( x ( t ) мацайында сызыкталFан).

— a x = w ( t ')ax

(1.3)

dt

• (1.3)    ернегшдеп S x = x - x ( t ) ,

W ( t =  - F^-t )'

d x

• (1.2)    жYЙесiнiц    x ( t )

шешімдерінің бойындағы Якобиан матрицасы (оң жақ бөліктерінің дербес туындылары матрицасы). F ( x ) -т1ц дербес туындылары бар деп алынсын, яғни (1.2) жүйесінің оң жағындағы функциялар – тегіс функциялар. АлFаш^ы z = S x ( 0 ) ауыткуын бере отырып

(      \           1    ISx (t )|

а( xо, z )=lim;ln

(1.4)

t ^» t      z z бағытындағы (1.3) шешімнің экспоненциалды өсуінің жылдамдығын сипаттайтын және z бағытындағы сипаттамалық көрсеткіш (Ляпуновтық экспонента) деп аталатын шаманы есептеуге болады.

Қолданылған әдебиеттер:

• 1.    Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры.-СПб.: Наука, 2003. – 208 с.

• 2.    Кроновер Р.М. Фракоры и хаос в динамических системах: учебное пособия/ пер. с англ. Т.Э. Кренкеля. - М.: Техносфера, 2006. – 488 с.

• 3.    Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. – М.: КомКнига, 2005. – 312 с.

• 4.    Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 304 с.

• 5.    Алексеев В.В., Лоскутов А.Ю. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия // Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-астр. - 1985. - Т. 26. - № 3. - С. 40-44.