Безмассовое поле Штюкельберга, точные решения в декартовых координатах и калибровочные степени свободы

В работе исследована система 11 уравнений, описывающих безмассовое поле Штюкельберга [1–8]. Показано, что в декартовых координатах эти уравнения допускают существование пяти линейно независимых решений, описывающих разные состояния частицы. Они найдены в явном виде.

Среди 11 компонент полевой функции Штюкельберга антисимметричный тензор представляет калибровочные переменные, а скаляр и вектор соответствуют физически наблюдаемым величинам. Для того, чтобы в явном виде выделить решения, соответствующие физически наблюдаемым состояниям, исследуется выражение для тензора энергии-импульса поля Штюкельберга. Этот тензор вычисляется для произвольной линейной комбинации пяти решений. Выделены четыре линейно независимые комбинации этих решений, которые не дают вклада в тензор энер- гии-импульса. Найдена одна независимая комбинация решений, соответствующая ненулевому тензору энергии-импульса. Она описывает физически наблюдаемое состояние безмассового поля Штюкельберга со структурой плоской волны.

K ²

- 1

- 1

1. Декартовые координаты

Рассмотрим систему безмассовых уравнений Штюкель-берга в декартовых координатах [7–10]:

д a Ф a =0 , д а Ф + d b Ф ab = Ф a ,

K ³

- 1 0 0 0

- 1 0

д а Ф b - d b Ф a = 0 .               (1)

L ⁰

Как и должно быть, в системе уравнений отсутствует параметр с размерностью обратной длины (иначе, массы). Размерности компонент такие:

0 0 00

0 0

0 0

L ^Ф

|Ф ab = [Ф a ] .

Перейдем к матричной форме представления уравнений (1). В качестве полевой функции будем использовать 11-мерный столбец

-1 0 00

0   0  00

0   0  00

0   0  00

0   0  0

\ 0   0  1   0/

Ф = (Ф; Ф о , Ф 1 , Ф 2 , Ф з ; Ф 01 , Ф 02 , Ф 03 ,

^Ф 23 , ^Ф 31 , ^Ф 12 ) t = ^{( H,H} 1 ^,H 2 ) t .         ⁽²⁾

Здесь и далее t обозначает транспонирование. Систему уравнений (1) можно записать в блочной форме:

G^H 1 = 0 , A ^a d a H + K ^a d a H 2 - H 1 = 0 ,

L ²

- 1

- 1

0 0

LadaH 1 = 0

или

/ 0   Ga0 \

(Гada - P)ф = 0, Гa = Aa 0  Ka

0   La0

/0   0   0\/

P = 0 14 x 4 0 , Ф =  H1 .(4)

0   0   0

Приведем явный вид всех матричных блоков:

G 0 = (1 , 0 , 0 , 0) , G 1 = (0 , - 1 , 0 , 0) ,

^G 2 = ⁽⁰ , ⁰ , ^{— 1} , ⁰⁾ , ^G 3 = ⁽⁰ , ⁰ , ⁰ , ^— 1) ,

A ⁰ = (1 , 0 , 0 , 0) t , A ¹ = (0 , 1 , 0 , 0) t ,

A ² = (0 , 0 , 1 , 0) t , A ³ = (0 , 0 , 0 , 1) t ,

L ³

0	0	0	0
0	0	0	0
- 1	0	0	0
0	0	- 1	0
0	1	0	0
0	0	0	0

Будем искать решения в виде плоских волн:

Ф = fK ( X ) ,  Ф a = f a K ( x ) ,  Ф ab = f ab K ( X ) ,

K ( X )

= e — iex ⁰ e ik 1 x ¹ e — ik 2 x ² e — ik 3 x ³

k = ( k ¹ ,k ² ,k 3 ) .                    (5)

В уравнениях используем замены d _a ^ -ik _a , a = 0 , 1 , 2 , 3 , k ₀ = k ⁰ = e. Уравнение (4) удобно представлять в блочной форме

K ⁰

- 1

- 1

0 0

- 1

K ¹

- 1 0 0 0

0 0

- 1

(-iG0k0 - iG1 k 1 - iG2k2 - iG3k3)H1 = 0,

( -i A ⁰ k 0 - i A ¹ k 1 - i A ² k 2 - i A ³ k 3 ) H +

+( -iK ⁰ k ₀ - iK ¹ k 1 - iK ² k ₂ - iK ³ k ₃ ) H ₂ - H 1 = 0 ,

(-iL0k0 - iL1 k 1 - iL2k2 - iL3k3)H1 = 0,

H = f, H 1 = ( f 0 ,f 1 , f 2 ,f 3 ) t , H 2 = ( E j ,B j ) t . (6)

Из системы (6) находим алгебраическую систему

-ik ₀ f ₀ + ik ₁ f ₁ + ik ₂ f ₂ + ik ₃ f ₃ = 0;

-k 0 f + if 0 + k 1 E 1 + k 2 E 2 + k 3 E 3 = 0 ,

• ^k 1 f - if 1 - ^k 0 E 1 ^{+ k} 3 B 2 - ^k 2 B 3 = 0 ,

• ^-k 2 ^{f +} if 2 ^{+ k} 0 E 2 ^{+ k} 3 B 1 - ^k 1 B 3 = ⁰ ,

• ^k 3 f - if 3 - ^k 0 E 3 ^{+ k} 2 B 1 - ^k 1 B 2 = ⁰ i

• ^k 1 f 0 - ^k 0 f 1 = ⁰ , ^k 2 f 0 - ^k 0 f 2 = ⁰ ,

• ^k 3 f 0 - ^k 0 f 3 = ⁰ , ^k 3 f 2 - ^k 2 f 3 = ⁰ ,

• -k 3 f 1 + k 1 f 3 = 0 , k 2 f 1 - k 1 f 2 = 0 .      (7)

Эту систему уравнений можно представить в матричном виде A Ф = 0 , где столбец Ф задается так:

Ф = ( f,f 0 ,f 1 ,f 2 ,f 3 ,E 1 ,E 2 ,E 3 ,B 1 ,B 2 ,B 3 ) t .

Ра нг матрицы A равен 8 , а с учетом условия k ₀ = лУk 2 + k 2 + k 2 ранг становится равен 6 . Убирая четыре нижние строки, убеждаемся, что ранг остается неизменным. В результате получаем неоднородную систему

0	-k 0	k 1	k 2	0	0	f
I -k 0	i	0	0	k 1	k 2	f 0
I k 1	0	-i	0	-k 0	0	f 1
-k 2	0	0	i	0	k 0	f 2
0	k 1	-k 0	0	0	0	E 1
0	k 2	0	-k 0	0	0	E 2

= - ( k 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0) t f 3 - (0 , k 3 , 0 , 0 , 0 , 0) t E 3 -^{- (0} , ⁰ , ⁰ ,k 3 , ⁰ , ⁰⁾ t B 1 ^{-                (8)}

- (0 , 0 , k ₃ , 0 , 0 , 0) ^t B ₂ - (0 , 0 , -k ₂ , -k ₁ , 0 , 0) ^t B ₃ .

Детерминант матрицы слева ненулевой: det A 6 _x 6 = k 4 ( k 2 + k 2 + k 2 ) . Находим пять независимых решений (приводим их сразу в 11-мерной форме):

Ф1 = ( i Г > Г ,^k ,k 2 , ¹ , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0) t f 3 , k 3 k 3 k 3 k 3

Ф 2 = ( k ' , 0 , 0 , 0 , 0 ,^k ,^k, 1 , 0 , 0 , 0) t E 3 , k 3            k 3 k 3

В результате получаем k k2 k k k k

Ф1 = (i, Т0, ,,        ,k0,0, 0, 0, 0, 0, 0)t, k3 k3   k3

Ф 2 = ( k ⁰ , 0 , 0 , 0 , 0 , k ¹ , k ² , 1 , 0 , 0 , 0) t , k 3

k2              k1 k2    k22 + k32

Ф3 = (-ЧТ, 0’ 0’ 0’ 0’ - ъ k ’--1. —’ 1’0’ 0) ’ k3             k3k0

k           k2 + k2 k k

Ф 4 = -1 , 0 , 0 , 0 , 0 , ¹³ , ¹² , 0 , 0 , 1 , 0 , k ₃              k ₃ k ₀

Ф5 = (0, 0, 0, 0, 0, - k2,11,0, 0, 0, 1)t.(10)

k 0 k 0

Непосредственной проверкой можно убедиться, что это действительно пять решений исходной системы (7). Необходимо выяснить, какие решения являются калибровочными, а какие — физически наблюдаемыми. Для этого в следующем разделе построим выражение для тензора энергии–импульса безмассового поля Штюкельберга.

• 2. Тензор энергии-импульса, калибровочные решения

Обратимся к выделению из всех решений калибровочных. Такие калибровочные решения не должны давать вклада в тензор энергии-импульса поля. Потребуется матрица инвариантной билинейной формы. Она должна удовлетворять соотношениям [6,7]:

n- 1(Г a) ^n = r a, Г an = n Г a, n =

a	0	0
0	B 4 x 4	0
0	0	C 6 x 6

Отсюда получаем уравнения для блоков

Ф 3 =

( - k ² , 0 , 0 , 0 , 0 , k 3

k ₁ k ₂ k 3 k 0

k 2 + k 2 k 3 k 0

G ^a a = B A a , A ^a B = aG a ,

L a G = BK a , K ^a B = CL a .

0 , 1 , 0 , 0) t B 1 ,

Учитывая выражения для инвариантов вектора и тензора: Ф ^a Ф a = inv , Ф ^mn Ф _mn = inv, матрицы B и C ищем в ви-

Ф 4 =

k

4 , 0 , 0 , 0 , 0 , k 3

k' 2 + k 2 k 1 k ₂ k 3 k 0   ^, k 3 k 0 ^,

де

0 , 0 , 1 , 0 , YB 2 ,

/1

R h I ⁰

B 4 x 4 = О 0

- 1

0 0

- 1 0

- 1

Ф 5 = (0 , 0 , 0 , 0 , 0 , - k ² , k ¹ , 0 , 0 , 0 , 1) t B 3 .

k ₀ k ₀

Эти пять решений фиксируются с точностью до произвольных множителей. При этом нужно учитывать, что размерности 11 компонент должны подчиняться правилу [ f ] = [ E i , B i ] = [ Lf a ] . Чтобы удовлетворить ему, можно выбрать свободные параметры так:

f 3 = k 0 ,  E 3 = 1 , B 1 = B 2 = B 3 = 1 .

- 1	0	0	0	0	0
0	- 1	0	0	0	0
n -   0	0	- 1	0	0	0
C 6 x 6 = c 0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	1

После простых вычислений находим связь между парамет рами: a = b = -c. Для определенности пусть a = 1.

Найдем тензор энергии-импульса для безмассового поля Штюкельберга. Для этого рассмотрим величину (см. [6,7]):

/ _ r 41 k 2 k

Tab — Ф t n Г adb Ф — Sb Ф tnP Ф —

X

— H ^aGadbH 1 + HtB (AadbH + KadbH 2)+

+ H 2 CL a d b H 1 — S a H t BH 1 . (13)

\

^k 3² r 21 k ₀ ² k 1 k ₃ ² r 21 k ₀ ² k 2 ^k 3² r 21 k 0²

k ₃

+

1     r 31 k 0² k 2     r 21 k 0³

k 2

r 41 k 0 k ₁ ²

+

k ₃ ^{2 r} 31 k 0 k 2²

^k 3² r 41 k 0 k 1

k ₃

+

^k 3² r 31 k 0 k 1 k 2

k ₃ ^{2 r} 41 k 0 k 1 k 2

^k 3² r 31 k 0 k 2

k ₃

в

^r 21 k 1 k 0²

Отсюда, c учетом подстановки для решений в виде плоских волн, получаем

Tab (x) — —iH ^AGakbH 1 + HtB (AakbH+

+ KakbH2) + HtCLakbH 1] — SbH ^BH1. (14)

^k 3²

r 41 k ₁ ³

k ₃ ² r 41 k 2 k 1²

^k 3^{2 r} 41 k 1²

k 3

в

+

+

+

r 41 k ₁ ² k 0 ^k 3² r 21 k 0 k ₁ ²

+

в

k ₃ ² r 21 k 2 k 0 k 1

^k 3^{2 r} 21 k 0 k 1

^r 31 k 1 k 2 k 0

k ₃

r 31 k 2 k ₁ ²

k ₃ ² r 31 k ₂ ² k 1

в

k 3

в

^k 3^{2 r} 31 k 2 k 1

k 3

Вычисляя этот тензор для пяти независимых решений, убеждаемся, что в каждом случае он обращается в нуль.

Составим произвольную линейную комбинацию пяти решений (10):

в

^r 21 k 2 k 0²

Ф — a 1 Ф 1 + а 2 Ф 2 + а 3 Ф 3 + а 4 Ф 4 + а 5 Ф 5 —

^k 3² r 41 k 2 k 1²

^k 3²

r 31 k ₂ ³

+

+

r 31 k ₂ ² k 0 k 3² r 21 k 2 k 0 k 1

в

( a 2 + ia 1 ) k 0 + a 4 k 1 — a 3 k 2

k 3 a 1 k ₀ ²

k ₃ a ₁ k ₁ k ₀

k ₃ a ₁ k ₂ k ₀

k 3 a ₁ k ₀

a 2 k 0 k 1

a 3 k 2 k 1

a 5 k 2 k 3 + a ₄ ( k 2 + k 2 )

k 3 k 0            _{2     2}

a 2 k 0 k 2 + a 4 k 1 k 2 + a 5 k 1 k 3 — a 3 ( k 2 + k 3 )

\

k ₃ k ₀ a 2 a 3 a ₄ a 5

.

(15) После выполнения необходимых вычислений находим выражение для тензора энергии-ипмульса, соответствующее линейной суперпозиции пяти решений. С использованием обозначений

aibj + biaj — aia* + a*aj- —

— 2 Reaia* — rj,  rj — rj

этот тензор представляем в следующем виде:

T — (T ab) —

0 T 0	T 1 0	0 T 2	0 T 3
T 0	T 11	T1 T 2	T 3
2 T 0	T 12	T 22	T 32
3 T 0	T 13	T 23	T 33

— 2ik0X

в

в

в

k ₃ ^{2 r} 31 k 2²

k ₃

r 21 k ₀ ²

k ₃ ^r 41 k 1²

в

k 3 r 31 k 2²

k ₃

+

+

в

+

+

^k 3² r 21 k 0 k ₂ ²

k ₃ ^{2 r} 21 k 0 k 2

k ₃

r 41 k 1 k 0

k ₃ ^r 21 k 0 k 1

k 3 r 21 k 0 k 2

k 3

в

+

+

^r 41 k 1 k 2 k 0 ^k 3² r 31 k ₂ ² k 1

^k 3² r ₄₁ k ₁ k ₂ ²

k ₃ ^{2 r} 41 k 1 k 2

k ₃

r 31 k 2 k 0 \

⁺    k 3

r 31 k 2 k 1

в

k 3 r 41 k 1 k 2

⁺    k 3

.

r 41 ^k 1 ^— r 31 ^k 2 ⁺ r 21 ^k 0

Тензор с нижними индексами ( T _cb ) отличается от ( T ^a _b ) умножением строк с номерами 2-4 на — 1 . Этот тензор симметричный с нулевым следом (убираем несущественный множитель 2 ik 0 ) :

a T _a

^— T2 f ^{— r} 21 ^k 0 ^{+ r} 31 ^k 2 ^{— r} 41 ^k 1 ) ^X k ₃

X (k2 — k2 — k2 —

k 2 ) — 0 . (16)

Напомним, что k 0 — 1/ k 2 + k 2 + k 2 . Если ввести обозначение ф — —r ₂₁ k 0 + r 31 k ₂ —r ₄₁ k 1 , то найденное выражение для тензора энергии-импульса можно записать короче (общий множитель k ₃ ² в знаменателях опускаем)

Tcb — ф

2 k 0	k 0 k 1	k 0 k 2	k 0 k
k 0 k 1	k 12	k 1 k 2	k 1 k
k 0 k 2	k 1 k 2	k 2 2	k 2 k
k 0 k 3	k 1 k 3	k 2 k 3	k 32

.

Напомним равенства (коэффициент 2 при φ убираем)

Ф — a 1Ф1 + a 2Ф2 + a 3 Ф3 + a 4Ф4 + a 5Ф5,

ф — —Rea ₂ a 1 k 0 + Rea ₃ a j k ₂ — Rea ₄ a 1 k 1 .   (18)

Дальше будем использовать обозначения al a2 = в2, al a3 = в3, «1 a4 = в4, ф = Re [-в2 к 0 + в3 к 2 - в4 к 1].

Возможны следующие варианты:

T = 0 , ф = 0; T = 0 , ф = 0 ,       (19)

a ₁ = 0 , a 2 = 0 , a 3 = 0 , a 4 = 0 , a 5 = 0;

a i = 1 , a 2 = 0 , a 3 = 0 , a 4 = 0 , a 5 = 0;     (20)

Остается зафиксировать параметры, определяющие физическое решение Ф phys с ненулевым тензором энергии-импульса:

Ф phys ,   T = 0 , a 1 = 1 ,

—

к о a 2 + к 2 a 3 — к 1 a 4 = 0 , a 5 — 0 .  (25)

Нужно подобрать коэффициенты a 2 , a 3 , a 4 так, чтобы пять выделенных решений (сопоставляем им матрицу A _{5 х 5} ) были линейно независимы. Для этого требуем, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля

Re [ -в 2 k 0 + в 3 k 2 - в 4 k ₁ ] = 0 , a 5 = 0 ( два решения) .

Поскольку решения Ф ₁ ,..., Ф ₅ определены с точностью до произвольных комплексных множителей, то в разложениях (18) все коэффициенты a 1 , . . . , a 5 можно считать вещественными. Тогда вместо (18) получаем

Ф = a ₁ Ф ₁ + a ₂ Ф ₂ + a ₃ Ф ₃ + a ₄ Ф ₄ + a ₅ Ф ₅ ,   (21)

ф = a 1 ( —к о a 2 + к 2 a 3 — к 1 a 4 ) .

A 5 х 5 =

det A 5 х 5 =

Сначала рассмотрим состояния с нулевым тензором энергии-импульса. Первое решение такое:

Ф 1 , T = 0 ,

a ₁ = 0 , a ₂ = 0 , a ₃ = 0 , a ₄ = 0 , a ₅ = 1 .    (22)

Еще три состояния с нулевым тензором энергии-импульса

должны описываться соотношениями:

Ф 2 ,

k 2

^a 1 = ^{1 , a} 2 = у, k 0

a 3 = 1 , a 4 = 0 , a 5 = 0;

Ф 3 ,

a ₁ = 1 , a ₂ = —

k 1 k 0 ^,

a ₃ = 0 , a ₄ = 1 , a ₅ = 0;

Ф 4 ,

a ₁ = 0 , a ₂ =? , a 3 =? , a 4 =? , a 5 = 0 .   (23)

Пока коэффициенты a ₂ , a 3 , a 4 , описывающие решение Ф ₄ , неизвестны. Зафиксируем их так:

Ф4 , a 1 = 0, a2 = (к2 — к 1)/к0, a3 = 1, a4 = 1, a5 = 0.

Полученные векторы Ф ₂ , Ф ₃ , Ф ₄ можно описать матрицей с размерностью 3 х 5 :

A 3 х 5 =

( к 2 — к 1 ) /к о 1 1 0\ к 2 /к о      10 0 .

—к 1 /к о     0 10/

Поскольку ранг этой матрицы равен 3 , то векторы Ф ₂ , Ф ₃ , Ф ₄ линейно независимы. Очевидно, что линейно независимыми являются все четыре решения Ф ₁ , Ф ₂ , Ф ₃ , Ф ₄ (их компоненты можно представить как строки матрицы)

A 4 х 5 =

0	0 k 2 — k 1	0	0	1	/ Ф 1
0		1	1	0	Ф 2
1 1	k 0 2 — k k 1 k 0	1 0	0 1	0 0	^ 1 Ф 3 Ф 4

a 2 0	a 3 0	a 4 0
( к 2 — к 1 ) /к о	1	1
k 2 /k 0	1	0
—к 1 /к о	0	1

2(a 2ко a 3 к 2 + a 4 к 1)

—

,

—

k 0

= 0;

одно из возможных решений такое:

a ₂ = — 1 , a ₃ = 0 , a ₄ = 0 , Rank A _{5 х 5} = 5 . (26)

Таким образом, найдены пять решений, одно из которых является физически наблюдаемым, а остальные — калибровочными:

/ ^Ф phys \

Ф 1

Ф 2

Ф ₃

Ф 4

— 1 0 k 2 — k 1 k 0 k 2 k 0

—

k 1 k 0

В

явном виде эти пять

туру:

^Ф phys = ^Ф 1 ^—

Ф 2 ,

^{0 0 0}\ /Ф 1 \

001 ф₂'

1 0

1 0

Ф 3

Ф 4

. (27)

0    Ф 5

решений имеют следующую струк-

Ф 1 = Ф 5 ,

Ф 2 ⁼

k ₂

—

k 0

k

— Ф 2 + Ф 3 + Ф 4 , (28)

Ф 3 — Ф 1 + -—Ф 2 + Ф 3 ,  Ф 4 — Ф 1

k 0

—

k 1

-— Ф 2 + Ф 4 .

k 0

Приведем 11-мерный столбец, соответствующий физически наблюдаемому состоянию (записываем его в виде строки)

_ / ( i — 1) к о к 2 к о к 1 к о к 2

Фphys =^ к3 ,к3 ,к3 ,к3 , ко, — ту, — т,, — 1,0,0, 0) .

k ₃     k ₃

Заключение

Показано, что в декартовых координатах система уравнений Штюкельберга допускает существование пяти линейно независимых решений, описывающих разные состояния частицы. Получено выражение для тензора энергии-импульса этого поля. Тензор энергии-импульса вычислен для произвольной линейной комбинации пяти найденных решений. Выделены четыре комбинации, которым соответствует нулевой тензор энергии-импульса. Существует

только одно решение, приводящее к ненулевому тензору энергии-импульса. Оно описывает физически наблюдаемые состояния безмассового поля Штюкельберга со структурой плоской волны.