Биофизические особенности сосудистого русла высокого давления как системы с распределенными параметрами

Предложена математическая модель сосудистого русла высокого давления. Выявлен закон ветвления сосудов: волновая проводимость стволового сосуда равна сумме волновых проводимостей ответвляющихся сосудов. Табулированы геометрические и гидродинамические характеристики сосудов человека.

Большинство разработанных моделей описывают сосудистое русло высокого давления как систему с сосредоточенными параметрами [2, 5, 6, 8, 9, И, 12]. Это связано не только со сложностью сосудистого русла как системы, но и с отсутствием количественных характеристик (радиус, толщина стенки, модуль упругости и др.) большого множества эластических и мышечно-эластических сосудов, закономерности их ветвления, индивидуальной вариабельностью параметров сосудов и их количества, простотой математического аппарата [4]. Работы по изучению сосудистого русла как системы с распределенными параметрами немногочисленны [3,10].

Изучение скорости распространения пульсовых волн позволяет оценить модуль упругости стенки сосуда, тип сосуда (эластический, мышечно-эластический или мышечный). Отражение пульсовых волн есть одна из главных причин изменения их формы в артериях. Измерение импеданса позволяют судить о строении сосудистого русла ниже точки измерения.

Однако многие вопросы гемодинамики сосудистого русла остаются не изученными. Не исследованы закономерности строения архитектоники сосудистого русла [1]. Не известно, как осуществляется согласование выходных характеристик сердца с входными характеристиками сосудистого русла, фрагментов сосудистого русла между собой и сосудистого русла высокого давления с резистивным сосудистым руслом. Всё ещё остается открытым вопрос о физиологической значимости пульсирующего течения крови. Не выявлена клиническая значимость пульсовых явлений в артериальной системе. Не изучены частотные характеристики сосудистого русла и влияние его на колебательные процессы ЧСС и ударного объема сердца.

Целью исследования явилось моделирование сосудистого русла высокого давления как системы с распределенными параметрами.

Задачами исследования были:

• 1.    Поиск в литературе, расчет и табуляция в таблицы параметров сосудов высокого давления.

• 2.    Разработка модели сосудистого русла как системы с распределенными параметрами.

• 3.    Выявление закономерностей строения архитектоники сосудистого русла высокого давления.

Необходимостью рассмотрения сосудов высокого давления как гемодинамической цепи с распределенными параметрами является сравнимость интервала времени распространения по нему пульсовой волны с интервалами времени значимого изменения артериального давления и кровотока [7]. Экспериментально установлено, что скорость распространения пульсовой волны в сосудистом русле изменяется в пределах 3-5 м/с. Следовательно, пульсовая волна пройдет сосуд длиной 10 см в течение 0,1 с, что соизмеримо со временем систолы (0,3 с).

Будем считать, что параметры сосуда (радиус, толщина стенки, модуль упругости и др.) распределены равномерно вдоль его длины, т. е. он представляет собой однородную гемодинамическую цепь. Течение крови в таком сосуде описывается дифференциальными уравнениями в частых производных:

дх           dt

_®О_=с—.

дх dt

Т№К=%лг11х^г - вязкостное сопротивление на единицу длины сосуда; L = р/8 - инерционная индуктивность на единицу длины сосуда; С = 3rS/2Eh - гемодинамическая емкость на единицу длины сосуда, Р - давление, Q - объемная скорость кровотока, 77 - коэффициент вязкости крови, S - просвет сосуда, р - плотность крови, г -^asstjc, сосуда, h - толщина стенки сосуда, Е - эффективный модуль упругости стенки сосуда.

При установившемся режиме кровотока по сосуду давление и объемная скорость в крови изменяются по периодическому закону. Представив периодические функции времени в ряд Фурье, можно произвести расчет отдельно для каждой синусоидальной составляющей этого ряда и вследствие линейности гемодинамической цепи результирующий процесс получим, пользуясь методом наложения. Поэтому достаточно произвести анализ процессов в сосуде при синусоидальных давлениях и скоростях кровотока.

Пользуясь комплексным методом, перепишем уравнения течения крови по сосуду для комплексных значений давления и скорости кровотока:

(И)

-^-=RQ + jwLQ'       (3)

дх

Используя соотношение

_^ = jwcP            (4)

ох

—fe^ +е l^^chyt и Ме^-е ^^shyx , (12)

2k )          2k )

Комплексы Р и Q являются функциями координаты х (продольная ось сосуда), и, соответственно, уравнения в частных производных для мгновенных значений Р и Q перешли в обыкновенные дифференциальные уравнения для и и Q.

Дифференцируя первое уравнение по Хи используя второе, находим:

получаем:

Р = pxchyx -Q^shp ,         (13)

2 =Qick)gc -—shyx .          (14)

Значения давления Р₂ и скорости кровотока Q₂ в конце сосуда получаются, если положить X-1:

^=(R4-jwE^jwc)P=yU- (5)

«х где: у = -Jjwc (R + jwL ) = a + jP .

Р 2 = Р iChyl -Q ^sh yl ,         (15)

Q 2 = Q xch yl - ^-sh yl •         (16)

z

Введем обозначения:

Решение уравнения для Р имеет следующий вид:

^Р =Л Л ге” .          (6)

P\*Q\Z e"^ «Рф^ =P

Из первого уравнения находим Q^-.

Тогда при y=a+jP имеем где z =

R + jwL jwC

Комплексные величины у и z являются основными характеристиками однородного сосуда и, соответственно, называются коэффициентом распространения и волновым (характеристическим) сопротивлением, a - коэффициент затухания, 0 -коэффициент фазы. Величины а и /3 всегда больше нуля. Условимся снабжать далее давление и скорость кровотока в начале сосуда (х=0) индексом 1 (Pi, QP^{и в} конце сосуда (х = /, где I - длина сосуда) индексом 2 (Р₂, Q₂). Для определения произвольных постоянных Aj и А₂ достаточно знать две из этих четырех величин. Выразим их через Р] и Qi. Полагая х = 0, имеем:

Р, =А.+А₂и Q =1(4-А.), (8)

А.^Р.+б^, А,^?,^,^.    (9)

Следовательно, p^x^Q^V^^Pv-qA^ (10)

Следовательно,

Р =Рф+Рф = Р_фе-^ах еА^Круб^еА⁶*^ А(19) Переходя от комплекса Р к изображаемому им давлению Р, получим:

Р =Рф + Ру = >^рфе-ах sm^t +§-РхУ

+ 12 Ру^0® sin^Z+0+Дх)      ’ где: Pp-прямая волна, бегущая от начала сосуда к концу, а Ру- обратная волна, бегущая от конца сосуда к его началу. Длина волны Х = 2я1р, а скорость распространения волны(фазовая скорость) V =w / Р. Амплитуда прямой волны затухает по показательному закону с коэффициентом затухания а, а амплитуда обратной волны, наоборот, возрастает по такому же закону. Аналогично, рассматривая скорость кровотока получим:

Q=QV*QV,         (21)

где Q _р - прямая волна тока, a Q - обратная волна.

Отношение комплекса давления прямой волны к комплексу скорости кровотока прямой волны равно волновому сопротивлению сосуда, а для обратных волн соответствующее отношение равно (-Z):

_Р Фг _ 2.2г Рфх 21+21

QVx z+li

Q ф Q у

Появление обратных волн можно рассматривать как результат отражения прямых волн от конца сосуда. Соответственно, прямые волны называются падающими, а обратные - отраженными. Коэффициентом отражения давления q_p от конца линии называют отношение отраженной волны р т 2

При 2) = z₂ отражения волн не происходит. Рассматривая мощность W в месте сопряжения сосудов, имеем:

к падающей волне р„

давления в конце сосуда. Со

ответственно, коэффициентом отражения скорости

кровотока qy называется отношение

к Q ■

W=PiQx=P2Q2

или

V        V 21       21 Z1 22

Следовательно, w91=wV)+wVi.         (30)

Пусть волна ф_х, бегущая от источника по

однородному сосуду, имеющему волновое сопротивление Z_b достигла его окончания, в котором он соединен с другим сосудом, имеющим волновое сопротивление Z₂.

Обозначим давление и скорость кровотока в первом сосуде через Pi и Q_b а во втором - через Р₂ и Q₂. В месте сопряжения обоих сосудов имеем Pi = Р₂ и Q] = Q₂. Предположим, что во втором сосуде до прихода волны из первого сосуда давления не было. Тогда непосредственно после прихода волны к месту сопряжения сосудов во втором сосуде может возникнуть лишь волна ф^, бегущая в том же направлении, что и волна 1, и называемая преломленной волной, в то время как в первой линии, кроме волны ф_х, называемой падающей волной, при Z] * Z₂ обязательно возникает волна Pi, бегущая в обратном направлении и называемая отраженной волной, т. к. иначе не могут быть удовлетворены условия равенства давлений или скоростей кровотока в месте сопряжения сосудов. Поэтому отмечая индексами

b у_ь ф1 соответственно падающие, отраженные и преломленные волны, в месте сопряжения сосудов имеем:

Отсюда следует, что часть мощности падающих волн (и^У равная мощности преломления волн (^), переходит во второй сосуд, а остальная часть, равная мощности отраженных волн (^^Х возвращается обратно в первый сосуд. Таким образом, если происходит отражение волн в месте сопряжения двух сосудов с разными волновыми сопротивлениями, то это энергетически не выгодно.

Пусть волна ф_х, бегущая от источника по однородному сосуду, имеющему волновое сопротивление Z], достигла конца этого сосуда, в котором этот сосуд разветвляется на два других сосуда с волновыми сопротивлениями Zi и Z₂.

В месте сопряжения трех сосудов имеем

Р1 = Рг*Рз и 61=62+63 <³¹)

Отсюда находим:

Рх = Рф_х⁺Рф=Рф=Рф=Р1=Рз ’ <³²) _д_^РФГ^РФ₁₌^₊^Фз_=дг+дз . (зз) 21        22     23

Рх = Рф*Рф=Рф=Р^(

1      £ь.е,.

2 1

Из этих выражений имеем:

Рф_г= ”~Рф_х > Рф_х^{= 2}’Рфр (²⁵) ^z Z₂+Z1   ^{1        1} Z2⁺Z1

21+2 2          ^1 2г+21

Отсюда находим коэффициенты отражения (q) и коэффициенты преломления (/):

Из этих выражений имеем:

Р^Рз+Рз -и ^=62+63 ’     £4)

др=^ = УГ2^

РФ1 zo+zl ,          (35)

„ _^V1 _2 1~2 О

6 бфх Zl+zo

q =^^ ЧР Zi + Zi

₌zi-z₂ ^qQ

где zo^{= Z1Z1} - общее сопротивление парал-Z2+Z3

лельно соединенных волновых сопротивлений Z₂ и Z3.

При Z_V=Z_Q отражение волн не происходит.

В этом случае мощность падающих волн полностью

переходит в мощность преломленных волн, что энергетически выгодно.

Экспериментально установлено, что в однородном сосуде скорость распространения гармонической пульсовой волны практически не зависит от её частоты [1]. Это возможно, если сопротивление кровотоку обусловлено в основном её инерцией (Ж! » R), что характерно для крупных сосудов. В этом случае параметры однородного сосуда

Если R^O, то

В табл. 1 представлены геометрические характеристики крупных артериальных сосудов человека (литературные данные).

Таблица 1

Геометрические характеристики крупных артериальных сосудов

Артерия	1, см	г, см	h, см	S, см2z
Аорта, восходящая	4,00	1,450	0,162	6,601850
Дуга	5,90	1,090	0,130	3,730634
Грудная	15,60	0,840	0,087	2,215584
Брюшная	15,90	0,580	0,810	1,056296
Подвздошная, общая	5,80	0,370	0,063	0,429866
Наружная подвздошная	8,30	0,290	0,055	0,264074
Бедренная, общая	18,30	0,290	0,052	0,264074
Глубокая ветвь	6,30	0,186	0,046	0,108631
Подколенная	18,90	0,202	0,047	0,128125
Большеберцовая, задняя	32,10	0,193	0,046	0,116962
Большеберцовая, передняя	34,30	0,130	0,039	0,053066
Плечеголовная	3,40	0,620	0,086	1,207016
Подключичная левая	10,20	0,413	0,070	0,535587
Подмышечная	18,50	0,364	0,062	0,416037
Плечевая	23,50	0,258	0,052	0,209011
Локтевая	23,80	0,197	0,046	0,121860
Лучевая	23,50	0,156	0,042	0,076415
Межкостная ладонная	7,90	0,091	0,028	0,026002
Чревная	1,00	0,390	0,064	0,477594
Желудочная левая	7,10	0,180	0,045	0,101736
Селезеночная	6,30	0,275	0,054	0,237463
Печеночная	6,60	0,226	0,049	0,160379
Почечная (4-5 ветвлен, парная)	6,60	0,260	0,052	0,212264
Брыжеечная верхняя	5,90	0,435	0,069	0,594167
Нижняя брыжеечная	5,00	0,160	0,043	0,0803 84
Сонная общая левая	17,70	0,370	0,063	0,429866
Внутренняя левая сонная	11,80	0,162	0,072	0,082406
Мозга передняя левая	5,90	0,083	0,026	0,021631
Сонная общая правая	16,50	0,37	0,063	0,429866
Позвоночная	14,80	0,186	0,045	0,108631
Аорта, луковица	1,50	1,500	0,162	7,065000
Левая венечная	1,10	0,220	0,040	0,151976
Правая венечная	1,00	0,220	0,040	0,151976

В табл. 2 представлены гидродинамические человека (вычисленные нами по формулам модели характеристики крупных артериальных сосудов сосудистого русла).

Таблица 2

Гидродинамические характеристики крупных артериальных сосудов

Артерия	L, г/см5	R, дин-с/см6	Ср, см2(дин-см 2) Чо-6	Z=(L/C)0’5	Y=l/Z
Аорта, восходящая	0,161	0,026	25,320	0,080	12,560
Дуга	0,284	0,081	13,410	0,146	7,569
Грудная	0,478	0,230	9,168	0,228	4,078
Брюшная	1,004	1,013	0,324	1,759	1,508
Подвздошная, общая	2,466	6,117	1,082	1,510	0,662
Наружная подвздошная	4,014	16,210	0,597	2,594	0,386
Бедренная, общая	4,014	16,210	0,631	2,522	0,397
Глубокая ветвь	9,758	95,790	0,188	7,200	0,139
Подколенная	8,273	68,860	0,236	5,921	0,169
Большеберцовая задняя	9,063	82,630	0,210	6,564	0,152
Большеберцовая передняя	19,980	401,400	0,076	16,230	0,062
Плечеголовная	0,878	0,776	3,729	0,485	2,061
Подключичная левая	1,979	3,941	1,354	1,209	0,827
Подмышечная	2,548	6,531	1,047	1,560	0,641
Плечевая	5,072	25,880	0,444	3,378	0,296
Локтевая	8,698	76,120	0,224	6,236	0,160
Лучевая	13,870	193,600	0,122	10,680	0,094
Межкостная ладонная	40,770	167200	0,036	33,550	0,030
Чревная	2,219	4,956	1,247	1,334	0,750
Желудочная левая	10,420	109,200	0,174	7,729	0,129
Селезеночная	4,464	20,050	0,518	2,935	0,341
Печеночная	6,609	43,950	0,317	4,566	0,219
Почечная (4-5 ветвлен., парная)	4,994	25,090	0,455	3,313	0,302
Брыжеечная верхняя	1,784	3,202	1,605	1,054	0,949
Нижняя брыжеечная	13,190	174,900	0,128	10,140	0,099
Сонная общая левая	2,466	6,117	1,082	1,510	0,662
Внутренняя левая сонная	12,860	166,500	0,079	12,720	0,079
Мозга передняя левая	49,000	2416,000	0,030	40,690	0,025
Сонная общая правая	2,466	6,117	1,082	1,510	0,662
Позвоночная	9,758	95,790	0,192	7,121	0,140
Аорта, луковица       -	0,150	0,023	28,040	0,073	13,130
Левая венечная	6,975	48,940	0,358	4,413	0,277
Правая венечная	6,975	48,940	0,358	4,413	0,277

В табл. 3 представлен закон ветвления крупных артериальных сосудов человека.

Таблица 3 Закон ветвления крупных артериальных сосудов человека

Стволовой сосуд	Y	Сосуды ответвления	Y	EY
Луковица аорты	13,10	Восх. аорт.	0,30	13,10
		Лев. венеч.	0,30
		Пр. венеч.	12,5
Дуга аорты	7,60	Плечегол ствол	2,00	7,60
		Лев. общ. сонная	0,70
		Лев. подключили.	0,80
		Бронх, и трахеал. ветви	0,10
		Грудная аорта	4,00
Брюшная аорта	1,50	Пр.подвзд.	0,70	1,50
		Лев. подвз.	0,70
		Крестцов.	0,10

Из табл. 3 видно, что волновая проводимость стволового сосуда равна сумме волновых проводимостей ответвляющихся от ствола сосудов. Это предотвращает появление обратных пульсовых волн (к сердцу) давления и кровотока и минимизирует потери энергии кровотока в сосудистой системе.

Результаты исследования позволяют сделать следующие выводы:

• 1.    Впервые затабулированы геометрические и гидродинамические характеристики крупных артериальных сосудов человека.

• 2.    Открыт закон ветвления крупных артериальных сосудов человека - волновая проводимость стволового сосуда равна сумме волновых проводимостей ответвляющихся от ствола сосудов, что предотвращает появление обратных пульсовых волн и минимизирует потери энергии кровотока в сосудистой системе.