Большие прогибы, потеря устойчивости и закритическое поведение пологих панелей и арок переменной толщины на упругом основании

Рассматривается задача о больших прогибах пологой арки в своей плоскости (или бесконечно длинной панели), нагруженной поперечными нагрузками. Для ее решения применён вариационный подход. Разрешающие нелинейные уравнения сведены к отысканию прогиба и продольного усилия, которое считается постоянным по длине арки ввиду ее пологости. Предложен приближенный метод решения путем разложения перемещений в ряд Фурье. Особенностью использованного подхода является то, что для прохождения предельных точек не требуется применять специальные алгоритмы типа метода продолжения по параметру. Он позволяет также проследить процесс закритического деформирования арки. Предложенный подход позволяет рассматривать задачи для арок переменной толщины, находящихся на упругих опорах, на упругом основании с переменным коэффициентом постели, различными нагрузками. Поэтому он является удобным и в задачах об отыскании, например, оптимального распределения толщины при ограничениях на критическую нагрузку, на жесткость, на максимальные напряжения сжатия или растяжения. Приведены результаты численных расчетов. Изучен вопрос о сходимости решения в зависимости от количества членов ряда, в который разлагается искомый прогиб. Выявлено хорошее согласование с известными аналитическими результатами, полученными ранее путем решения уравнений равновесия элемента арки и панели в случае простых видов нагружения. При этом даже в более сложных случаях нагружения и закритического изгиба арки без упругого основания результаты, полученные при удержании трех, четырех и пяти членов ряда Фурье, максимальные прогибы и критические нагрузки отличались не более чем на 2,5 %. На основе численных экспериментов выявлены особенности поведения арки, вызванные перестройкой геометрии в процессе нагружения. Исследованы процессы потери устойчивости арки и её закритического поведения. Обнаружен эффект при симметричной деформации в случае кинематического нагружения, а именно выявлено, что при некотором значении сосредоточенной силы возможно бесконечное число форм равновесия. Рассмотрены арки на упругом основании, а также с переменной толщиной (результаты приведены в виде диаграмм «нагрузка - перемещение» и в виде картин деформированных форм арок). На основе численных экспериментов выявлен интересный эффект. Оказалось, что увеличение толщины при удалении от опор не меняет характера диаграммы «нагрузка - перемещение», т.е. при некоторой нагрузке происходит хлопок. Напротив, уменьшение толщины при удалении от опор приводит к выполаживанию диаграммы, а после некоторого значения толщины в центре дальнейшее ее уменьшение приводит к тому, что хлопка арки не происходит.