К расчету устойчивости пластин на действие неоднородных сил инерции вариационно-разностным методом

На основе критерия устойчивости, устанавливающего равновесие механической системы, краевая задача деформирования пластин приводится к обобщенной проблеме собственных чисел. Разработан метод расчета устойчивости тонких пластин на инерционные нагрузки, действующие в её базисной плоскости. При дифференциальной формулировке задачи формируются матрицы: первая - матрица жесткости - основана на бигармоническом уравнении С. Жермен, а вторая матрица представляет изменения внутренних напряжений или внутренних усилий, возникающих в пластине. Матрица жесткости всегда симметричная и положительно определена для закрепленной пластины. Матрица внутренних усилий при аппроксимации производных функций с применением центральных разностей от действий сил инерции может быть несимметричной относительно главной диагонали, также могут вырождаться и строки этой матрицы - такова особенность инерционных нагрузок. Метод конечных разностей позволяет формировать системы уравнений больших размерностей. Однако возникают определенные трудности на свободных краях и углах пластины, что усложняет процедуру вычислений. Поэтому выполнен переход от дифференциальной формулировки задачи к интегральной формулировке с дискретизацией вариационно-разностным методом. При этом подходе при формировании матрицы жесткости на свободных краях не возникает второго ряда законтурных узлов. Матрица внутренних усилий всегда симметрична; она может быть плохо обусловленной, однако этот фактор не влияет на решение задачи определения собственных чисел. В литературе приведено множество теоретических исследований и решений практических задач расчета устойчивости конструкций, в том числе и по расчету продольно-поперечного изгиба тонких пластин. Однако в большей мере это задачи, имеющие положительно определенные операторы. Здесь выполнена определенная поисковая и исследовательская работа приложения вариационно-разностного метода к расчету устойчивости конструкций. Дифференциальная формулировка краевой задачи преобразована в вариационную формулировку; приведены критерии устойчивости и решены вопросы аппроксимации дифференциальных операторов для дискретной задачи с конечным числом переменных. Разработаны алгоритмы для математической системы Maple и составлены программы расчета. Приведены примеры расчета. Рассмотрена пластина, жестко закрепленная по всем сторонам; действующие силы инерции изменяются по линейному закону. Проанализирована пластина, жестко закрепленная по одной стороне, а по трем другим сторонам свободная от закреплений. Получены значения критических ускорений. Задачи приводятся к обобщенной проблеме собственных чисел, в которой параметр ускорения как параметр нагрузки является единственной неизвестной характеристикой. Цель: разработать метод расчета пластин на инерционные нагрузки.