Теоремы типа Кейси и преобразования Лагерра

В статье исследуются связи между теоремами Кейси и их обобщениями на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях. Наряду с теоремами типа Кейси об окружностях и "касательных расстояниях" между ними рассматриваются преобразования Лагерра, сохраняющие такие расстояния. С использованием неевклидовой геометрии описываются некоторые связи между этими преобразованиями. В теореме Кейси, являющейся одним из обобщений теоремы Птолемея о вписанном четырехугольнике, рассматриваются четыре окружности, касающиеся одной окружности на евклидовой плоскости. Вместо длин сторон и диагоналей берутся длины общих касательных соответствующих пар окружностей. Эта теорема легко обобщается на большее количество окружностей. Кроме того, у нее существуют различные аналоги в пространствах постоянной кривизны. На псевдоевклидовой плоскости также можно рассматривать аналоги теоремы Кейси и ее обобщений. Теоремы такого типа на псевдоевклидовой плоскости являются непосредственным следствием соответствующих евклидовых теорем. В работе строится соответствие между конфигурациями окружностей на евклидовой плоскости и конфигурациями окружностей мнимого радиуса на псевдоевклидовой плоскости. При этом соотношению из евклидовой геометрии соответствует то же самое соотношение в псевдоевклидовой геометрии. Преобразования Лагерра на евклидовой плоскости воздействуют на ориентированные прямые. При этом семейство прямых, огибающее окружность, под воздействием преобразований Лагерра переходит в аналогичное семейство. Если прямая принадлежит двум таким семействам, то при преобразованиях Лагерра сохраняется длина отрезка прямой между точками касания с окружностями. С использованием изотропной проекции преобразования Лагерра на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях можно рассматривать как преобразования, индуцированные движениями трехмерного псевдоевклидова пространства. Для описания свойств однопараметрических подгрупп группы Лагерра на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях используются геометрии Лобачевского и де Ситтера.