Численная оценка эффективности жидкостного и воздушного электрокинетических излучателей. Случай вязкой теплопроводной жидкости

Ранее в работе [1] рассматривалась модельная оценка сравнительной эффективности электро-кинетического излучателя в воде и в воздухе при учете только вязких потерь в среде без учета тепловых потерь. В настоящей работе производится модельная оценка сравнительной эффективности электрокинетического излучателя в воде и воздухе при учете не только вязких, но и тепловых потерь в процессе электрокинетического преобразования. При этом, следуя [2, 3], применяется система уравнений гидродинамики для условий вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Ввиду сложности проведения натурных экспериментов описывается модельный эксперимент по определению сравнительной эффективности электроосмотического излучателя в воде и в воздухе в условиях учета вязких и тепловых потерь. Модельный эксперимент осуществляется на вычислительном пакете COMSOL Multiphysics. Для этого используется система уравнений Навье – Стокса для вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости. В качестве источника тепловой энергии рассматривается джоулев нагрев жидкости, вызванный протеканием электрического тока в капиллярной жидкости.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Рассматриваемая в работе тематика относится к компетенции достаточно молодой области физики — электрогидродинамики ( ЭГД ) . Согласно [4, с. 653], в средах с очень малой электропроводностью и без приложенного извне большого магнитного поля при скоростях движения жидкости, много меньших скорости света, определяющим во взаимодействии электромагнитного поля со средой является не магнитное, а электрическое поле. Электрическое поле в ЭГД описывается законами электростатики, а его воздействие на среду — электрической частью силы Лоренца ρ_e E , где ρ_e — плотность электрического заряда в среде, а E — вектор напряженности электрического поля. Электрический ток определяется при этом не только самостоятельным движением зарядов, но и конвективным переносом заряда жидкостью ρ_e v ( v — скорость течения жидкости) и током смещения. Уравнениям электрогидродинамики (ЭГД) посвящено достаточно много публикаций (отнюдь не полный их перечень приведен в работе [5]). Далее приведем систему уравнений ЭГД, выписанную в [5], с необходимыми комментариями, связанными с моделированием процессов на вычислительном пакете COMSOL.

Первыми рассмотрим гидродинамические уравнения: сохранения импульса (уравнение Навье – Стокса) и уравнение непрерывности. В общем случае сжимаемой вязкой жидкости, согласно [2, с. 73], уравнение Навье – Стокса (сохранения импульса) и уравнение непрерывности [2, с. 18] имеют соответственно вид

ρ

dv

— + d t

( v V ) v

= -V p + n A v + 1 Z + ⁿ )v ( V v ) + f ,     (1)

- p + V ( p v ) = 0.                    (2)

d t

При определенных условиях жидкость можно считать несжимаемой, что приводит к упрощению системы уравнений Навье – Стокса и уравнения непрерывности, которые в случае однородной жидкости сводятся соответственно к виду [2, с. 73] и [2, с. 37]:

ρ

—+ ( v V ) v d t   ^v ’

= -V p + n A v + f ,

V v = 0. (4)

В (1)–(4) приняты обозначения: v — поле скоростей жидкости; p — поле давления в жидкости; П = const и Z = const — сдвиговая и объемная вязкости жидкости соответственно (для упрощения расчетов принимается допущение о постоянстве этих величин); f = ρ e E — объемная пондеромо-торная сила (сила Лоренца в данном случае для однородной среды), действующая на единицу объема жидкости и характерная для электроосмотических задач; E = ( 0,0, E _z ) — напряженность электрического поля, приложенная к торцам расположенного вдоль вертикальной оси Oz наполненного жидкостью капилляра длиной l ; ρ_e — плотность электрического заряда в жидкости (электрический заряд единицы объема жидкости). Кроме того, в случае (1), (2) ρ — поле плотности среды, в общем случае p # const, а в случае (3)-(4) поле плотности среды постоянно p = const.

диусе капилляра R = r ₀ / k_D ( r ₀ — радиус капилляра; λ_D — толщина двойного электрического слоя) в цилиндрическом капилляре электроосмотическое течение имеет практически поршневой характер. Так, согласно [6], [7, с. 162], уже при величине электрокинетического радиуса R >  100 электроосмотическое течение принимает практически поршневой (одномерный) характер, т.е. амплитуды скоростей и давлений сохраняют постоянное значение в поперечном сечении капилляра. Поэтому далее будем пользоваться одномерными уравнениями Навье – Стокса в более простой цилиндрической системе координат.

Кроме того, ниже будет показана возможность описания поведения жидкости в электрокинетиче-ских процессах гидродинамическими уравнениями для вязкой несжимаемой жидкости в достаточно широких частотных пределах.

Запишем уравнение Навье – Стокса (3) и (4) применительно к цилиндрическому капилляру, заполненному несжимаемой вязкой жидкостью, в случае одномерного течения. Для несжимаемой жидкости в случае электроосмотического течения вдоль цилиндрического капилляра с осью, ориентированной вдоль оси Oz , имеющего постоянную скорость v ₀ = (0,0, v 0 ) и переменную скорость v = (0,0, v_z ), а также поле переменного давления p , единственная отличная от нуля z -составляющая уравнения Навье – Стокса имеет вид (см. [2, с. 76], [8, с. 395] и др.)

S v_г /       \ 3 v

—— + ( v + v _n)—— = 5 1 ⁽ z    ⁰ ) d z

1 d p    Г d ² v ^

—— + v — p d z    ^ 5 z ² _;

⁺ p e^Ez / p .

(3а)

Кроме того, должно выполняться уравнение непрерывности, которое в данном случае имеет вид [2, с. 76]

УРАВНЕНИЕ НАВЬЕ – СТОКСА

ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КАПИЛЛЯРА ДЛЯ ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ

СОСТАВЛЯЮЩИХ СКОРОСТИ И ДАВЛЕНИЯ СРЕДЫ

При моделировании электрокинетических процессов большое применение получила такая простая модель пористой среды, как одиночный тонкий цилиндрический капилляр, наполненный жидкостью. При большом электрокинетическом ра-

—z- = 0. d z

( 4а)

В (3 а) E_z ^ 0 — вертикальная составляющая напряженности электрического поля E = ( 0,0, E_z ) .

Далее рассмотрим пределы возможности использования модели несжимаемой вязкой жидкости для электроосмотических процессов. Согласно [2, с. 41], жидкость при стационарном ее течении можно считать несжимаемой при условии, что ва-

Ap риации плотности среды малы:    ≪ 1, что рав носильно условию v ≪ c, где v — амплитуда

вектора скорости жидкости; c — скорость звука в жидкости. Кроме того, в нестационарном режиме движения жидкости необходимо выполнение еще одного условия [2, с. 42]:

τ ≫l, c где τ и l — величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости и промежутки времени соответственно испытывают заметное изменение.

Согласно результатам работы [3], система уравнений гидродинамики для несжимаемой жидкости (3), (4) адекватно описывает гидродинамику процессов в электрокинетических преобразователях соответственно до частот f <  100 кГц в воде и f <  20 кГц в воздухе.

Далее рассмотрим уравнения теплопроводности также для обоих случаев: сжимаемой и несжимаемой жидкости.

В случае сжимаемой жидкости это уравнение имеет вид [2, с. 273]

ds   „ pT -+ws

η

+ —x

= V ( k V T ) +

+ЭП l^d xk   ^d xi

^- 3 7t div v

+ Z ( div v ) 2 .

Здесь T — поле температур в жидкости; s — энтропия единицы массы жидкости; κ — коэффициент теплопроводности.

В случае несжимаемой жидкости уравнение теплопроводности преобразуется к виду [2, с. 277]

— + v-V T = 5 1

ν

= ХЛ T + V x ^S1 ₊Al "        5 x, 5 x,.

2 c

' p   k

k

■   + w / pC p ,

' i 7

где v = n / P — кинематическая вязкость, а вместо коэффициента теплопроводности κ введена температуропроводность х = к / pc_p ; c_p — удельная теплоемкость при постоянном давлении.

В уравнении (6), в отличие от [2, уравнение (50.2)], справа добавлена плотность теплового источника w — теплота, выделенная источником в единицу времени в единице объема жидкости (см. также [9, с. 25, 26]), [ w ] = Вт/м³. Рассмотрим

случай, когда такой тепловой источник порождается процессом прохождения через электролит электрического тока. В данном случае воспользуемся законом Джоуля – Ленца о выделении тепла при прохождении тока. Мощность выделения тепла w (тепла, выделяемого в единице объема среды в единицу времени) при протекании электрического тока пропорциональна произведению плотности электрического тока j на величину напряженности электрического поля E [10, с. 604, 605]. Математически это записывается так:

w = j - E . (7)

Для того, чтобы в уравнениях движения неравномерно нагретой жидкости можно было считать плотность постоянной, необходимо, помимо малости отношения скорости жидкости к скорости звука v ≪ c , чтобы имеющиеся в жидкости разности температур были достаточно малы (речь идет именно об абсолютных значениях разности температур, а не о градиенте температуры). В этом случае жидкость можно считать несжимаемой. Считая разности температур малыми, можно пренебречь также и температурной зависимостью величин η , κ и с _p , т.е. уравнение теплопроводности может быть записано в виде (6) [2, с. 277].

Таким образом, при принятых выше допущениях гидродинамическая часть уравнений, описывающих исследуемый процесс, может быть записана в виде уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости (3), (4) либо (3а), (4а), а уравнение теплопроводности может быть записано в виде (6).

О ПЛОТНОСТИ ТОКА

В ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ

В электроосмотическом процессе при вычислении плотности электрического тока j в заполненных жидкостью тонких капиллярах и диафрагмах необходимо учитывать некоторые особенности электропроводности в них, в отличие от электропроводности в свободной жидкости (см., например, [11, гл. 5]; [12, с. 211–214]). Это связано с повышением концентрации ионов около поверхностей раздела жидкость – твердое тело вследствие образования двойного электрического слоя (ДЭС). Вследствие адсорбции ионов суммарная концентрация их в подвижной части ДЭС превышает таковую в окружающем свободном растворе. Избыток противоионов в ДЭС превышает по абсолютной величине недостаток коионов. В этом случае возникает дополнительная электропроводность σ_s , обусловленная поверхностным избытком ионов и называемая поверхностной проводимостью.

Отметим [12, с. 211], что величина σ_s здесь отнюдь не является удельной проводимостью поверхностного слоя, а представляет собой избыток объемной проводимости жидкости σ в пористой среде, усредненный, как бы "размазанный" по всему объему капилляра. Таким образом, удельная электропроводность порового раствора σ является суммой объемной электропроводности σ _v и поверхностной электропроводности σ _s :

V = ° v + ° s ^.

В работе [11, c. 26] тем не менее отмечено, что при выполнении условия1 (8)

Rel = ° « 1               (8)

σv поверхностная проводимость оказывает слабое влияние на электрокинетические явления. А для случая капилляров постоянного сечения поправкой (8) исчерпывается влияние поверхностной проводимости на электрокинетические явления и, в частности, на электроосмос.

Поскольку далее при проведении модельных экспериментов радиус капилляра, наполненного жидкостью, в котором осуществляется моделирование электроосмотического процесса, будет значительно больше толщины ДЭС (иными словами, принимается допущение о большой величине безразмерного электрокинетического радиуса капилляра R = r ₀ / A D ), то жидкость, текущая по капилляру, будет иметь удельную электропроводность σ , близкую к σ _v , и поверхностной проводимостью можно пренебречь.

О ПЛОТНОСТИ

ТЕПЛОВОГО ИСТОЧНИКА w

Мощность w выделения тепла (7) в капилляре вычисляется так:

w = j • E = ¹¹ = ^ = ° v E • E = ° v E 2 .    (9)

σ _v   σ _v

На электроды мембраны электрокинетического излучателя обычно подается смесь U 0 + u 1 постоянного напряжения U ₀ = const и переменного синусоидального напряжения u j = u ₀ e¹ " t (здесь u ₀ = const — амплитуда переменного напряжения u ₁). В случае гармонического переменного напря-

¹ В настоящее время безразмерный параметр Rel получил общепризнанное название "число Духина" Du в честь одного из соавторов работы [12], предложившего этот критерий подобия.

жения в (9) нужно учитывать действующие значения электрического поля, в случае постоянного напряжения в (9) учитывается величина постоянного напряжения. Тогда (9) после осреднения по периоду колебаний переписывается так: w = w ₀ + w ₁, где w ₀ и W 1 равны соответственно

w o = ° v |Eo|2 = ° v ( U о / ^l ) 2

и wj = °v E I' = °v |(uj / 1 )|2 = °v (u0 / 1 )2 / 2.

Здесь l — толщина мембраны (равная длине капилляра) электрокинетического излучателя. Окончательно для (9) имеем

w = ° v [ и 0 ² + u 02 /2 ] .             (10)

Тогда с учетом (10) уравнение (6) запишется следующим образом:

— + v V T = d t

= XAT + V

2 c p

< ^{d v} i J

σ v     2

⁺      72 ^u0

ρc_pl ²

+ u ₀ 2 /2 ] .

Таким образом, выше показано, что система уравнений для описания гидродинамических процессов и процессов, связанных с теплопереносом в жидкости применительно к моделированию электрокинетического излучателя при подаче на него постоянного напряжения накачки U ₀ и переменного напряжения амплитудой u ₀ , может быть ограничена гидродинамической системой уравнений (3), (4) в общем случае или (3а), (4а) в случае цилиндрической системы координат с источником f = p_e E в (3) и уравнением сохране

ния энергии (11) с источником ° ^v Г U ₀ ² + u 2 / 2” | . ρc_pl ²

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА

В качестве физической модели процесса предлагается однородный стеклянный цилиндрический капилляр длиной l с внутренним радиусом r ₀ и внешним радиусом r ₀ + A r , где A r — толщина стенки капилляра. Ось капилляра ориентирована вдоль оси Oz и имеет координаты по оси z е [0, l ]. Внутри капилляр заполнен одной из выбранных для экспериментов однородных сред (воздухом либо водой). Сам капилляр помещен в безгранич-

ную однородную среду, идентичную среде, заполняющей капилляр. К торцам капилляра приложено совокупное электрическое поле с напряженностью E = E0 + E, где E0 =(0,0, E0z) — напряженность приложенного к торцам капилляра вертикально ориентированного постоянного электрического поля; E = (0,0, Ez) — напряженность приложен- ного к торцам капилляра вертикально ориентированного переменного электрического поля.

В качестве математической модели процессов в жидкости принимается система уравнений Навье – Стокса (3а), (4а) в цилиндрической системе координат, а также уравнение теплопроводности в жидкости (11).

Далее для получения замкнутого решения задач (3а), (4а) и (11) и стыковки краевых условий на внешней границе капилляра понадобится уравнение теплопроводности в стеклянной оболочке цилиндрического капилляра, а именно в области r g [ r ₀, r ₀ +A r ] , ^ e [ 0,2 n ] , z g [ 0, l ] . Это уравнение имеет вид [13, с. 55]

d T    ( д ² T  1 d T   1 a ² T  д ² T А

= a +++ дt    ^ дr2   r дr   r2 дф    дz2 ;

где a = Z g / ( p g c g ) — коэффициент температуропроводности стекла; λ_g — коэффициент теплопроводности стекла; с_g — теплоемкость стекла; ρ_g — плотность стекла.

Для решения системы уравнений (11), (12) необходимо поставить граничные условия на границах стеклянной оболочки c жидкостью, находящейся как внутри, так и снаружи капилляра. Здесь сошлемся на работы [13, с. 30], [14, с. 28]. Согласно, например, [14, с. 28], в рассматриваемом в настоящей работе случае имеет место граничное условие четвертого рода, справедливое либо при обтекании твердого тела жидкостью (в рассматриваемой задаче обтекание жидкостью внутренних стенок капилляра), либо при конвективном теплообмене тела с жидкостью (в рассматриваемой задаче — конвективный теплообмен на внешних границах капилляра с окружающей его извне жидкостью). Это граничное условие сводится к неразрывности температур и тепловых потоков на границах раздела.

Таким образом, на внутренней границе стеклянного капилляра r = r ₀ , z g [0, l ] (обтекание жидкостью внутренней поверхности капилляра), а также на внешней боковой поверхности капилляра r = r₀ +A r , z g [0, l ] и на торцах кольцевого капилляра, также контактирующих с окружающей средой

( r , z ) g [ ( r ₀, r ₀ +A r ) , z = 0] и ( r , z ) g [ ( r ₀, r ₀ +A r ) , z = l ] (свободная конвекция), ставятся краевые условия четвертого рода, сводящиеся к одновременному заданию равенства температур

Т реды ( t ) = T s ( t )                  (13)

и тепловых потоков

(д t А

<   -среды =- Z g Ml    (14)

^ д n )      ^ д n J на всех границах между окружающей и внутренней жидкостью со стеклянными стенками капилляра (см. [13, с. 30], [14, с. 28]).

Здесь Tсреды — температура окружающей среды, Ts — температура жидкости внутри капилляра на границе со стеклом; λ и λ — среды            g соответственно коэффициенты теплопроводности среды и стекла; n — нормали к соответствующим поверхностям.

Замечание . Отметим, что уравнения гидродинамики для вязкой жидкости и уравнение теплопроводности учитывают различные потери. Так, уравнение Навье – Стокса учитывает вязкие потери, а именно диссипацию энергии, вызываемую вязким трением и превращающую в тепловую энергию.

Уравнение теплопроводности в рассматриваемой задаче учитывает прежде всего характерный для нее источник потерь — джоулев нагрев, который вызывается возникающим в электролите электрическим током (см. источник в правой части уравнения (11)). Кроме того, при решении уравнения теплопроводности учитываются потери энергии, связанные с конвекцией на границах с окружающей средой (отметим, что вопросы диссипативных потерь применительно к электроосмотическому процессу подробно рассмотрены, в частности, в работе [15]).

ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЭКСПЕРИМЕНТА

В экспериментах за основу была взята геометрия численного эксперимента работы [1]. А именно: стеклянный капилляр с открытыми концами, в котором осуществлялся процесс электроосмоса, имел следующие размеры: l = 1 -10-3м, радиус r0 = 1-10-5 м, концы оси капилляра имели координаты ( r, z )iover =( 0,0) м и ( r, z )upper =( 0,10-3 ) м. Толщина стенки капилляра в настоящей работе принималась равной Ar = 8 • 10-5 м. Стенка капилляра была введена для учета теплопереноса.

Капилляр помещался в безграничную однородную жидкость (воздух или воду), которая заполняла и внутренний объем капилляра. Таким образом, в отличие от работы [1], внутри капилляра рассматривалась мультифизическая задача гидродинамики и теплопроводности, а в оболочке капилляра и в окружающей жидкости рассматривалась задача теплопроводности.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Модельный эксперимент проводился на программном комплексе COMSOL Multiphysics. В качестве гидродинамической модели использовалась модель несжимаемой вязкой жидкости (3), (4). В качестве среды в экспериментах использовались вода и воздух (обобщенно жидкость). В безграничную жидкость помещался цилиндрический капилляр с открытыми концами, заполненный окружающей жидкостью. К торцам капилляра подавалось суммарное электрическое напряжение U ₀ + u 1 постоянного напряжения U 0 = const и переменного синусоидального напряжения u ₁ = u ₀ e '^at (здесь u ₀ = const — амплитуда переменного напряжения u ₁). Амплитуда постоянного напряжения накачки была принята равной U ₀ = 2000 В, амплитуда переменного напряжения была равна и ₀ = 600 В. Частота колебаний принималась равной f = 1000 Гц. Величина U 0 = 2000 В была выбрана, исходя из результатов работы [1], т.к. именно при этой величине U ₀ в [1] было получено наибольшее преимущество излучателя в воде по сравнению с воздухом.

Что касается краевых условий на стенках капилляра при электроосмотическом течении жидкости, то в пакете COMSOL Multiphysics при моделировании электроосмоса принимается "электроосмотическое" краевое условие, заключающееся в том, что на внутренней стенке капилляра для продольной скорости жидкости вместо условия прилипания жидкости принимается условие о том, что эта скорость жидкости на стенке равна электроосмотической скорости жидкости U _eo , где εεζ

Ueo = —— E — электроосмотическая скорость η течения; ε и ε0 — соответственно относительная диэлектрическая проницаемость и электрическая постоянная; E — проекция амплитуды напряженности электрического поля в направлении движения жидкости (см., например [7, с. 159], [11, с. 7]).

Были проведены следующие модельные эксперименты. Для указанных выше параметров были найдены величины давления и скоростей движения жидкости в воде и в воздухе для условий только вязких потерь и отдельно для совокупности вязких и тепловых потерь. В итоге были получены следующие результаты.

• 1.    В условиях учета только вязких потерь отношение амплитуд переменного давления в воде и в воздухе составило p _0water / p _0air = 4407. При учете и вязких, и тепловых потерь это отношение составило величину p 0w _a te _r / p 0air = 4372 (или уменьшение на 0.79%).

• 2.    Произведено сравнение интенсивностей звука в капилляре. В качестве интенсивностей звука в капилляре в воде или воздухе бралась величина I = p ₀ v ₀ /2 ( p ₀ , v ₀ — амплитуды давления и скорости соответственно), характерная для электроосмотического течения с присущим ему свойством постоянности этих величин в поперечных сечениях капилляра (см. [1]), а именно независимость этих величин от радиуса капилляра. Отношение интенсивностей при учете только вязких потерь составило I water /1 _0air = 6243. При учете и вязких, и тепловых потерь это отношение составило величину I _water / 1 _0air = 6162 (или уменьшение на 1.3%)

Таким образом, в условиях описанных экспериментов было показано, что неучет тепловых потерь при расчете акустических полей в капилляре приводит к ошибкам порядка 1%.

ВЫВОДЫ

В работе приведены все необходимые уравнения для проведения модельных экспериментов по учету тепловых и вязких потерь электроосмотического излучателя. В результате проведенных модельных экспериментов выявлено следующее. Дополнительный к учету вязких потерь учет тепловых потерь незначительно повышает точность расчетов. Так, отношение амплитуд давлений в воде и в воздухе меняется всего на 0.79%, а отношение интенсивностей излучаемого звука меняется на 1.3%. Сами амплитуды давлений и колебательной скорости без учета тепла и с учетом тепла менялись в пределах одного процента. Это позволяет использовать с указанной точностью модель вязкой несжимаемой жидкости без учета тепловых потерь при моделировании электрокинетического излучателя звука.

Финансирование

Работа выполнена в ИАП РАН в рамках Государственного задания Министерства науки и высшего образования РФ № 075-00444-25-00 (от 26.12.2024 г.).