Численно-аналитическая модель задержки на основе СМО с операционным сдвигом законов распределений
Автор: Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф.
Журнал: Инфокоммуникационные технологии @ikt-psuti
Рубрика: Теоретические основы технологий передачи и обработки информации и сигналов
Статья в выпуске: 4 (84) т.21, 2023 года.
Бесплатный доступ
В данной статье демонстрируются результаты для системы массового обслуживания, сформированной подвергнутыми операции сдвига вправо распределением Эрланга и гиперэкспоненциальным распределением второго порядка. Как известно, первое распределение обеспечивает коэффициент вариации меньший единицы, а второе - больший единицы. Сдвиг закона распределения увеличивает математическое ожидание случайной величины, не изменяя при этом ее среднеквадратическое отклонение. Следовательно, при этом уменьшается коэффициент вариации случайной величины. В тоже время, из общей теории систем G/G/1 известна функциональная зависимость задержки требований в очереди от квадратов коэффициентов вариаций интервалов поступлений и времени обслуживания, а представленная система относится именно к этому типу. Таким образом, операционный сдвиг законов распределений приводит к многократному уменьшению задержки по сравнению с обычной системой, и эта величина зависит от значения параметра сдвига. Для построения математической модели задержки использован метод спектрального решения уравнения Линдли, который как известно, применяется во многих сферах научных исследований. В статье также использованы известные приемы аппроксимации законов распределений. Полученные результаты численно-аналитического моделирования в Mathcad однозначно подтверждают адекватность предложенной математической модели задержки
Операционный сдвиг закона распределения, уравнение линдли, спектральное решение, преобразование лапласа
Короткий адрес: https://sciup.org/140306010
IDR: 140306010 | DOI: 10.18469/ikt.2023.21.4.01
Текст научной статьи Численно-аналитическая модель задержки на основе СМО с операционным сдвигом законов распределений
В русскоязычной и англоязычной научной литературе авторами не обнаружено сведений о системах массового обслуживания (СМО), сформированных с помощью операционного сдвига законов распределений интервалов поступлений и времени обслуживания. Такие СМО с операционным сдвигом законов распределений в дальнейшем будем рассматривать как системы с запаздыванием по времени. Наиболее близко к этой тематике относятся работы [1; 2], в которых аппроксимация очередей к интернет ресурсам представлена как система с запаздыванием во времени.
Исследования по рассматриваемой тематике приведены во многих работах авторов, включая [3‒6]. Используемый для этого метод наиболее полно с демонстрацией примеров описан в [7]. Данный метод используется во многих областях научных исследований, например [8; 9]. Кроме того, в работе использованы приемы и методы аппроксимации законов распределений [10‒13]. Сравнительно новые результаты по СМО представлены в [14‒17].
В работе [6] приведены полученные автором результаты по системе, сформированной функциями плотностей вида:
a ( t ) = 4 X 2 te t ,
b ( t ) = q Ц 1 e ~^1 t + ( 1 - q ) ц 2 e ^2 t .
Для нее получена следующая математическая модель задержки:
= — +----
^ 1 ^ 2 R ^ 2
Здесь σ1, σ2 ‒ инверсные значения корней -σ1, -σ2 многочлена третьей степени σ3 - c 2σ2 - c 1σ - c 0
с коэффициентами c 2 = 4λ - μ1 - μ2, с1 = 4λ·(μ1 + μ2 - λ) - μ1μ2, c 0 = 4λ2 q ·(μ1-μ2) + 4λμ1(μ2 - λ), включающими параметры распределений a(t) ‒ интервалов поступлений и b(t) ‒ времени обслуживания.
Все параметры выражения (1) определяются методом моментов через числовые характеристики распределений a(t) и b(t):
1 ?2 q± ( 1 ~ q )
4 X ’ 4 2 1 2 U ^ R Ц 2
_ 2 _ 2 q , 2 ( 1 _ q ) т ц = T +----2-- , [6]’
R R 2
Здесь «‒» стандартная операция усреднения для моментов.
Постановка и решение задачи
Теперь подвергнем распределения a ( t ) и b ( t )
операции сдвига вправо:
a ( t ) =
4 X 2 ( t - 1 0 ) e - 2 X( t - t 0 )
0, 0 < t < to, t > t0,
b(t)
= s
q Ц 1 e
,-H 1 ( t - t 0 )
+ ( 1 - q ) ^ 2 e
,-M 2 ( t - t 0 )
t > 1 0 ,
0, 0 < t < 1 0.
. (3)
В качестве новых законов распределений a ( t ) и b ( t ), формирующих СМО, будем рассматривать (2) и (3). Авторами ставится задача получения численно-аналитической модели задержки для системы, формируемой законами распределений (2) и (3).
Для решения поставленной задачи запишем изображения Лапласа для функций (2) и (3):
A* (s ) = [2X /(2X + s)]2 ■ e-t0s b * (s) = [ q +(1 - q )-M2-] ■ e" t0 s.
s + Ц 1 s + M 2
Разложение выражения A *(- s ) · B*( s ) - 1 = α ( s )/ β ( s ) на дробно-рациональные функции α ( s ) и β ( s ) приведет к равенству вида:
^s ) = [-^T e 0 s x [ q ul + (1 _ q ) _±^] e- ^ о s
P ( s ) v2X - s j s + Mi s + М2
_ 1 = - s ( s + C»1)( s + c»2)( s- a-3) , (4)
(2X - s )2( s + Mi)( s + Ц2)
вать те же результаты, что и для обычных систем. При этом учитываем последствия применения операции сдвига, которые изменят и числовые характеристики, а также параметры этих распределений.
Спектральные решения для обычной системы и системы с операционным сдвигом будут совпадать, и, следовательно, численно-аналитическая модель задержки (1) справедлива и для системы с операционным сдвигом. При этом надо учесть тот факт, что числовые характеристиками сдвинутых распределений (2) и (3) и параметры этих распределений становятся функционально зависимыми от параметра сдвига.
Для применения в дальнейшем формулы (1) для расчета средней задержки, через изображения Лапласа запишем начальные моменты до второго порядка.
Для закона распределения (2):
-1 2 2 2 t 0 3
Tx-^ +t о, T% - t o+-T + —7
x 2x2, cx = [72(1 + totо)]"1.
т.к. полином четвертой степени в числителе выражения (4) можно представить в виде разложения -σ(σ3-c2σ2-c1σ-c0) с коэффициентами, которые приведены выше. Наша задача состоит в определении нулей и полюсов выражения (4). Здесь опущены не очень сложные математические выкладки.
Нужные нам нули полинома третьей степени σ3- c 2σ2- c 1σ- c 0 (два действительных отрицательных числа) обозначим - c 1, - c 2, а одно положительное число σ3. Тогда дробно рациональные функции α( s ) и β( s ) из выражения (4) будут иметь вид:
s ( s + G i )( s + ^ 2 ) a l s ) = ’
( s + M1) (s + M2)
(2Z - s )2
( s -° 3 )
Из выражения (4) для всех систем с операционным сдвигом следует одно общее свойство, вы-paжающееся в том, что операционный сдвиг не влияет на спектральное решение, т.е. последнее остается инвариантным к операции сдвига законов распределений у СМО. Это вытекает из свойства запаздывания изображения Лапласа и из специфики выражения A * ( - s ) ■ B * ( s ) - 1 = a ( s ) / p ( s ) , где присутствуют противоположные знаки у перед комплексной частотой ѕ. Теперь, после того, как найдены составляющие спектрального решения α(ѕ) и β(ѕ), а также определены их нули и полюса, мы можем утверждать, что они удовлетворяют всем требованиям спектрального решения [7].
Таким образом, для систем с операционным сдвигом законов распределений, можем использо-
Для закона распределения (3)
TM = q M 1 1 + (1 - q ) м 21 + t 0
T 2 = 2[ q M - 2 + (1 - q ) ц - 2 ] + 1 2 + 2 1 0 [ q m - 1 + (1 - q ) ц - 1 ] (6) 2 [(1 - q 2 ) M 1 - 2 M 1 M 2 q (1 - q ) + q (2 - q ) m 2 ]
cm =--------------------------------2-------
[ t 0 M 1 M 2 + (1 - q ) m 1 + q M 2 ]
Из уравнений моментов (5) и (6) определяем параметры распределений (2) и (3). Из них следует, что параметры μ, cμ, t0 связаны ограничением cM > 1 -10 / тц, 0 < 10 < tm . Таким образом, система Е2/Н2/1, сформированная операционным сдвигом распределений (2) и (3) применима при выполнении ограничений cm> 1 -t0/V, 0 Функциональная зависимость коэффициентов вариаций интервалов поступлений и времени обслуживания cλ и cμ от параметра сдвига t0 явно прослеживается из выражений (5) и (6), и как будет видно из следующего раздела, полностью подтверждается при численном расчете. Алгоритм применения выражения (1) для дальнейших расчетов относительно прост. Через заданные начальные моменты распределений из уравнений (5) и (6) последовательно определяем все параметры выражения (1) [6]. Численные эксперименты в Mathcad На рисунке 1 представлен вариант расчета среднего времени ожидания для случая высокой нагрузки, равной 0,95 при коэффициенте вариации времени обслуживания, равном 2 и параметре сдвига 0,99. Таблица 1. Результаты серии численных расчетов в Mathcad X := --------- = 15.96638655 cX >-------------= 0.04207285 (тХ - tO) V2 (l + X-tO) (2!JJ22--- . 09да50„ q. , 2 - - LOI 2 4 Г 2 2 21 4 N 2 L(TI' _ tO) + ср тр J pl > 2------= 199.99019752 p2 :- 2-^-^- = 0.00980248 (тр - tO) (тр - tO) C2 :- 4 X - pl - p2 = -136.13445378 Cl := 4X (pl + p2 - X) - pl p2 = 11751.44684533 CO :- 4 X2 q (pl - p2) + 4 X pl(p2 - X) - 105 2117 7462 Given , _ ст - C2 ct* - Cl ст- CO = 0 Find(CT) -> (-8.952E-OO3 -1 961E-O02 5.994E-001) ctI > 0.008952162S0529489S7533 W > — + — ^ ctI ct2 ct2 > 196.06745193676547407 ----- = 9.69 lil p2 Рисунок 1. Пример численного расчета в программe Mathcad Из программы на Маthcad хорошо прослеживается алгоритм применения расчетной формулы (1). В таблице 1 представлены результаты серии численных расчетов в Mathcad. В таблице 1 приведены результаты численных расчетов в Mathcad для указанной системы с операционным сдвигом законов распределений (обозначена Ѕ2) при значениях параметра сдвига t0 от 0,001 до 0,99 для случаев умеренной и высокой нагрузки (ρ = 0,6; 0,95) для сравнительно малого значения коэффициента вариации времени обслуживания значения cц= 2 соответственно для обычной системы (обозначена Ѕ1). Заключение Операционный сдвиг законов распределений уменьшает коэффициенты вариаций интервала между поступлениями и времени обслуживания требований и, как следствие, уменьшается средняя задержка. Результаты табл. 1 демонстрируют, как уменьшаются коэффициенты вариаций при изменении значений параметра сдвига. Адекватность предложенной численно-аналитической модели задержки в системе с операционным сдвигом подтверждается несколькими факторами. Во первых результаты расчетов таблицы 1 полностью подтверждают общую теорию систем G/G/1 в части функциональной зависимости задержки от коэффициентов вариаций. Во-вторых, поведение задержки в зависимости от величины параметра сдвига свидетельствует о сохранении свойства непрерывности для указанных СМО, обычных и с операционным сдвигом. Кроме того, результаты по системам с запаздыванием по времени согласуются с данными имитационного моделирования [18].
Входные параметры
Среднее время ожидания
ρ
cλ
c μ
t0
для системы Ѕ2
для системы Ѕ1
0,6
0,287
1,010
0,99
0,764
3,212
0,495
1,500
0,5
1,702
0,672
1,818
0,1
2,865
0,703
1,990
0,01
3,176
0,707
1,998
0,001
3,208
0,95
0,042
1,010
0,99
9,690
42,570
0,371
1,500
0,5
22,471
0,640
1,900
0,1
37,980
0,700
1,990
0,01
42,098
0,706
1,999
0,001
42,522
тр := 1 тХ :» — p := — = 0.95 tO := 0.99 19 тХ
Список литературы Численно-аналитическая модель задержки на основе СМО с операционным сдвигом законов распределений
- Limiting the oscillations in queues with delayed information through a novel type of delay announcement / S. Novitzky [et al.] // Queueing Systems. 2020. Vol. 95. P. 281-330. DOI: https://doi.org/10.1007/s11134-020-09657-9.
- Nonlinear dynamics in queueing theory: determining the size of oscillations in queues with delay / S. Novitzky [et al.] // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2019. Vol.18, no. 1. P. 279-311.
- Тарасов В.Н. Расширение класса систем массового обслуживания с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2018. № 12. С. 57-70.
- Тарасов В.Н., Ахметшина Э.Г. Среднее время ожидания в системе массового обслуживания H2/H2/1 с запаздыванием // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2018. Т. 22, № 4. С. 702-713.
- Тарасов В.Н. Системы массового обслуживания с запаздыванием во времени // Информационные технологии. 2021. Т. 27, № 6. С. 291-298.