Численное и аналитическое исследование фазовой топологии интегрируемой гамильтоновой системы, описывающей динамику двух вихрей

Интегрируемые модели динамики точечных вихрей [1, 2] занимают важное место как в классической гидродинамике, так и в теории гамильтоновых систем с симметрией [3]. Глобальная структура фазового пространства таких систем определяется лиувиллевым

«Московский физико-технический институт (пациопальпый исследовательский университет)», 2026

слоением, ассоциированным с отображением момента. Бифуркации лиувиллевых торов отражают качественные изменения динамики и связаны с особенностями отображения момента [4]. Несмотря на наличие развитого аналитического аппарата, геометрическая интерпретация перестроек слоения во многих случаях требует численной визуализации.

Целв настоящей работы состоит в том, чтобы в модели двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате в круговой области описать редукцию к системе с одной степенью свободы, сформулировать воспроизводимую численную процедуру построения линий уровня и проиллюстрировать бифуркации торов Лиувилля в редуцированной системе, сопоставляя перестройки топологическим инвариантам слоения полной системы.

2.    Математическая модель

Как и в работах [5, 6], рассмотрим, следуя [7], формулировку математической модели динамической системы, описывающей эволюцию системы из двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате, помещенном в ловушку. Геометрия такой системы представляет собой движение точек (оснований вихрей) в круговой области с центром в начале декартовых координат (соответствующие рисунки приведены в работах [5, 6]). Как и в предыдущих работах, перейдем к безразмерным переменным, нормированным на радиус окружности. Тогда положение двух вихрей на плоскости задается координатами:

^(х1^-У1^{)- ( х} 2 ,У2⁾.

Фазовое пространство данной системы представляет собой декартово произведение двух открытых единичных дисков, с вычтенной диагональю, соответствующей множеству точек столкновений.

V = {(Х1,У1,Х2,У2) G R⁴ : х2 + у2 <  1, Х2 + у2 <  1} \ {ал = Х2, yi = У2}.

2.1.    Параметризация интенсивностей и гамильтоново представление

Задается параметр а отношения интенсивностей двух вихрей:

Г2 а = ,- - г 1

и далее без ограничения общности полагается Г1 = 1, так что Г2 = а.

Матрица пуассоновой структуры w^ принимает следующий блочный вид:

w =

(0	0	а	0	\
0	0	0	1
—а	0	0	0
0	-1	0	0	)

.

Тогда уравнения движения [7] могут быть представлены в следующей гамильтоновой форме:

дН

2 = {z' -н} = “” дЛ’ где z — фазовый вектор с координатами (Х1-У1-Х2,у2)', или представлены явно:

дн .

^Х1 = ^а д , ^у1 = ^—1 dyi

дН ая~, dxi

дН      дН

^Х2 = ~Я~, ^У2 = -Ч^- .

ду2          дХ2

Гамильтониан этой системы в безразмерных переменных имеет вид

Н = ln(1 - (Х2 + у2)) + а² ln(1 - ( х 2 + у2)) - а 1п ( ( х 2 - Х1)² + (у2 - У1)²).       (1)

Система допускает дополнительный первый интеграл — момент завихренности:

F = х"1 + ^у2 + ^а(х2 + У2).                                 (2)

Функции Н и F находятся в инволюции и образуют полный набор первых интегралов, поэтому система (1) - (2) является вполне интегрируемой по Лиувиллю.

Аналогичные уравнения рассматривались в работах [8-11].

Рассмотрим далее стандартный подход к анализу фазовой топологии интегрируемых гамильтоновых систем [4].

• 3.    Отображение момента и редукция

  3.1.    Отображение момента и бифуркационная диаграмма

3.2.    Редукция по вращательной симметрии

Определим отображение момента интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, которое в дальнейшем будет использоваться для анализа фазовой топологии рассматриваемых в статье интегрируемых случаев, следующим образом:

Р : Р • R²,     Р(х! ,У1,Х₂,У2) = (f, h) = (F, Н ).

Множество критических точек С С Р определяется условием rank dP <  2, а множество критических значений У = Р(С ) называется бифуркационной диаграммой. В настоящей работе будут рассмотрены два типа бифуркационных диаграмм, которые были построены ранее в работах [5, 6], для случаев двух одноименных вихрей и двух вихрей противоположных знаков. В вышеуказанных работах бифуркационные диаграммы были построены по определению, то есть рассмотрен образ критического множества при отображении момента для системы с двумя степенями свободы. Ранее в работах С. В. Соколова, П.Е. Рябова, Г. П. Пальшина была рассмотрена процедура редукции системы с двумя степенями свободы к интегрируемой гамильтоновой системе с одной степенью свободы. Рассмотрим данную процедуру в применении к анализируемым системам подробнее.

Важную роль в анализе рассматриваемой системы играет вращательная симметрия. Гамильтониан и уравнения движения инвариантны относительно одновременных поворотов координат обоих вихрей на произвольный угол, что соответствует действию группы SO(2) на фазовом пространстве.

(х:)  •(

cos в sin в

— sin в cos в

) (

к = 1,2.

Согласно теореме Нетер, этой непрерывной симметрии соответствует первый интеграл — момент завихренности F, который является инвариантом относительно указанного группового действия. Инвариантность относительно SO(2) позволяет выполнить редукцию по циклической координате и свести исходную систему к системе с одной степенью свободы, что является стандартным приемом для механических задач, обладающих симметрией [12].

Зафиксируем значение интеграла (2):

F = f.

Введем новые переменные (u,v,a) следующими формулами:

х1 = и cos а — v sin а,

У1 = и sin а + v cos а,

Х2

=

f — и² — v²

а

cos а,

У2

V z

—

и2

—

v

а

sin а.

Здесь (u, v ) являются координатами в системе отсчета, связанной с центром завихренности, а а описывает общий поворот.

В общем случае обратная замена:

Х1 Х2 + У1 У2           У1Х2 - Х1У2

^u = ^Г1--7^=^, ^V =^Г1-- / о о

V х 2 + у2         Щ2 + У2

Замечание 1. Область допустимых значений ( u,v ) (4) определяется неравенствами:

и² + v ²

< 1 и

f — и² — v ² a

> 0 (а также условиями, исключающими столкновения), что

учитывается при построении сеток в численном алгоритме.

3.3.    Приведенная система с одной степенью свободы

После редукции динамика (u, v ) описывается гамильтоновой системой:

дН1     . = - дН1

dv ’     V ди 1

где приведенный гамильтониан Н1 (u,v;f ) получается подстановкой (3) в (1) с учетом равенства F = f и исключения циклической переменной а:

Н1 (и, v ; f ) = ln(1 — и² — v ²) + a² ln( 1 —

f — и — v ²

a

-

— a In

(и —    '          )² + v ²

В результате динамика описывается приведенным гамильтонианом Н1 ( u,v ; f ), не зависящим от циклической координаты, связанной с глобальным поворотом конфигурации. Именно эта редукция делает возможным наглядное построение бифуркаций лиувиллевых торов, поскольку такие бифуркации в полной системе проявляются как перестройки периодических траекторий приведенной системы. Динамически такая редукция, как уже было указано, соответствует переходу в специальную вращающуюся систему отсчета.

Рис. 1. Увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы Е отображения момента ( F,Н ) при a = 0,5; координаты точек А, В,С, D, Е, F соответствуют значениям первых интегралов: h = —0,48324, f ( А ) = 0,4247043, f ( В ) = 0,4247643, f ( С ) = 0,4249243 f (D) = 0,4250243, f ( Е ) = 0,4251243, f (F) = 0,4254243

Регулярные уровни Н1 (6) компактны и соответствуют периодическим траекториям приведенной системы. Критические значения Н1 определяют уровень сечения прямой бифуркационной диаграммы Е (рис. 1, 2). Значения f определяют значения интеграла завихренности, при которых построены линии уровня Н1 ( u,v ; f ) = h.

Рис. 2. Увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы Е отображения момента ( F,H ) при а = —2; координаты точек А, В, С, D, Е, F соответствуют значениям первых интегралов: h = -7, 5, f (А) = 0,0333, f ( В ) = 0,0455, f (С) = 0,0465 f ( D ) = 0,0536, f (Е) = 0, 05369, f (F) = 0,0537

4.    Алгоритм построения периодических траекторий

Как было отмечено выше, траектории редуцированной системы на изоэнергетическом уровне функции Гамильтона H1 (u,v;f ) могут быть построены с помощью линий уровня указанной функции. Визуализация таких траекторий осуществляется с помощью численных методов. Численное исследование состоит из следующих шагов.

• 1.    Фиксируется параметр а, а также значение интеграла f.

• 2.    На допустимой области плоскости (u, v) строится равномерная сетка.

• 3.    На сетке вычисляется H1 (u,v; f) согласно формуле (6).

• 4.    После построения линий уровня H1 (u,v;f) = h визуально анализируется топология уровней и ее перестройка при изменении (f, h).

• 5.    Критические значения обнаруживаются как точки, где VHi = 0, на практике используется сочетание грубого поиска по сетке и локального уточнения.

5.    Визуализация перестроек торов Лиувилля

Бифуркации торов Лиувилля проявляются как изменение числа и типа компонент регулярной поверхности уровня Е ^-1 (f, h). Для приведенной системы (5) они наглядно отображаются перестройкой топологии линий уровня H₁ (u, v; f ) = h.

В окрестности критических значений параметров множество периодических орбит приведенной системы может состоять из нескольких несвязных замкнутых кривых (рис. 3, 4). Их перестройка при изменении константы интеграла f наглядно иллюстрирует бифуркации, возникающие при пересечении ветвей бифуркационной диаграммы. Объединение траекторий в случае критических значений параметра f соответствует одному из сингулярных слоев ( D на рис. 3, Е на рис. 4) лиувиллева слоения в полной системе. При переходе через бифуркационное значение соответствующие компоненты могут сливаться, что реализует бифуркацию типа «два тора в один» (из С в Е на рис. 3, из D в F на рис. 4). Также может наблюдаться разделение одной компоненты на несколько, что реализует бифуркацию типа «один тор в два» (из А в С на рис. 3, из А в С на рис. 4).

А

В

0.75

0.50

0.25

0.00

-0.25

-0.50

-0.75

С

D

Е

F

А

В

С

D

Е

Рис. 4. Пример бифуркации лиувиллевых торов, реконструированной по Н 1 = const при а = —2

F

С топологической точки зрения наблюдаемые перестройки согласуются с общей классификацией перестроек торов Лиувилля как в случае устойчивых (эллиптических) особенностей, так и в случае неустойчивых (гиперболических) особенностей. Для того чтобы вер-нутвся к визуализации перестроек торов Лиувилля в полной системе, достаточно рассмотреть одномерные слои слоения Лиувилля редуцированной системы (рис. 3, 4) и умножить их декартово произведение на окружность S1, соответствующей эволюции редуцированной переменной.

6.    Замечания об устойчивости

Хотя основной акцент сделан на топологическом анализе, численные результаты позволяют качественно судить об устойчивости соответствующих режимов. Окрестности эллиптических периодических орбит заполнены семействами устойчивых торов, тогда как бифуркации седлового типа сопровождаются появлением сепаратрисных структур и высокой чувствительностью к вариациям параметров. Полное аналитическое исследование устойчивости выходит за рамки настоящей работы, однако численная картина ясно выделяет устойчивые и неустойчивые критические режимы.

7.    Заключение

В работе рассмотрены явные формулы интегрируемой вихревой модели двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате, заключенном в осесимметричное поле. Описаны явные редукции по симметрии в системах с вихрями противоположных знаков и одинаковых знаков. Представлен алгоритм и рассмотрена его реализация для визуального исследования перестроек торов Лиувилля в указанных выше случаях. Визуализация уровней приведенного гамильтониана Hi(u,v; f ) позволяет геометрически интерпретировать перестройки лиувиллевых торов и с их помощью исследовать локальные окрестности сингулярных слоев слоения Лиувилля в полной системе. Это дает возможность указать количество компонент связности слоения Лиувилля в прообразе отображения момента исходной системы, что, в свою очередь, упрощает построение бифуркационной диаграммы отображения момента изучаемой интегрируемой гамильтоновой системы. Предложенная схема естественным образом переносится на другие интегрируемые задачи вихревой динамики и гамильтоновы динамические системы, обладающие симметриями.