Численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем
Автор: Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н.
Статья в выпуске: 1, 2017 года.
Бесплатный доступ
В работе проведено численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе бесконечно длинной трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем. Предполагается, что в правом торцевом сечении несущие слои жестко защемлены и отсутствует адгезионное соединение заполнителя с опорным элементом, в левом торцевом сечении несущие слои шарнирно оперты на абсолютно жесткие в поперечном направлении диафрагмы, склеенной с торцевым сечением заполнителя. Задача рассматривается в одномерной геометрически нелинейной постановке. Предполагается, что зависимость между касательным напряжением и деформацией поперечного сдвига соответствует идеальной упругопластической модели, т.е. модули касательных напряжений в заполнителе не превосходят некоторого предельного значения. Это условие означает недопущение разрушения конструкции и соответствует учету физической нелинейности в заполнителе по модели идеальной упругопластической модели. Обобщенная постановка сформулирована в виде задачи поиска седловой точки некоторого обобщенного функционала Лагранжа. Исследованы свойства функционала. Доказана выпуклость, полунепрерывность снизу и коэрцитивность по основным переменным (перемещениям точек срединных поверхностей несущих слоев), вогнутость, полунепрерывность сверху и антикоэрцитивность по множителям Лагранжа (касательным напряжениям в заполнителе). Это дало возможность при доказательстве теоремы существования и единственности использовать общую теорию существования седловых точек. Для решения задачи предложен двухслойный итерационный метод типа Удзавы, каждый шаг которого сводится к решению линейной задачи теории упругости и нахождению проекции на выпуклое замкнутое множество. Установлена сходимость метода. С помощью разработанного в среде MatLab комплекса программ проведены численные эксперименты для модельной задачи. Проведен анализ полученных результатов. Результаты численных экспериментов соответствуют физической картине.
Математическое моделирование, трехслойная пластина, трансверсально-мягкий заполнитель, физически нелинейная задача, обобщенная постановка, теорема разрешимости, теорема сходимости, итерационный метод, численный эксперимент
Короткий адрес: https://sciup.org/146211665
IDR: 146211665 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2017.1.03
Numerical investigation of a physically nonlinear problem of the longitudinal bending of the sandwich plate with a transversal-soft core
In this paper, a numerical investigation of a physically nonlinear problem of the longitudinal bending of an infinitely long sandwich plate with a transversal-soft core is carried out. We assume that in the right face section the edges of the carrier layers are clamped and there is no adhesive joint of the core with the support element, in the left face section the edges of the carrier layers of the plates are hinge supported on a completely rigid in the transverse direction diaphragms, glued with the end section of the core. The problem is considered in the one-dimensional geometrically nonlinear statement. It is assumed that the relationship between the tangential stress and strain shear corresponds to the ideal elastic-plastic models, i.e., the tangential stress modules in the core do not exceed a certain limiting value. This condition means the prevention of the structural failure and corresponds to an account of the physical nonlinearity in the core material by the ideal elastic-plastic model. The generalized statement is formulated as a problem of finding a saddle point of the Lagrange generalized functional. Lagrange functional properties are investigated. Its convexity, lower semicontinuity and coercivity on the basic variables (displacements of the points of the middle surface of the carrier layers), the concavity, upper semicontinuity and anti-coercivity on the Lagrange multipliers (tangential stresses in the core) are established. It made it possible to use the general theory of the existence of saddle points to prove the existence and uniqueness theorem. To solve the problem the two-layer iterative Uzawa method is proposed, each step of which is reduced to the solving of the linear elasticity problem and finding the projection onto the convex closed set. We have established the convergence of the method. By using the software package developed in Matlab environment, the numerical experiments for a model problem have been carried out. The analysis of the results is made. The numerical results correspond to the physical picture.
Список литературы Численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем
- Композиционные материалы: справочник/В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин ; под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. -М.: Машиностроение, 1990. -512 с.
- Öchsner A., Da Silva L.F.M., Altenbach H. Mechanics and Properties of Composed Materials and Structures. -Berlin: Springer-Verlag, 2012. -195 p.
- Vasiliev V.V., Morozov E. Advanced Mechanics of Composite Materials and Structural Elements. -Elsevier, 2013. -816 p.
- Advanced Materials: Physics, Mechanics and Applications/Eds. S-H. Chang, I. Parinov, V.Y. Topolov. -Springer Cham Heidelberg New York Dordrecht London, 2014. -XVIII. -380 p.
- Gibson R.F. Principles of Composite Material Mechanics. -Taylor&Francis Group, LLC, 2015. -815 p.
- Sause M.G.R. In Situ Monitoring of Fiber-Reinforced Composites. Theory, Basic Concepts, Methods, and Applications. -Springer International Publishing, 2016. -633 p.
- Reissner E. Finite deflections of sandwich plates//Journal of Aeronautical Science. -1948. -Vol. 15. -No. 7. -P. 435-440.
- Крысин В.Н. Слоистые клееные конструкции в самолётостроении. -М.: Машиностроение, 1980. -232 с.
- Старовойтов Э.И. Вязкоупругопластические слоистые пластины и оболочки/Белорус. гос. ун-т. -Гомель, 2002. -343 с.
- Frostig Y. Elastica of sandwich panels with a transversely flexible core -A high-order theory approach//International Journal of Solids and Structures. -2009. -Vol. 46. -P. 2043-2059 DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2008.05.007
- Сухинин С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек. -М.: Физматлит, 2010. -248 с.
- Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория многослойных упругих пластин -М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2014. -32 c.
- Прохоров Б.Ф., Кобелев В.Н. Трехслойные конструкции в судостроении. -Л.: Судостроение, 1972. -344 с.
- Plantema F.J. Sandwich Construction. -New York: John Wiley, 1966.
- Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. -М.: Машиностроение, 1973. -172 с.
- Noor A.K., Burton W.S., Bert Ch.W. Computational models for sandwich panels and shells//Applied Mechanics Reviews. -1996. -Vol. 49. -No. 13. -P. 155-199.
- Hohe J., Librescu L. A Nonlinear Sandwich Shell Theory Accounting for Transverse Core Compressibility//PAMM, the Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. -2003. -Vol. 2. -P. 158-159 DOI: org/10.1002/pamm.200310064
- Rahmani O., Lashkari M.J. Bending analysis of sandwich plates with composite face sheets and compliance functionally graded syntactic foam core//Journal of Mechanical Engineering Science. -2015. -Vol. 1. -No. 1. -P. 1-24 DOI: 10.1177/0954406215616417
- Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. On the interaction of composite plate having a vibration-absorbing covering with incident acoustic wave//Russian Mathematics. -2015. -Vol. 59. -No. 3. -P. 66-71 DOI: 10.3103/S1066369X1503007X
- Liang Y., Izzuddin B.A. Large displacement analysis of sandwich plates and shells with symmetric/asymmetric lamination//Computers & Structures. -2016. -No. 1. -P. 11-32.
- Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Contact Statement of Mechanical Problems of Reinforced on a Contour Sandwich Plates with Transversally-Soft Core//Russian Mathematics. -2017. -Vol. 61. -No. 1. -P. 69-75 DOI: 10.3103/S1066369X1701008X
- Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. -375 с.
- Ekeland I., Temam R. Convex Analysis and Variational Problems. -Amsterdam: North-Holland, 1976. -402 p.
- Lions J.L. Quelque problèmes méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires. -Paris: Dunod, 1969. -554 p
- Gajewskii H., Gröger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operator differential gleichungen. -Berlin: Akademie-Verlag, 1974. -281 p.
- Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. -М: Наука, 1972. -416 с.
- Bank R.E., Welfert B.D., Yserentant H. A class of iterative methods for solving saddle point problems//Numerische Mathematik. -1989. -Vol. 56. -No. 7. -P. 645-666 DOI: 10.1007/BF01405194
- Badriev, I.B., Karchevskii, M.M. Convergence of the iterative Uzawa method for the solution of the stationary problem of seepage theory with a limit gradient//Journal of Soviet Mathematics. -1989. -Vol. 45. -No. 4. -P. 1302-1309 DOI: 10.1007/bf01097083
- Bramble J.H., Pasciak J.E., Vassilev A.T. Analysis of the inexact Uzawa algorithm for saddle point problems//SIAM Journal on Numerical Analysis. -1997. -Vol. 34. -No. 3. -P. 1072-1092.
- Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle point problems: A unified approach//Mathematics of Computation. -2002. -Vol. 71. -No. 238. -P. 479-505 DOI: 10.1090/S0025-5718-01-01324-2
- Gräser C., Kornhuber R. On Preconditioned Uzawa-type Iterations for a Saddle Point Problem with Inequality Constraints//Lecture Notes in Computational Science and Engineering. -2007. -Vol. 55. -P. 91-102.
- Lapin A.V. Preconditioned Uzawa-Type Methods for Finite-Dimensional Constrained Saddle Point problems//Lobachevskii Journal of Mathematics. -2010. -Vol. 31. -No. 4. -P. 309-322. DOI 10.1134/s1995080210040013
- Muravleva L. Uzawa-like methods for numerical modeling of unsteady viscoplastic Bingham medium flows//Applied Numerical Mathematics. -2015. -Vol. 93. -P. 140-149 DOI: 10.1016/j.apnum.2014.06.001
- Solving Physically Nonlinear Equilibrium Problems for Sandwich Plates with a Transversally Soft Core/I.B. Badriev, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, V.N. Paimushin, R.F. Khabibullin//Lobachevskii Journal of Mathematics. -2015. -Vol. 36. -No. 4. -P. 474-481 DOI: 10.1134/S1995080215040216
- On the solvability of geometrically nonlinear problem of sandwich plate theory/I.B. Badriev, V.V. Banderov, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, R.R. Shagidullin//Applied Mathematical Sciences. -2015. -Vol. 9. -No. 81-84. -P. 4095-4102.
- Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Numerical Investigation of Physically Nonlinear Problem of Sandwich Plate Bending//Procedia Engineering. -2016. -Vol. 150. -P. 1050-1055 DOI: 10.1016/j.proeng.2016.07.213
- Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Approximate solution of a three-dimensional problem of elastic diffusion in an orthotropic layer//Journal of Mathematical Sciences (United States). -2014. -Vol. 203. -No. 2. -P. 221-238 DOI: 10.1007/s10958-014-2103-9
- Berezhnoi D.V., Sachenkov A.A., Sagdatullin M.K. Geometrically nonlinear deformation elastoplastic soil//Applied Mathematical Sciences. -2014. -Vol. 8. -No. 125-128. -P. 6341-6348 DOI: 10.12988/ams.2014.48672
- Berezhnoi D.V., Sachenkov A.A., Sagdatullin M.K. Research of interaction of the deformable designs located in the soil//Applied Mathematical Sciences. -2014. -Vol. 8. -No. 141-144. -P. 7107-7115 DOI: 10.12988/ams.2014.49706
- Investigation of Strain of Solids for Incompressible Materials/A.I. Abdrakhmanova, I.R.Gariffulin, R.L. Davydov, L.U. Sultanov, L.R. Fakhrutdinov//Applied Mathematical Sciences. -2015. -Vol. 9. -No. 118. -P. 5907-5914 DOI: 10.12988/ams.2015.57507
- Davydov R.L., Sultanov L.U. Numerical Algorithm for Investigating Large Elasto-Plastic Deformations//Journal of Engineering Physics and Thermophysics. -2015. -Vol. 88. -No. 5. -P. 1280-1288 DOI: 10.1007/s10891-015-1310-7
- Davydov R.L., Sultanov L.U., Kharzhavina V.S. Elastoplastic model of deformation of three-dimensional bodies in terms of large strains//Global Journal of Pure and Applied Mathematics. -2015. -Vol. 11. -No. 6. -P. 5099-5108.
- Abdrakhmanova A.I., Sultanov L.U. Numerical modelling of deformation of hyperelastic incompressible solids//Materials Physics and Mechanics. -2016. -Vol. 26. -No. 1. -P. 30-32.
- Badriev I.B., Banderov V.V., Zadvornov O.A. On the Equilibrium Problem of a Soft Network Shell in the Presence of Several Point Loads//Applied Mechanics and Materials. -2013. -Vol. 392. -P. 188-190 DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMM.392.188
- Badriev I.B., Banderov V.V., Zadvornov O.A. On the solving of equilibrium problem for the soft network shell with a load concentrated at the point//PNRPU Mechanics Bulletin. -2013. -No. 3. -P. 17-35.
- Determination of stress-strain state of geometrically nonlinear sandwich plate/I.B. Badriev, V.V. Banderov, M.V. Makarov, V.N. Paimushin//Applied Mathematical Sciences. -2015. -Vol. 9. -No. 77-80. -P. 3887-3895.
- Numerical Solution of the Issue about Geometrically Nonlinear Behavior of Sandwich Plate with Transversal Soft Filler/I.B. Badriev, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, V.N. Paymushin//Research Journal of Applied Sciences. -2015. -Vol. 10. -No. 8. -P. 428-435 DOI: 10.3923/rjasci.2015.428.435
- Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Mathematical Simulation of Nonlinear Problem of Three-point Composite Sample Bending Test//Procedia Engineering. -2016. -Vol. 150. -P. 1056-1062 DOI: 10.1016/j.proeng.2016.07.214
- Paimushin V.N., Bobrov S.N. Refined geometric nonlinear theory of sandwich shells with a transversely soft core of medium thickness for investigation of mixed buckling forms//Mechanics of Composite Materials. -2000. -Vol. 36. -No. 1. -P. 59-66.
- Adams R.A. Sobolev Spaces. -New York, San Francisco, London: Academic Press, 1975. -286 p.
- Glowinski R., Lions J.-L., Tremolieres R. Analyse nume'rique des ine'quations variationnelles. -Paris: Dunod, 1976.
- Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Numerical Solution of Boundary-Value Problems. -Amsterdam: North-Holland, 1983. -340 p.
- Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings//Bulletin of the American Mathematical Society. -1967. -Vol. 73. -No. 4. -P. 591-597.
- Kinderlehrer D., Stampaccia G. An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications. -New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco: Academic Press, 1980.
