Численное решение обратной задачи определения объемной теплоемкости породного массива в процессе искусственного замораживания
Автор: Желнин М.С., Плехов О.А., Семин М.А., Левин Л.Ю.
Статья в выпуске: 4, 2017 года.
Бесплатный доступ
Статья посвящена разработке, реализации и сравнительному анализу эффективности двух алгоритмов численного решения коэффициентной обратной задачи Стефана, возникающей при моделировании процесса формирования ледопородного ограждения вокруг проектируемого сечения вертикального шахтного ствола. Образование ледопородного ограждения происходит в результате искусственного замораживания грунтовых вод, содержащихся в породном массиве. Моделирование распределения температурного поля в породном массиве основывается на двумерной задаче Стефана в энтальпийной постановке. Целью работы является определение объемной теплоемкости слоя породного массива по данным изменения температуры от времени в нескольких термических скважинах. Задача определения неизвестных теплофизических параметров формулируется в виде коэффициентной обратной задачи Стефана, записанной в вариационной постановке. В результате исследования было разработано два алгоритма численного решения коэффициентной обратной задачи Стефана. Первый алгоритм основан на итеративном методе оптимизации сопряженных градиентов, второй - на итеративном методе оптимизации наискорейшего спуска. В первом алгоритме расчет градиента функционала невязки и определение параметров метода оптимизации происходит путем решения задачи в приращениях температуры и сопряженной задачи. Во втором алгоритме для расчета градиента функционала и параметров метода наискорейшего спуска используются коэффициенты чувствительности. Решение прямой задачи, задачи в приращениях температуры и сопряженной задачи выполняется методом конечных элементов. Особенность методов оптимизации, используемых в предложенных алгоритмах, заключается в том, что они обладают регуляризующими свойствами. Сравнение эффективности предложенных алгоритмов проводилось при решении обратной коэффициентной задачи Стефана, заключающейся либо в определении объемной теплоемкости для зоны льда или зоны охлаждения, либо в определении объемных теплоемкостей для обеих зон. Полученные результаты свидетельствуют о том, что оба алгоритма позволяют получить решения поставленной коэффициентной обратной задачи Стефана с достаточно хорошим уровнем точности. Однако скорость сходимости второго алгоритма выше, чем первого. Представленный подход к моделированию процесса формирования ледопородного ограждения как коэффициентной обратной задачи Стефана и разработанные алгоритмы могут быть использованы для проектирования и уточнения исходных данных при строительстве вертикальных шахтных стволов с использованием технологии искусственного замораживания.
Искусственное замораживание грунтов, обратная задача стефана, метод сопряженных градиентов, метод наискорейшего спуска, итеративная регуляризация, численное моделирование
Короткий адрес: https://sciup.org/146211707
IDR: 146211707 | УДК: 622.253.35:519.6 | DOI: 10.15593/perm.mech/2017.4.05
Numerical solution for an inverse problem about determination of volumetric heat capacity of rock mass during artificial freezing
The paper is devoted to development and implementation of algorithms for a numerical solution of a coefficient inverse Stefan problem. This problem arises in a modeling for a process of ice wall formation around a projected horizontal section of a mine shaft. The ice wall is formed by an artificial ground freezing to convert soil pore water into ice. The temperature field modeling is based on an enthalpy form of a two-dimensional Stefan problem. The aim of the study is to determine the volumetric heat capacity for the rock layer on the base of additional information about temperature evolution in thermal wells. The problem of coefficients' identification is stated as a variation form of the coefficient inverse Stefan problem. As a result, two algorithms for a numerical solution of the stated inverse Stefan problem have been developed. The first algorithm is based on the conjugate gradient iterative optimization method. The second algorithm is based on the steepest descent iterative optimization method. Under the first algorithm the calculation of the discrepancy functional gradient and determination of parameters for the optimization method are performed by solving a sensitivity problem and an adjoint problem. Forms of these problems have been obtained for the stated direct Stefan problem. For the second algorithm the discrepancy functional gradient and parameters for the descent step method are determined by calculating sensitivity coefficients. Solutions of the direct problem, the sensitivity problem and the adjoint problem are performed by the finite element method. The special feature of the used optimization methods is that these methods have regularizing properties. In order to verify effectiveness of the proposed algorithms, the computational experiments have been performed. The first and second experiments are related to determining only one unknown volumetric heat capacity for an ice domain or a cooling domain. The third experiment is devoted to determining the volumetric heat capacity for the both domains. The results of the experiments show that both algorithms allow to determine the volumetric heat capacity with a sufficiently good accuracy. However, a convergence rate of the second algorithm is higher than the rate of the first algorithm. The presented approach to modeling the process of ice wall formation as the coefficient inverse Stefan problem and the developed algorithms can be used for designing and improving the initial data for building mine shafts with a technology of artificial ground freezing.
Список литературы Численное решение обратной задачи определения объемной теплоемкости породного массива в процессе искусственного замораживания
- Трупак Н.Г. Замораживание грунтов в подземном строительстве. -М.: Недра. -1974. -280 с.
- Трупак Н.Г. Замораживание пород при сооружении вертикальных стволов шахт. -М.: Недра, 1983. -170 с.
- Andersland O.B., Ladanyi B. Frozen ground engineering. -John Wiley & Sons, 2004. -352 p.
- Вабищевич П.Н., Васильева М.В., Павлова Н.В. Численное моделирование термостабилизации фильтрующих грунтов//Математическое моделирование. -2014. -Т. 26, № 9. -С. 111-125 DOI: 10.1134/S2070048215020106
- Математическое моделирование искусственного замораживания грунтов/П.Н. Вабищевич //Вычислительные технологии. -2014. -Т. 19, № 4. -С. 19-31.
- Амосов П.В., Лукичев С.В., Наговицын О.В. Влияние пористости породного массива и температуры хладоносителя на скорость создания сплошного ледопородного ограждения//Вестн. Кольск. науч. центра РАН. -2016. -№ 4 (27). -С. 43-50.
- Левин Л.Ю., Зайцев А.В., Семин М.А. Контроль теплового режима породного массива на основе применения оптоволоконных технологий мониторинга температур в скважинах//Горное эхо. -2016. -№ 1. -С. 35-37.
- Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -2-е изд. -М: Либроком, 2009. -782 с.
- Lewis R.W., Ravindran K. Finite element simulation of metal casting//International journal for numerical methods in engineering. -2000. -Vol. 47. -No. 1-3. -P. 29-59. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0207(20000110/30)47:1/33.0.CO;2-X
- Voller V.R., Swaminathan C.R., Thomas B.G. Fixed grid techniques for phase change problems: a review//International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1990. -Vol. 30. -No. 4. -P. 875-898 DOI: 10.1002/nme.1620300419
- Крылов Д.А., Сидняев Н.И., Федотов А.А. Математическое моделирование распределения температурных полей//Математическое моделирование. -2013. -Т. 25, № 7. -С. 3-27.
- Вакуленко И.С., Николаев П.В. Анализ и перспективы развития способа искусственного замораживания горных пород в подземном строительстве//Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). -2015. -№ 3. -С. 338-346.
- Zabaras N., Ruan Y., Richmond O. Design of two-dimensional Stefan processes with desired freezing front motions//Numerical Heat Transfer, Part B Fundamentals. -1992. -Vol. 21. -No. 3. -P. 307-325.
- Hematiyan M.R., Karami G. A boundary elements pseudo heat source method formulation for inverse analysis of solidification problems//Computational mechanics. -2003. -Vol. 31. -No. 3. -P. 262-271 DOI: 10.1007/s00466-003-0429-0
- Okamoto K., Li B.Q. A regularization method for the inverse design of solidification processes with natural convection//International journal of heat and mass transfer. -2007. -Vol. 50. -No. 21. -P. 4409-4423. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2006.10.019
- Voller V.R. Enthalpy method for inverse Stefan problems//Numerical Heat Transfer, Part B. Fundamentals. -1992. -Vol. 21. -No. 1. -P. 41-55.
- Xu R., Naterer G.F. Inverse method with heat and entropy transport in solidification processing of materials//Journal of Materials Processing Technology. -2001. -Vol. 112. -No. 1. -P. 98-108 DOI: 10.1016/S0924-0136(01)00556-8
- Khosravifard A., Hematiyan M.R., Wrobel L.C. Simultaneous control of solidus and liquidus lines in alloy solidification//Engineering Analysis with Boundary Elements. -2013. -Vol. 37. -No. 2. -Р. 211-224 DOI: 10.1016/j.enganabound.2012.10.001
- Zabaras N., Kang S. On the solution of an ill-posed design solidification problem using minimization techniques in finite-and infinite-dimensional function spaces//International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1993. -Vol. 36. -No. 23. -P. 3973-3990.
- Kang S., Zabaras N. Control of the freezing interface motion in two-dimensional solidification processes using the adjoint method//International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1995. -Vol. 38. -No. 1. -P. 63-80 DOI: 10.1002/nme.1620380105
- Hinze M., Ziegenbalg S. Optimal control of the free boundary in a two-phase Stefan problem//Journal of Computational Physics. -2007. -Vol. 223. -No. 2. -P. 657-684 DOI: 10.1016/j.jcp.2006.09.030
- Optimal operation of alloy material in solidification processes with inverse heat transfer/A.A. Nejad //International Communications in Heat and Mass Transfer. -2010. -Vol. 37. -No. 6. -P. 711-716. DOI: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2010.03.002
- Słota D. Identification of the cooling condition in 2-D and 3-D continuous casting processes//Numerical Heat Transfer. Part B: Fundamentals. -2009. -Vol. 55. -No. 2. -P. 155-176 DOI: 10.1080/10407790802605232
- Hetmaniok E., Słota D., Zielonka A. Experimental verification of immune recruitment mechanism and clonal selection algorithm applied for solving the inverse problems of pure metal solidification//International Communications in Heat and Mass Transfer. -2013. -Vol. 47. -P. 7-14. DOI: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2013.07.009
- Hetmaniok E., Słota D., Zielonka A. Using the swarm intelligence algorithms in solution of the two-dimensional inverse Stefan problem//Computers & Mathematics with Applications. -2015. -Vol. 69. -No. 4. -P. 347-361 DOI: 10.1016/j.camwa.2014.12.013
- Application of meshfree methods for solving the inverse one-dimensional Stefan problem/K. Rashedi //Engineering Analysis with Boundary Elements. -2014. -Vol. 40. -P. 1-21 DOI: 10.1016/j.enganabound.2013.10.013
- Johansson B.T., Lesnic D., Reeve T. A meshless method for an inverse two-phase one-dimensional linear Stefan problem//Inverse Problems in Science and Engineering. -2013. -Vol. 21. -No. 1. -P. 17-33 DOI: 10.1016/j.matcom.2014.03.004
- Johansson B.T., Lesnic D., Reeve T. A meshless regularization method for a two-dimensional two-phase linear inverse Stefan problem//Advances in Applied Mathematics and Mechanics. -2013. -Vol. 5. -No. 06. -P. 825-845 DOI: 10.1017/S2070073300001259
- Johansson B.T., Lesnic D., Reeve T. A meshless method for an inverse two-phase one-dimensional nonlinear Stefan problem//Mathematics and Computers in Simulation. -2014. -Vol. 101. -P. 61-77 DOI: 10.1016/j.matcom.2014.03.004
- Gol'dman N.L. Inverse Stefan Problems. -Springer Science & Business Media, 2012. -250 p.
- Гольдман Н.Л. Классы единственности решения двухфазных коэффициентных обратных задач Стефана//Доклады Академии наук. -2013. -Т. 449, № 5. -С. 507-512 DOI: 10.7868/S0869565213110066
- Hafid M., Lacroix M. An inverse heat transfer method for predicting the thermal characteristics of a molten material reactor//Applied Thermal Engineering. -2016. -Vol. 108. -P. 140-149 DOI: 10.1016/j.applthermaleng.2016.07.087
- Alifanov O.M. Inverse heat transfer problems. -Springer Science & Business Media, 2012. -348 p.
- Ozisik M.N. Inverse heat transfer: fundamentals and applications. -CRC Press, 2000. -330 p.
- Hasanov A., Pektaş B., Erdem A. Comparative analysis of inverse coefficient problems for parabolic equations. Part I: adjoint problem approach//Inverse Problems in Science and Engineering. -2011. -Vol. 19. -No. 5. -P. 599-615 DOI: 10.1080/17415977.2011.579605
- Самарский А.А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики: учеб. пособие. -2-е изд. -М., 2007. -478 с.
- Колесник С.А. Метод идентификации нелинейных компонентов тензора теплопроводности анизотропных материалов//Математическое моделирование. -2014. -Т. 26, № 2. -С. 119-132 DOI: 10.1134/S2070048214050044
- Mohebbi F., Sellier M. Estimation of thermal conductivity, heat transfer coefficient, and heat flux using a three dimensional inverse analysis//International Journal of Thermal Sciences. -2016. -Vol. 99. -P. 258-270 DOI: 10.1016/j.ijthermalsci.2015.09.002
- Gilyazov S.F., Gol'dman N.L. Regularization of ill-posed problems by iteration methods. -Springer Science & Business Media, 2013. -340 p.
