Численные методы оптимизации пластин, находящихся под действием локальной нагрузки

Широкое применение экстремальных задач оптимизации вызывает необходимость разработки надежных и эффективных методов их расчета.

В современной технике и строительстве широко используются тонкостенные элементы конструкций в виде пластин, обеспечивающие высокие прочностные показатели при достаточной технологичности. Одним из численных методов нелинейного программирования является двухступенчатый итерационный метод. Идея метода проста и весьма универсальна, незаменима для нахождения начальных, приближенных решений.

Расширение сферы применения тонкостенных элементов приводит к необходимости возможно более полного учета реальных свойств материалов и деформативности конструкций. Реальные условия эксплуатации требуют решения задач в упруго-пластической постановке, позволяющей определить истинный запас прочности и использовать этот резерв для решения проблемы снижения материалоемкости конструкций.

Рассматриваются задачи оптимизации пластин переменного сечения под действием локальной нагрузки. Локальные нагрузки представлены сосредоточенными силами, распределенными по малой площадке. Задача поиска оптимальной подкрепленной конструкции ставится как задача нелинейного математического программирования. Принимаются основные соотношения и допущения геометрически нелинейной теории оболочек

Для решения дважды нелинейной краевой задачи используется двухступенчатый итерационный метод, в основе которого лежит идея замены исходного оператора сложной структуры более простым с последующим итерационным процессом. С учетом принятой схемы дискретизации по пространственным переменным система разностных уравнений после исключения неизвестных в контурных и законтурных точках примет вид

Lhuh = fh ’ Lh = L1 h + L2 h , где uh = {u-, x, e QJ - вектор неизвестных размерности 3Nh, Nh - число узлов сеточной области Qh, Lh - квадратная матрица, L2h - разностный аналог нелинейной части уравнений, f – известный вектор [3].

Двухступенчатый метод решения системы имеет вид n+1       n                     n

B h ( ^u h ^{- u} h ) = -Y n ( ^L h ^u h

К ) , B h u = 0   B 2

B 3

u u2 u

B i =Л 1 ( E - T_mx )^{- 1}, B 2 =Л ₂ ( E - T_{m 2} )^{- 1}, B 3 =Л з ( E - T_{m з} )

где E – тождественный опеpатоp, T – опеpатоp сокращения погрешности за m итераций в методе переменных направлений при решении уравнения

Л k , _hZ k = q k , k = 1, 2,3.

Внутренние усилия и моменты используются для оптимизации сечений подкрепленных цилиндрических панелей.

Отмечены особенности влияния несимметрии в характере нагружения и граничных условиях на напряженно-деформированное состояние пластин. Интенсивность нагрузки выбиралась таким образом, чтобы главный вектор нагрузки был постоянен для всех схем локального нагружения и соответствовал равномерно распределенному по всей поверхности давлению. Локальное нагружение приводит к существенному изменению характера деформирования пластин.

Исследовано влияние граничных условий для всех рассмотренных схем закрепления на распределение пластических деформаций, найдены значения параметра нагружения, при котором возникают зоны пластичности, разгрузки, рассмотрены вопросы влияния условий закрепления на развитие зон пластичности и разгрузки. Установлено, что при появлении пластических деформаций влияние условий закрепления пластин на зависимость прогиба в центре от параметра нагрузки возрастает.

Численные алгоритмы входят в состав программного комплекса, сочетают простоту реализации с достаточно быстрой сходимостью, позволяют использовать их в инженерной практике. Реализация предложенного метода осуществлена в виде пакета прикладных программ, в котором учитывались следующие основные требования: наибольшая общность постановок задач из рассматриваемого класса, эффективность в отношении точности решения, экономичность по затратам машинного времени и использованию памяти, компактность и удобство в задании исходной информации, возможность расширения решаемого класса задач. В отдельном постпроцессорном модуле реализована функция визуализации полученных результатов.