Численный алгоритм решения полностью нелинейных параболических уравнений на основе прямых-обратных стохастических дифференциальных уравнений и нейронных сетей
Автор: Чубатов А.А.
Журнал: Известия Самарского научного центра Российской академии наук @izvestiya-ssc
Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление
Статья в выпуске: 4 т.26, 2024 года.
Бесплатный доступ
В статье рассматривается численный метод решения задачи Коши для полностью нелинейного параболического уравнения. Рассматриваемое уравнение сводится к системе квазилинейных параболических уравнений. Для этой системы построено вероятностное представление решения, основанное на решении системы прямого-обратного стохастических дифференциальных уравнений (ПОСДУ). Решение ПОСДУ сводится к решению оптимизационной задачи, которая численно решается с помощью нейронной сети. Рассмотрен пример применения данного метода для уравнения, описывающего цену оптимального портфеля на рынке Блэка-Шоулса. Численное решение было апробировано на специальных видах функции полезности, для которых существует точное решение.
Полностью нелинейные параболические уравнения, задача коши, стохастические дифференциальные уравнения (сду), задача оптимизации, глубокое обучение, нейронные сети для прямых-обратных стохастических дифференциальных уравнений
Короткий адрес: https://sciup.org/148330105
IDR: 148330105 | DOI: 10.37313/1990-5378-2024-26-4-161-169
Список литературы Численный алгоритм решения полностью нелинейных параболических уравнений на основе прямых-обратных стохастических дифференциальных уравнений и нейронных сетей
- Pardoux E., Peng S. Adapted solution of a backward stochastic differential equation // Systems Control Letters. 1990. V. 14. No. 1. Pp. 55–61.
- Pardoux E., Peng S. Backward stochastic differential equations and quasilinear parabolic partial differential equations // Lecture Notes in CIS. 1992. V. 176. Pp. 200–217.
- Second order backward stochastic differential equations and fully non-linear parabolic PDEs / P. Cheridito, H. M. Soner, N. Touzi, N. Victoir // Comm. Pure Appl. Math. 2007. V. 60. No. 7. Pp. 1081–1110.
- Belopolskaya Ya.I. and Woyczynski W.A. SDEs, FBSDEs and fully nonlinear parabolic systems // Rendiconti del Seminario Matematico Univ. Politec. Torino. 2013. V. 71. No. 2. Pp. 209–217.
- Belopolskaya Ya.I. Probabilistic counterparts of nonlinear parabolic PDE systems // Springer Optimization and Its Applications. 2014. Ch. In “Modern Stochastics and Applications”. Pp. 71–94.
- Belopolskaya Ya. Probabilistic interpretations of quasilinear parabolic equations // AMS. Contemporary Mathematics. 2019. V. 734. Pp. 39–56,
- Abraham R., Rivi ́ere O. Forward-backward stochastic differential equations and PDE with gradient dependent second order coeffi cients // ESAIM: Probability and Statistics. 2006. V. 10. Pp. 184-205.
- Ma J., Yong J. Forward-Backward stochastic differential equations and their applications. Springer. 2007. 270 p.
- Three algorithms for solving high-dimensional fullycoupled FBSDEs through deep learning / S. Ji, S. Peng, Y. Peng, X. Zhang // IEEE Intelligent Systems. 2020. V. 35. No. 3. Pp. 71–84.
- Hornik K., Stinchcombe M., White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators // Neural Networks. 1989. V. 2. No. 5. Pp. 359–366.
- Hornik K., Stinchcombe M., White H. Universal approximation of an unknown mapping and its derivatives using multilayer feedforward networks // Neural Networks. 1990. V. 3. No. 5. Pp. 551–560.
- E W., Han J., Jentzen A. Deep learning-based numerical methods for high-dimensional parabolic partial differential equations and backward stochastic differential equations // Communications in Mathematics and Statistics. 2017. V.5. No. 4. Pp. 349–380.
- Beck C., E W., Jentzen A. Machine learning approximation algorithms for high-dimensional fully nonlinear partial differential equations and secondorder backward stochastic differential equations // Journal of Nonlinear Science. 2019. V. 29. No. 4. Pp. 1563–1619.
- Pham H., Warin X., Germain M. Neural networksbased backward scheme for fully nonlinear PDEs // SN Partial Differ. Eq. Appl. 2021. V. 2. No. 16. Pp. 1–27.
- An overview on deep learning-based approximation methods for partial differential equations / C. Beck, M. Hutzenthaler, A. Jentzen, B. Kuckuck // Discrete and Continuous Dynamical Systems – B. 2023. V. 28. No. 6. Pp. 3697-3746.
- Raissi M. Forward-backward stochastic neural networks: Deep learning of high-dimensional partial differential equations // arXiv preprint arXiv:1804.07010 (2018). URL: https://arxiv.org/abs/1804.07010 (Available 1.06.2024).
- Goodfellow I., Bengio Y., Courville A. Deep learning. 2016. URL: http://www.deeplearningbook.org (Available 1.06.2024).
- M. Hutzenthaler, A. Jentzen, T. Kruse, T. Anh Nguyen, P. von Wurstemberger //Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear parabolic partial differential equations: Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Dec 2020. V. 476. No. 2244.
- Hutzenthaler M., Jentzen A., Kruse T. Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of parabolic partial differential equations with gradient-dependent nonlinearities // Foundations of Computational Mathematics. 2021. V. 22. Pp. 1–62.
- Belopolskaya Ya., Dalecky Yu. Stochastic equations and differential geometry. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1990. 260 p.
- Automatic differentiation in machine learning: a survey / A.G. Baydin, B.A. Pearlmutter, A.A. Radul, J.M. Siskind // arXiv preprint arXiv:1502.05767 (2015). URL: https://arxiv.org/abs/1502.05767 (Available 1.06.2024).
- Raissi M. FBSNN framework. 2018. URL: https://github.com/maziarraissi/FBSNNs (Available 1.06.2024).
- Zariphopoulou Th. Optimal Asset Allocation in a Stochastic Factor Model – An Overview and Open Problems //Adv. Financ. Model. Radon Ser. Comput. Appl. Math. 2009. V. 8. Pp. 1–29.
- Kingma D.P., Ba J. Adam: A Method for Stochastic Optimization // arXiv preprint arXiv:1412.6980 (2017). URL: https://arxiv.org/pdf/1412.6980 (Available 1.06.2024).
- Glorot X., Bengio Y. Understanding the diffi culty of training deep feedforward neural networks // Proceedings of the Thirteenth International Conference on Artifi cial Intelligence and Statistics. 2010. V. 9. Pp. 249–256.
Статья научная
