Численный алгоритм решения задачи Коши для двумерного полностью нелинейного параболического уравнения
Автор: А.А. Чубатов
Журнал: Известия Самарского научного центра Российской академии наук @izvestiya-ssc
Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление
Статья в выпуске: 5 т.27, 2025 года.
Бесплатный доступ
Статья является продолжением исследования, представленного в работе [1]. Рассматривается задача Коши для двумерного полностью нелинейного уравнения, возникающего в задаче оптимизации инвестиционного портфеля на рынке Хестона. Сначала исходное уравнение включается в систему квазилинейных параболических уравнений. Решение задачи Коши для этой системы сводится к стохастической формулировке в терминах прямого-обратного стохастических дифференциальных уравнений (ПОСДУ). Затем ПОСДУ преобразуется к задаче стохастического оптимального управления, которая решается с использованием нейронной сети. Предложенный численный алгоритм протестирован на примере, для которого удается получить квази-явное решение.
Полностью нелинейное параболическое уравнение, задача Коши, система квазилинейных параболических уравнений, прямое-обратное стохастические дифференциальные уравнения (ПОСДУ), задача стохастического оптимального управления, глубокое обучение, нейронные сети для прямых-обратных стохастических дифференциальных уравнений
Короткий адрес: https://sciup.org/148332423
IDR: 148332423 | УДК: 519.633.2 | DOI: 10.37313/1990-5378-2025-27-5-230-239
A Numerical Algorithm for Solving the Cauchy Problem for a Two-Dimensional Fully Nonlinear Parabolic Equation
The article continues the research presented in[1]. We solve the Cauchy problem for a two-dimensional fully nonlinear equation arising in the optimization of portfolio investments in the Heston market. First, the fully nonlinear equation is included in a system of quasilinear parabolic equations. The solution of the Cauchy problem for this system is reduced to a stochastic problem in terms of forward-backward stochastic differential equations (FBSDE). Next, the FBSDE is transformed into a stochastic optimal control problem. Finally, this problem is solved using a neural network approach. The proposed numerical algorithm was validated on an example for which it is possible to obtain a quasi-explicit solution.
