Численный метод управления динамикой вращательного движения мультироторного беспилотного летательного аппарата

Мультироторные беспилотные летательные аппараты (БЛА) благодаря простоте конструкции широко применяются в различных отраслях хозяйства для проведения мониторинга протяженных и сосредоточенных объектов, фото- и видеосъемки, картографирования, доставки небольших грузов, что предъявляет высокие требования к точности управления полетом в условиях воздействия возмущающих факторов. С точки зрения моделирования мультироторный БЛА является нелинейным объектом с перекрестными связями, управляемость которого зависит от полетной массы, характера движения и ряда других факторов. Для построения системы управления желательно, чтобы объект управления имел неизменные динамические характеристики, что в реальных условиях практически реализовать не представляется возможным. Данная статья направлена на разработку численного метода управления вращательным движением, обеспечивающим формирование заданных динамических характеристик по крену φ, тангажу θ, курсу ψ и реализацию движения мультироторного БЛА по траектории с ошибкой, не более заданной.

Состояние вопроса

Контроль мультироторного БЛА рассматривается как сочетание задач управления ориентацией и движением по заданной траектории. Ориентация описывается кинематическими уравнениями, которые являются автономными, что дает возможность рассматривать процесс управления ориентацией отдельно от задачи полета по траектории [1]. Для построения управления ориентацией мультироторных БЛА используются различные виды регуляторов. Наиболее распространены пропорционально-интегрально-дифференциальные (далее ПИД) регуляторы, простые в реализации, но требующие подстройки коэффициентов при изменении характеристик БЛА [2‒4]. В случае применения линейно-квадратичных регуляторов (LQR) успешно решаются задачи стабилизации в режиме зависания БЛА, однако качество управления снижается при внешних возмущениях, перекрестных связях и существенных нелинейностях объекта управления [5]. При использовании ПИД- и линейно-квадратичных регуляторов необходимо реализовать точную модель объекта управления, что в большинстве случаев является непреодолимым препятствием.

Одним из способов управления мультиро-торными БЛА в условиях воздействия внешних возмущающих факторов является применение скользящего режима ЅМС [6]. Его применение позволяет обеспечить качественное управление БЛА при отсутствии точной математической модели в условиях внешних возмущений. Основным недостатком метода ЅМС является использование релейных сигналов управления, которые в идеальном случае должны обеспечивать переключение регуляторов с бесконечной частотой, а для практической реализации управляющих воздействий необходимо обеспечить адаптацию частоты переключения к режимам полета БЛА [7; 8]. Кроме того, управление в скользящем режиме предполагает точное знание динамики БЛА.

Широкое применение в практической реализации методов стабилизации нелинейных объектов нашел алгоритм обратного обхода интегратора ‒ бэкстеппинг [9]. Возможность обеспечения приемлемого качества стабилизации движения муль-тироторного БЛА при неполном знании динамики объекта в условиях воздействия возмущающих факторов вызвало широкое применение бэкстеп-пинга при управлении мультироторными БЛА [10‒18]. Данный метод позволяет формировать требуемую динамику движения объекта управления [9]. Алгоритм обеспечивает слежение выхода объекта за входным сигналом с заданной точностью за конечное время. Измерению доступны только скалярные вход и выход объекта, но не их производные. Синтез алгоритма управления условно разбивается на r шагов, где r ‒ верхняя оценка относительной степени модели объекта управления. На каждом шаге синтезируется управление, которое стабилизирует каждую подсистему в модели объекта в окрестности нуля. На последнем шаге синтезируется основной закон управления, который обеспечивает слежение выходного сигнала объекта управления за входным сигналом. В общем случае бэкстеппинг требует использования виртуальных управляющих сигналов, включающих производные от управляющих воздействий. Для подсистемы управления ориентацией мультироторного БЛА источником входного сигнала в виде углов ф , 0 , v служит подсистема траекторного управления. Скорости изменения данных углов могут быть недоступны для отработки физической системой, и для качественного управления необходимо обеспечить их гладкость. Наиболее часто подобная задача решается различными методами фильтрации [19], которые не позволяют получать качественные сигналы виртуального управления и в конечном случае обеспечивать точность управления ориентацией мультироторного БЛА.

Постановка и решение задачи

Будем считать, что известны входные сигналы подсистемы траекторного управления в виде углов крена, тангажа и курса ( ф od , 0 d , v d )• Управление пространственной ориентацией реализуется методом бэкстеппинга. Формирование виртуального управления производится в опорной системе координат, для чего требуется следующее.

1. Разработать численный метод управления динамикой вращательного движения мультиро-торного БЛА по каналам крена, тангажа и курса

( ф d , 0 d , v d ), обеспечивающего гладкость траектории при ограничениях:

t <  t p    p max

Ф m ₁ п <|ф d | <Ф max^, 0 m,n <^ d | <0 max , |^ф d | <® x max , |⁰ d | <® y max , |^V d | <® _Z max , |^ф d | xmax, |⁰d| y max, |^Vd| _Zmax.

где t _{p max} - ограничение времени переходного процесса^; » „>, ^ф max , ^{0 0 -} предельные значения соответственно углов крена и тангажа; ф _max , 0 _max , v _max - максимальные программные значения скорости изменения углов крена, тангажа и курса соответственно; . max , Г 0 max , 8 max ^-максимальные значения угловых ускорений программных значений углов крена, тангажа и курса соответственно.

• 2.    Провести сравнение времени и качества переходного процесса, пиковой потребляемой мощности и энергии, затраченной на тестовый маневр мультироторного БЛА, управление ориентацией которого выполнено на основе бэкстеппинг ‒ контроллера [18] и разработанного численного метода.

• 3.    Провести оценку пикового, суммарного энергопотребления и времени переходного процесса в зависимости от изменения значений ф _max , •

• 4.    Исследовать факторы, влияющие на время переходного процесса при формировании управления вращательным движением БЛА.

⁰ max , ^V max , ^Г ф max , ^Г 0 max , ^B v max ^.

Для решения поставленной задачи воспользуемся функцией наведения в виде [20]

u = p + k p b ,

где u - сигнал управления; p - ошибка установки заданного значения угла; p - производная ошибки ycтановки заданного значения yгла; b , k ‒ положительные чиcла.

Управление вращательным движением cтро-итcя по cледyющемy алгоритмy. Вначале опреде-ляетcя ошибка отcлеживания заданного yгла:

o ф err (n) = ф d

^^^^^^^

^ф cont ( n )

^ф err ( n ) ^ф err ( n )

> 0 sgn = 1;

< 0 sgn = - 1;

где ф _cont ( _n ) - значение угла виртуального управления на шаге n ; ф d - значение угла, полученное от cиcтемы траекторного yправления.

Время (с)

б

Рисунок 1. Результаты моделирования при: а ‒ b = 0.3; б ‒ 0.5; в ‒ 0.7

в

б

Рисунок 2. Результаты моделирования при b = 0.8, 1.0, 1.2

Затем вычисляется управляющее значение угловой скорости:

Юcont(n) = ksgn (фerr(n) )Х b f sgn = 1 при фerr(n) > 0;         (2)

_ sgn = -1 пРи Фerr(n) < 0,

^Х ф err ( n )

при ограничении

|^Ю cont ( n )| <^Ю тах ,                      ⁽³⁾

где rn _max - максимальное значение угловой скорости.

После этого определяется значение угла виртуального управления:

t ₂

ф cont ( n ) = J ^Ю cont ( n ) dt .                  ⁽⁴⁾

t ₁

Вычисление (1)‒(4) происходит циклически, результаты вычислений на предыдущем шаге становятся исходными для следующего шага. Проведем исследование поведения функции (4) с целью определения приемлемых для практики значений b при к = 1.

Определим диапазон изменения b = 0.3, 0.5, 0.7, 0.8, 1.0, 1.2 при шаге интегрирования 0.01 сек. Исследуем изменение угловой скорости и углового ускорения в зависимости от ф err . Результаты моделирования изменений программного угла, угла виртуального управления, угловой скорости и ускорения представлены на рисунке 1 и 2.

При b = 0.3 происходит рост значения углового ускорения по мере уменьшения ф _err , при b = 0.5 значение углового ускорения является практически постоянным, но вблизи заданного значения угла ф d оно увеличивается, а при времени моделирования более 1.5 с наблюдается колебательный процесс (на рисунке 1, б колебательный процесс не показан). При значении b = 0.7 в окрестности заданного значения ф d возникают колебания величины углового ускорения, амплитуда которых уменьшается с ростом частоты дискретизации. Значение 0.8 <  b <  1 позволяет получить приемлемый переходной процесс с плавным уменьшением значения углового ускорения по мере приближения к заданному значению угла ф d . При значениях b = 1.0 и b = 1.2 наблюдается плавное уменьшение величины углового ускорения, но при этом происходит существенное увеличение времени переходного процесса (см. рисунок 2, б и в ).

Проведем моделирование виртуального управления (1)‒(4) по каналу крена в случае ступенчатого изменения заданного угла ф d . Зададим следующие параметры виртуального управления: rn _max = 2 рад/с, b = 0.8, к = 4. Результаты моделирования виртуального управления при ступенчатом изменении управляющего сигнала представлены на рисунке 3.

Недостатком данного вида управления является скачкообразное изменение угловой скорости

Рисунок 3. Результаты моделирования виртуального управления при ступенчатом изменении управляющего сигнала։ а ‒ ᴎзменение заданного (программного угла) и значения угла на выходе контроллера; б ‒ ᴎзменение угловой скорости; в ‒ ᴎзменение углового ускорения при формировании виртуального управления

а

Программная угловая скорость

б

Рисунок 4. Результаты моделирования виртуального управления при ступенчатом изменении управляющего сигнала։ а ‒ ᴎзменение заданного (программного угла) и значения угла на выходе контроллера; б ‒ ᴎзменение угловой скорости; в ‒ ᴎзменение углового ускорения при формировании виртуального управления

1     2     3     4     5     6     7

Время (с)

в

до максимального значения и, как следствие, пикового значения углового ускорения. Для ограничения углового ускорения введем релейный режим управления с ограниченным значением углового ускорения:

^Ю cont ( n )

_ юcont(n-1) -еdd при Юcont(n-1) > юd(n>; (5) Ю cont (n-1) +e ddt при Ю cont (n-1) <Ю d (n), где юd - программная угловая скорость; еd -программное значение углового ускорения.

Результаты моделирования виртуального управления, при значениях ю _тах _ 2 рад / с, е _d _ 10 рад / с ² и шаге интегрирования 0.01 сек в релейном режиме приведены на рисунке 4.

Недостатком рассмотренного способа является «дрожание» виртуального управления угловой скоростью (см. рисунок 4, б ), которое уменьшается с увеличением частоты дискретизации. Данный эффект приводит к появлению вибраций конструкции БЛА, излишнему нагреву бескол-лекторных двигателей и повышенному расходу энергии аккумуляторной батареи.

Для устранения указанных недостатков изменим функции контроллера таким образом, что- бы виртуальное управление имело минимальное число переключений при сохранении ограничения времени переходного процесса tp < tp max. Для этого введем переменную ‒ ошибку формирования угловой скорости:

Юerr(n) = Юcont(n) - Юd (n), условием переключения которой является |юerr(n)|

Юcont(n) =Юd , что обеспечивает плавность уменьшения углового ускорения при подходе к целевому значению угла. Результаты работы контроллера виртуального управления приведены на рисунке 5.

Результаты моделирования показывают, что число переключений существенно сократилось, обеспечивается формирование ограниченной по значению угловой скорости вращательного движения с заданными параметрами углового ускорения. Изменяя величины е_d, ю_тах, k, b при заданном времени дискретизации dt, можно изменять вид переходного процесса, обеспечивая при этом заданное качество виртуального сигна-

а                                  б                                  в

Рисунок 5. Результаты моделирования виртуального управления с переключением в режим плавного уменьшения величины углового ускорения: а ‒ отслеживание заданного угла; б ‒ изменения угловой скорости; в ‒ изменения углового ускорения

б

а

Рисунок 6. Результаты моделирования бэкстеппинг-контроллера управления ориентацией по крену: а ‒ отслеживание заданного угла; б ‒ потребляемой мощности; в ‒ угловой скорости

в

ла управления пространственной ориентацией. Канал управления по тангажу (0d) и курсу (v) строится аналогично, при формировании управления по углу курса необходимо ограничить значение -п < vd< п.

Τаким образом, разработанный численный метод позволяет задать ограничения на значение угловой скорости вращения, время переходного процесса. Кроме этого, для метода управления пространственной ориентацией БЛА в качестве первой производной сигнала управления может использоваться юcont, а вторая производная гарантированно ограничена значением e_max.

Пример

Для исследования характеристик предложенного метода формирования динамики вращательного движения мультироторного БЛА проведем моделирование работы бэкстеппинг-контроллера [17]. Моделирование мультироторного БЛА типа квадрокоптер полетной массой 5 кг осуществляется с использованием программно-аппаратного комплекса [21]. Время переходного процесса tp_maxне должно превышать 0.8 с.

Τребуется сравнить характеристики бэкстеп-пинг-контроллера с использованием разработанного метода формирования динамики квадрокоптера и без такового.

Рассмотрим вычисление управления по оси х:

Ux = b"⁽¹— cl + ^а1)e1 + ⁽cl + c2 )e2 —      (9)

V                         «

- с1а1х1 + фd - 0ya1 - 0a2Qr, где c1, c2, a1 - положительные константы.

Ошибки отслеживания заданных значений угла крена и угловой скорости определяются выражениями:

e = Фd "Ф,              (10)

e2 =^юxd^-юx.               ⁽¹¹⁾

Заданное значение угловой скорости вычисляется следующим образом:

ю xd = c1 e1 +Ф d +a1X1, X1 = e1.

Результаты моделирования бэкстеппинг-кон-троллера (10), в котором в качестве входного сигнала используется ступенчатое воздействие при значениях c₁= 10, c2 = 10, a₁= 0.5 [18], представлены на рисунке 6.

Применим к управлению (10) разработанный численный метод (1)‒(4) с условиями (5)‒(8), за-ме^няяв⁽¹¹⁾ф на- ....... „ф.,на™^c„,_м^из(2⁾.

Проведем моделирование работы бэкстеппинг контроллера при изменении параметров e_max,

Время (с)

б                                    в

Рисунок 7. Результаты моделирования бэкстеппинг-контроллера управления ориентацией по крену сприменениемчисленногометодапри smax = 10 рад/с², ®_max= 2 рад/с, к = 4, b = 0.8: а ‒ отслеживание заданного угла; б ‒ потребляемой мощности; в ‒ угловой скорости

б

Рисунок 8. Результаты моделирования бэкстеппинг-контроллера управления ориентацией по крену сприменениемчисленногометодапри s_max= 10 рад/с², ®_max= 2 рад/с, к = 4, b = 0.95: а ‒ отслеживание заданного угла; б ‒ потребляемой мощности; в ‒ угловой скорости

Время (с)                                                    Время (с)

а                                б

в

Рисунок 9. Результаты моделирования бэкстеппинг-контроллера управления ориентацией по крену сприменениемчисленногометодапри s_max= 15 рад/с², ®_max= 2 рад/с, к = 7, b = 0.8: а ‒ отслеживание заданного угла; б ‒ потребляемой мощности; в ‒ угловой скорости

Рисунок 10. Результаты моделирования бэкстеппинг-контроллера управления ориентацией по крену сприменениемчисленногометодапри s_max= 15 рад/с², ®_max= 3 рад/с, к = 7, b = 0.8: а ‒ отслеживание заданного угла; б ‒ потребляемой мощности; в ‒ угловой скорости

б

Рисунок 11. Результаты моделирования бэкстеппинг-контроллера управления ориентацией по крену сприменениемчисленногометодапри S_max= 12 рад/с², ©max = 2 рад/с, к = 5, b = 0.85: а ‒ отслеживание заданного угла; б ‒ потребляемой мощности; в ‒ угловой скорости

в

Таблица. Сводная таблица результатов моделирования бэкстеппинг-контроллера

№	Параметры виртуального управления	Пиковая мощность Р , Вт max ,	Израсходованная энергия Ps , Вт/ч	Время переходного процесса tp, c
1	Без использования виртуального управления [18]	1370	1.025	0.6
2	Smax =10рад/с2, к = 4, ©max = 2 рад/с, b = 0.8	1032	0.9815	0.8
3	Smax = 10 рад/с2, к = 4, ©max= 2 рад/с, b = 0.95	1025	0.9744	1.2
4	Smax = 15 рад/с2, к = 7, ©max = 2 рад/с, b = 0.8	1047	0.9869	0.53
5	Smax = 15 рад/с2, к = 7, ©max = 3 рад/с, b = 0.8	1049	0.9938	0.5
6	Smax = 12 рад/с2, к = 5, ©max= 2 рад/с, b = 0.85	1039	0.9844	0.7

Результаты моделирования реакции управления (9) на ступенчатое воздействие приведены на рисунках 7‒11. Значения израсходованной на маневр энергии, пиковое значение мощности и время переходного процесса обозначены в таблице.