Чувствительность функционала эффективности процесса биологической очистки сточных вод к параметрам модели динамики концентраций биогенов

Автор: Жменя Евгения Сергеевна, Бузало Наталья Сергеевна

Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu

Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление

Статья в выпуске: 1 т.18, 2018 года.

Бесплатный доступ

Введение. Статья посвящена вопросу анализа чувствительности функционала качества воды к параметрам модели искусственной водной экосистемы биологической очистки сточных вод, сформулированной в виде начально-краевой задачи для системы уравнений реакции-конвекции-диффузии, описывающей динамику биогенов. Использование многомерных нестационарных моделей водных экосистем с подробным описанием биохимических реакций осложняется большим числом параметров, значение которых необходимо получать экспериментально. Для упрощения процесса обеспечения данных была исследована чувствительность функционала качества очистки к параметрам модели. Материалы и методы. В работе проведён краткий обзор существующих методов оценки, на основе методов теории малых возмущений и сопряжённых уравнений сформулирован алгоритм исследования чувствительности функционала, характеризующего качество воды, к параметрам модели водной экосистемы. Результаты исследования. Получен алгоритм исследования чувствительности функционала к параметрам модели водной экосистемы. Приведён практический пример применения рассмотренного метода для задачи оптимального управления аэротенком-вытеснителем - элементом очистного сооружения для биологической очистки сточных вод. Обсуждение и заключения. На основе проведённого анализа выявлены наиболее и наименее значимые параметры математической модели искусственной водной экосистемы аэротенка-вытеснителя, являющейся составной частью задачи оптимального управления аэрацией. Применение разработанного алгоритма оценки чувствительности возможно и для других процессов, связанных с массопереносом реагирующих веществ, таких как решение обратных источниковых задач динамики и кинетики газовых примесей и аэрозолей в атмосфере, моделирование биологических процессов в живых организмах, управление процессами массопереноса в аппаратах химических технологий и т. д.

Еще

Анализ чувствительности, многопараметрическая модель, теория малых возмущений, сопряжённые уравнения, экосистема, очистка сточных вод, оптимизационная модель, управление экологическими системами, аэротенк-вытеснитель, функционал

Короткий адрес: https://sciup.org/142214936

IDR: 142214936   |   DOI: 10.23947/1992-5980-2018-18-1-85-91

Текст научной статьи Чувствительность функционала эффективности процесса биологической очистки сточных вод к параметрам модели динамики концентраций биогенов

Введение. Рассматривается задача оптимального управления процессом биологической очистки сточных вод на основе математической модели, описывающей динамику концентраций биогенов в очистном сооружении. При решении задач управления экологическими системами на основе сложных многомерных и нестационарных моделей с подробным описанием биохимических реакций возникают сложности, связанные с большим числом параметров, значение которых необходимо получать экспериментально [1]. Для упрощения процесса обеспечения входных данных многопараметрической модели авторами исследуется чувствительность выбранной значимой скалярной характеристики (функционала качества очистки сточных вод, формирующего ограничение на переменную состояния в задаче оптимального управления) к параметрам модели. Путём этого исследования параметры можно разделить на наиболее значимые, для определения которых рекомендовано проведение натурных экспериментов, и наименее значимые, значения которых могут быть взяты приближённо.

Наиболее простым способом оценки чувствительности функционала к изменениям параметров многопараметрической модели является метод стохастического анализа (как линейного, так и нелинейного) [2–4]. Кроме этого, возможно применить метод, основанный на теории малых возмущений и сопряжённых уравнений [2, 5–7]. С вычислительной точки зрения этот алгоритм имеет преимущества по сравнению с прямыми методами, так как вместо многократного решения уравнений для множества параметров модели при расчёте компонентов градиента функционала предполагается одноразовое решение прямой и сопряжённой задач и вычисление интегралов, характеризующих оценку влияния изменения параметров к функционалу.

Данный подход реализован авторами в настоящей работе. Применение алгоритма оценки чувствительности, сформулированного ниже, возможно для любых процессов, связанных с массопереносом реагирующих веществ, таких как решение обратных источниковых задач динамики и кинетики газовых примесей и аэрозолей в атмосфере, моделирование биологических процессов в живых организмах, управление процессами массопереноса в аппаратах химических технологий и т. д. Возможно применять данный подход и для других классов задач.

Описание метода и алгоритма. Рассматривается задача, описывающая распространение и массоперенос неконсервативных примесей, представляющая собой краевую задачу для полулинейной системы уравнений реак-ции-конвекции-диффузии:

д S — + д t

div (и • S )-AS = Q (S, X),

где S — вектор концентраций примесей, S = {Si-}, i = 1, M ; Q (S, X) — вектор-функция, описывающая источники и реакции между примесями; и — вектор скорости течения среды; X — вектор параметров X = {Xl}, l = 1, L, где

3 д I               д ... ]

L

число параметров; A — оператор диффузионного переноса:   A... = ^ — II k + kx )—I, где i=1 дxi (v -/ дxi)

( x 1 ,x 2 ,x3) ^ ( x , y , z ) — пространственные координаты, k + k x — сумма коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии (в направлении x i ) соответственно.

Пусть имеется некоторый интересующий нас функционал:

J = { Р, S), где знак {,) обозначает скалярное произведение в области Txfi (T: {te[t0, T]}, fi — пространственная расчётная область), т. е. (г, h = J r (x) h (x)dfidt, здесь r(x), h(x) — некоторые произвольные функции, заданные в обла-Txfi сти Txfi; р = {pi} — вектор функция, i-й элемент которой равен 1 в значимых по веществу i зонах fii и равен 0 в остальной области, т. е.:

  • 1    при x e fi i x T , 0 при x й fi i x T .


Вдали от точек бифуркации решения системы (1) малые изменения параметров порождают возмущённую задачу, решение которой можно представить в виде ряда:

, l д S ( t , Х )

S (t, Х) = S (t, х) + £          5Х(1), где дХ(1) — вариации параметров, дХ = Х-Х = {дХ( 1)}.

Функция чувствительности по l- му параметру

д S ( t , х ) дХ ( 11

, является решением системы уравнений модели

( t , х ) :

(1), линеаризованной относительно невозмущённой траектории S = S

, , =х =х дs (t, х) ^(s(t,х),Х^   '    ' =-Q .

дХ ( 1 1       дХ ( 11

Оператор

.        * ГдQ/ ■

+ div -Л- % S

задаёт систему уравнений линейного приближения, где запись [ ] обозначает матрицы частных производных правой части системы. Первая вариация функционала определяется по формуле:

3J1 =(5S, р) = (®,5Q), I = i^L,                                              (4)

где ю — решение задачи с оператором A , сопряжённым к A .

Определение вариации функционала (4) в рамках прямого подхода предполагает расчёт функций чувствительности, а для многопараметрической модели — многократное решение начальной задачи для системы уравнений (3). Использование решения сопряжённой задачи A* позволяет вместо многократного решения уравнений линейного приближения для множества параметров основной задачи при расчёте компонентов градиента функционала J реализовать подход, который предполагает одноразовое решение прямой и сопряжённой задачи и нахождения скалярного произведения:

д J

дХ 1

д Q

Ю,--т дх( 11

1 = 1, L .

Алгоритм оценки чувствительности функционала к изменениям параметров моделей при помощи теории малых возмущений и сопряжённых уравнений предполагает выполнение следующих этапов:

  • 1.    линеаризация полулинейной системы уравнений реакции-конвекции-диффузии (1);

  • 2.    формулировка задачи, сопряжённой к линеаризованной;

  • 3.    нахождение решения прямых и сопряжённых задач;

  • 4.    вычисление скалярного произведения (5) для каждого параметра Х 1 , 1 = 1, L ;

  • 5.    оценка полученных компонент градиента функционала. Чем больше соответствующая компонента, тем большее влияние оказывает изменение параметра Х 1 на функционал.

    Информатика, вычислительная техника и управление


Постановка задачи управления биологической очисткой сточных вод и результаты численных экспериментов. Определим влияние вариации различных параметров модели экосистемы аэротенка-вытеснителя на функционал, характеризующий эффективность процесса очистки сточных вод от загрязняющих веществ. Под аэротенком-вытеснителем здесь понимается элемент очистного сооружения, в котором воды, загрязнённые аммонийным азотом ( N ), являющимся наиболее опасным для организма человека веществом, смешиваются с активным илом ( A ), а также аэрируются кислородом ( OX ), необходимым для протекания биохимических реакций. В ходе прохождения «смеси» по аэротенку происходит очищение сточных вод от загрязняющего вещества в процессе наращивания биомассы активного ила [8, 9]. Схема аэротенка-вытеснителя изобра-

Fig. 1. Scheme of aeration tank

Сформулируем задачу оптимального управления аэрацией элемента очистного сооружения.

Управлением является мощность источника кислорода F OX ( t ) . Функция цели задачи обеспечивает минимизацию затрат на поступление кислорода в водную систему аэротенка-вытеснителя в течении периода времени T:

T

/Е .Fox (t) dt ^ min, t 0

где Et — затраты, необходимые для подачи кислорода объёмом FOX (t) на единицу площади источника в мо- мент времени t = 10, T .

Переменными состояния задачи являются концентрации N, A и OX: —N,  —A, —OX . Оптимизационная модель включает в себя следующее ограничение на переменную состояния:

( p N ( x ) , SN SN , PDK ) 0 , x 5 Q ,

где SN PDK — предельно допустимая концентрация аммонийного азота; pN ( x ) — функция типа (2), характеризующая значимую область (соответствует зонам водозабора из сооружения).

Управление удовлетворяет ограничению на знак:

Fox (t )> 0, t=t^.

Решение задачи оптимизации должно удовлетворять краевой задаче, описывающей массоперенос и трансформацию неконсервативных примесей (уравнениям состояния):

^ + div (u ■ Sa )-AS a =

—Ф A A 2

- l A S A ,

^ + div (u ■ — n ) —ASN =5 N-a dt

d OX - + div ( u OX ) — A OX

H m S N у 2 KN + S N + -N- NN in

KN

K OX

S OX

A

OX

t = t 0, T , x eQ ,

----H m-N   2 - a , t = t 0 , T ,   x eQ , K, + - v + - N

NN in KN

H m OX

OX + OX

a , t = 1 0 , T , x eQ ;

d S.          .                 _ _      ——      _

= 0, i = { A , N , OX } , x edQ , t = t 0 , T , x £S OX ;

^ — - = OX k ox F ox ( t ) , t 1 0 , T , x . ^ OX ; d N

- i — -“ , i = { A,N , OX } , x eQ , t 1 0 .

В вышеприведенных уравнениях ц m — максимальная скорость роста активного ила; K i , i = { A, N , OX } — константы полунасыщения; Kl , i = { A, N , OX } — константы ингибирования роста активного ила; ф A — коэффициент внутривидовой конкуренции; lA — скорость отмирания; 5 N — скорость выделения аммонийного азота в процессе жизнедеятельности активного ила; kOX — коэффициент, равный отношению скорости растворения кислорода к коэффициенту диффузии в направлении нормали N . Задача состоит в оценке чувствительности функционала из ограничения (6) к параметрам модели.

Для реализации изложенного выше алгоритма необходимо сформулировать задачу нахождения вектора ю ( t ) = ( - A ( t ) , - N ( t ) , - O x ( t ) ) T , то есть сопряжённую к краевой задаче [10], являющейся линейным приближением к задаче (7)-(12).

Сопряжённая задача имеет вид:

d - A

d t

div - A + А S A

P m-N -2 K -OX^ "A-A lA K n + S n + S^ OX + OX

S A

з N

P m - N ----2 -- X K, , + SM + -N—

<г* J. I    p m S OX    I c*

S x / +         ---- S — 0,

N I                     I OX .

v K OX + S OX J

d S N

d t

div Sn + АSn —

P m S OX S A

P m - A

v

---I

Ц„ -n-ox-  1 + N m N OX A        in

K

nm ( K OX + S OX ) Km

----2

S N

IA

P -N-. 1 + —N " m N Ainm

KN

+---T

----2

S N

*

S

----2

S N

= P n ,

S A

( K ox + S ox )

---O ^ div - OX + А - o X d t

P m - N - A

P m - N - ox - A

K in ( K OX + S OX )

Km

-.,     /          ----- \2

"TZ in - ( K OX + S OX ) K

s a

P m - A    ,    P m - Ox - A

( K OX + - OX ) ( K OX + - OX )

*

SOX

0;

Информатика, вычислительная техника и управление

uNS * +    = 0, i = { A,N , OX } , x eSQ , t = t 0, T , x C^ox,

N I     NJ^                                            О             OX

S * = 0, i = { A, N , OX } , x eQ , t = 1 0.

В системе (13)-(17) S i , i = { A, N , OX } — среднее значение концентрации, полученное при решении системы (7)-(12) с невозмущёнными параметрами.

Далее определим чувствительность функционала из ограничения (6) к изменениям следующих параметров X l : K i , i = { N , OX } ; K™ ; 5 N ; 1 a ; ф A ; ц m . Результаты вычисления скалярных произведений (5) сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Table 1

Чувствительность функционала эффективности процесса биологической очистки

Efficiency functional sensitivity of biological purification

Коэффициенты

дJ/   7 = 17

/ЭХ l 1   1,7

Коэффициенты

d J/    z = 1 у

/ ЭХ l 1   1,7

K OX

1,75

1 a

-2,01

K n

0,96

Ф A

-1,69

ц m

0,87

5 N

-0,0001

in

K N

0,003

Обсуждение и заключения. Анализ чувствительности функционала показал, что параметры, характеризующие константу полунасыщения по кислороду ( KOX ), константу полунасыщения по аммонийному азоту ( K N ), максимальную скорость роста активного ила ( ц m ), скорость отмирания активного ила ( lA ) и коэффициент внутривидовой конкуренции ( ф A ) оказывают наибольшее влияние на вариацию функционала эффективности очистки сточных вод и их значения следует определять экспериментально. В тоже время изменения параметров, характеризующих константу ингибирования роста активного ила ( K N ) и скорость выделения аммонийного азота в процессе жизнедеятельности активного ила ( 5 N ) практически не влияют на изменение функционала, характеризующего эффективность очистки сточных вод, и, следовательно, при расчетах можно использовать средние значения этих параметров.

Список литературы Чувствительность функционала эффективности процесса биологической очистки сточных вод к параметрам модели динамики концентраций биогенов

  • Пахт, Е. В. Неопределённость при моделировании экосистемы озера/Е. В. Пахт, А. И. Абакумов//Математическая биология и биоинформатика. -2011. -Т. 6, № 1. -С. 102-114.
  • Марчук, Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты/Г. И. Марчук. -Москва: Наука, 1991. -304 с.
  • Абрамов, В. И. Об одном методе нелинейного анализа чувствительности математических моделей/В. И. Абрамов, А. П. Карташев, А. С. Рошаль//Вычислительная математика и математическая физика. -1986. -Т. 26, № 3. -С. 469-474.
  • Соболь, И. М. Об оценке чувствительности нелинейных математических моделей/И. М. Соболь//Математическое моделирование. -1990. -Т. 2, № 1. -С. 112-118.
  • Бочаров, Г. А. Прикладные проблемы математического моделирования в иммунологии/Г. А. Бочаров, Г. И. Марчук//Вычислительная математика и математическая физика. -2000. -Т. 40, № 12. -С. 1905-1920.
  • Управление моделями вирусных инфекций с запаздывающими переменными на основе оптимальных возмущений/Г. А. Бочаров -Москва: Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2017. -28 с.
  • Марчук, Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем/Г. И. Марчук. -Москва: Наука, 1992. -336 с.
  • Воронов, Ю. В. Водоотведение и очистка сточных вод/Ю. В. Воронов, С. В. Яковлев. -Москва: изд-во ассоциации строительных вузов, 2006. -704 с.
  • Жменя, Е. С. О математическом моделировании процессов удаления соединений азота и фосфора из водной среды/Е. С. Жменя, Н. С. Бузало//Новая наука: проблемы и перспективы. -2016. -№ 9-1. -С. 11-13.
  • Бочаров, Г. А. Математическое моделирование вирусных и бактериальных инфекций: дис.. докт. физ.-матем. наук/Г. А. Бочаров. -Москва: ИВМ РАН, 1995. -146 с.
Еще
Статья научная