Научные статьи \ Математика. Естественные науки \ Физика

Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 1. Упругость, термоупругость и пороупругость

Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 1. Упругость, термоупругость и пороупругость

Автор: Лычев С.А., Полянин А.Д., Левитин А.Л.

Журнал: Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика @vestnik-pnrpu-mechanics

Статья в выпуске: 2, 2015 года.

Бесплатный доступ

Статья посвящена развитию методов декомпозиции систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными, возникающих в механике сплошных сред, в частности, в теории упругости, термоупругости и пороупругости. Эти методы основаны на расщеплении систем связанных уравнений на несколько более простых независимых уравнений. Декомпозиция существенно упрощает качественное исследование и интерпретацию наиболее важных физических свойств связанных трехмерных уравнений, эффективно позволяя изучать их волновые и диссипативные свойства. Кроме того, декомпозиция в ряде случаев дает возможность находить точные аналитические решения соответствующих краевых и начально-краевых задач и существенно упрощает применение численных методов, позволяя использовать стандартные подпрограммы для более простых независимых уравнений и подсистем. В первой части статьи приведены различные системы уравнений, в том числе уравнения теории упругости в форме Tedone и в форме Beltrami-Donati-Michell, построены их динамические обобщения, даны различные формы уравнений классической и гиперболической термоупругости, уравнения пороупругости. Указан ряд фактов исторического характера, которые непосредственно связаны с рассматриваемыми в статье представлениями решений и слабо отражены в русскоязычной литературе. Приведены различные варианты декомпозиции и их обобщения. Подробно рассмотрены представления решений динамических систем уравнений, получаемых в результате тороидальной-полоидальной декомпозиции, декомпозиций типа Green-Lamé, Cauchy-Kovalevski-Somigliana, Naghdi-Hsu-Chandrasekharaiah, Teodorescu. Отдельно рассмотрены их аналоги для статических уравнений. Построено обобщение представления Савина на динамические уравнения упругости. Приведены представления в криволинейных координатах, в частности, представления Boussinesq, Timpe, Love, Michell, Muki. Даны библиографические ссылки на оригинальные работы.

Еще

Линейные системы уравнений с частными производными, декомпозиция, точные решения, деформируемое твердое тело, упругость, термоупругость, пороупругость, статика, динамика, связанные поля

Короткий адрес: https://sciup.org/146211564

IDR: 146211564   |   УДК: 538.3   |   DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.05

Decomposition of systems of equations for continuum mechanics 1. Elasticity, thermoelasticity, poroelasticity

The work is devoted to the development of decomposition methods for systems of linear partial differential equations that arise in continuum mechanics, in particular, in the theory of elasticity and thermoelasticity and poro-elasticity. These methods are based on the decomposition (splitting) of systems of coupled equations into several independent equations. The decomposition significantly simplifies the qualitative study and interpretation of the most important physical properties related to three-dimensional equations and allows an effective study of their wave and dissipative properties. Moreover in certain cases the decomposition makes it possible to find exact analytical solutions of the corresponding boundary and initial-boundary value problems, and greatly simplifies the application of numerical methods, allowing us to use the appropriate routines for simpler equations and independent subsystems. In the first part of the work various systems of equations, including equations of elasticity theory in the form of Tedone and in the form of Beltrami-Donati-Michell are given, their dynamic generalizations are proposed, and various forms of the equations of classical and hyperbolic thermoelasticity as well as the equations poroelasticity are described. A number of historical facts, which are directly related with the considered questions and weakly reflected in Russian literature,are presented. Various types of decomposition and their generalizations are described. The representation of solutions of dynamical systems of equations resulting from the toroidal-poloidal decomposition, as well as the decompositions of Green-Lamé, Cauchy-Kovalevski-Somigliana, Naghdi-Hsu-Chandrasekharaiah, and Teodorescu types are discussed in details. Special attention is given to their static analogues. A generalization of the representation of Savin for the dynamic equations of elasticity is obtained. The representations in curvilinear coordinates, in particular, the representations of Boussinesq, Timpe, Love, Michell, and Muki types are given. The bibliographical references to the original papers are listed.

Еще

Список литературы Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 1. Упругость, термоупругость и пороупругость

  • Green A.E. Zerna W. Theoretical Elasticity. -Dover Publications, 2002. -457 p.
  • Gurtin M.E. The Linear Theory of Elasticity. Handbuch der Physik (ed. S. Flügge). Vol. VI a/2//Mechanics of Solids II. Ed. C. Truesdell. -Springer, 1972. -295 p.
  • Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. -М.: Изд-во МГУ, 1990. -310 c.
  • Седов Л.И. Механика сплошной среды. -СПб.: Лань, 2004. -Т. 2. -560 с.
  • Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. -940 с.
  • Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир, 1975. -872 c.
  • Truesdell C., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. 3rd ed. -Springer, 2004. -602 p.
  • Truesdell C., Toupin R.A. The Classical Field Theories. Handbuch der Physik (ed. S. Flügge). Bd. III/1. -Springer, 1960. -P. 226-793.
  • Stokes G.G. On the dynamical theory of diffraction//Trans. Cambridge Phil. Soc. -1856. -Vol. 9. -P. 1-62.
  • Helmholtz Н. Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen//J. Reine und Angewandte Mathematik -1858. -Vol. 55. -P. 25-55.
  • Gibbs J.W. Vector analysis. -Yale Bicentennial Publications, 1901. -436 p.
  • Курант Р. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1964. -830 с.
  • Положий Г.Н. Уравнения математической физики. -М.: Высш. шк., 1964. -560 c.
  • Arfken G.B., Weber H.J. Mathematical Methods for Physicists. Sixth Edition. -Elsiver Academic Press, 2005. -1182 p.
  • Gurtin M.E. On Helmboltz's theorem and the completeness of the Papkovich-Neuber stress funaions for infinite domains//Arc. Rat. Mech. Anal. -1962. -Vol. 9. -No. 1. -P. 225-233.
  • Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. -М.: Гостехиздат,1953. -282 с.
  • Polyanin A.D., Zhurov A.I. Integration of linear and some model nonlinear equations of motion of incompressible fluids. Int. J. Non-Linear Mechanics. 2013. Vol. 49. P. 77-83.
  • Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Декомпозиция трехмерных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройда и их обобщений//Теоретические основы химической технологии. -2013. -Т. 47, № 4. -С. 386-394.
  • Липатов И.И., Полянин А.Д. Декомпозиция и точные решения уравнений вязкой слабосжимаемой баротропной жидкости//Доклады академии наук. -2013. -Т. 449, № 3. -C. 290-294.
  • Morino L. Helmholtz decomposition revised: Vorticity generation and trailing edge condition//Computational Mechanics. -1986. -Vol. 1. -P. 65-90.
  • Воинов О.В. Симметрии медленных движений и равновесий сплошных сред//ПММ, 2007. -Т. 71. -Вып. 5. -С. 788-793.
  • Backus G.E. A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos//Ann. Phys. -1958. -Vol.4. -P. 372-447.
  • Kaiser R. A Toroidal Magnetic Field Theorem//Commun. Math. Phys. -2009. -Vol. 290. -P. 633-649.
  • B. Sri Padmavati, T. Amaranath. Note on Decomposition of Solenoidal Fields//Applied Mathematics Letters. -2002. -Vol. 15, 803-805 pp.
  • Chadwick P., Trowbridge E.A. Elastic wave fields generated by scalar wave functions//Proc. Cambridge Phil. Soc. -1967. -Vol. 63. -P. 1177-1187.
  • Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. -М.: Наука, 1965. -427 с.
  • Lamé G. Lections sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides. -Paris: Bachelier, 1866. -384 p.
  • Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетическая механика кристаллических материалов//Известия РАН, МТТ. -2010. -№ 4. -C. 43-62.
  • Navier C.-L.-M.-H. Sur les lois de l'equilibre et du mouvement des corps solides elastiques//Bull. Soc. Philomath. -1821. -P. 177-181.
  • Cauchy A.-L. Sur les equations qui expriment les conditions d'equilibre ou les lois du mouvement interieur d'un corps solide, elastique ou non elastique//Ex. de Math. -1822. -Vol. 3. -P. 160-187.
  • Capecchi D., Ruta G., Trovalusci P. From classical to Voigt's molecular models in elasticity//Arch. Hist. Exact. Sci. -2009. -Vol. 64. -No. 5. -P. 525-558.
  • Darrigol O. Between Hydrodynamics and Elasticity Theory: The First Five Births of the Navier-Stokes Equation//Arch. Hist. Exact. Sci. -2002. -Vol. 56. -No. 2. -P. 95-150.
  • Cauchy A.-L. Exercices d'analyse et de physique mathematique. -Paris: Bachelier, 1840. -442 p.
  • Tedone O. Saggio di una teoria generale delle equazioni dell'equilibrio elastico per un corpo isotropo//Annali di Matematica Pura ed Applicata. Pt. 1. -1903. -Vol. 8. -No. 1. -P. 129-180; Pt. 2. -1904. -Vol. 9. -No. 1. -P. 13-64; Pt. 3. -1909. -Vol. 16. -No. 1. P. 141-177.
  • Kröner E. Allgemeine Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen//Arch. Rat. Mech. Anal. -1959/60 (1967). -No. 4(1). -P. 273-334.
  • Teodorescu P.P. Stress Functions in Three-Dimensional Elastodynamics//Acta Mechanica. -1972. -Vol. 13. -P. 103-117.
  • Beltrami E. Osservazioni sulla Nota precedente//Att. Accad. Nazl. Lincei. -1888. -No. 1. -P. 141-142.
  • Donati L. Ulteriori osservazioni intorno al. teorema del Menabrea//Memorie della Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna. -1894. -No. 4. -P. 449-474.
  • Michell J.H. On the direct determination of stress in an elastic solid with application to the theory of plates//Proc. London Math. Soc. -1899. -No. 31. -P. 100-124.
  • Kellogg O.D. Foundation of Potential Theory. -Berlin, 1928. -384 p.
  • Poisson S.-D. Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques//Mém Acad. Sci. Inst France. -1828. -No. (2) 8. -P. 357-570.
  • Eringen A.C., Suhubi E.S. Elastodynamics. Vol. I. Finite Motions. Vol. II. Linear Theory. -New York: Academic Press, 1975. -1003 p.
  • Kovalevski S. Über die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln//Acta Math. -1885. -Vol. 6. -P. 249-304.
  • Iacovache M. O extindere a metodei lui Galerkin pentru sistemul ecuaiilor elasticitatii//Bui. St. Acad. R. P. Romane. -1948. -Vol. 1. -P. 593-596.
  • Somigliana C. Sulle equazioni della elasticita//Ann. Mat. -1889. -Vol. (2) 17. -P. 37-64.
  • Слободянский М.Г. Функции напряжений для пространственной задачи теории упругости//Учен. зап. Моск. гос. ун-та. Вып. XXIV. Механика. -1938 -Кн. 2. -С. 181-190.
  • Слободянский М.Г. Об общих и полных формах решений уравнений упругости//ПММ. -1958 -Т. 23. -Вып. 3. -С. 468-482.
  • Остросаблин Н.И. Общие решения и приведенные системы уравнений линейной теории упругости к диагональному виду//ПМТФ -1993 -Т. 33, № 5. -С. 112-122.
  • Остросаблин Н.И. Операторы симметрии и общие решения уравнений линейной теории упругости//ПМТФ. -1995. -Т. 36, № 5. -С. 98-104.
  • Остросаблин Н.И. Упругий анизотропный материал с чисто продольными и поперечными волнами//ПМТФ. -2003. -Т. 44, № 2. -С. 143-151.
  • Остросаблин Н.И. Общее решение и приведение системы уравнений линейной изотропной упругости к диагональному виду//Сиб. журн. индустр. матем. -2009. -Т. 12, № 2. -С. 79-83.
  • Остросаблин Н.И. Диагонализация системы статических уравнений Ламе линейной изотропной упругости//Сиб. журн. индустр. матем. -2012. -Т. 15, № 3. -С. 87-98.
  • Tran Cong T., Steven G.P. On the representation of elastic displacement fields in terms of three harmonic functions//J. of Elasticity. -1978 -Vol. 8 (3). -P. 325-333.
  • Hackl K., Zastrow U. On the existence, uniqueness and completeness of displacements and stress functions in linear elasticity//J. of Elasticity. -1988 -Vol. 17 -P. 3-23.
  • Chandrasechariah D.S. Naghdi-Hsu Type Solution in Elastodynamics//Acta Mechanica. -1988. -Vol. 76. -P. 235-241.
  • Chandrasekharaiah D.S. A complete solution in elastodynamics//Acta Mechanica. -1990. -Vol. 84. -No. 1-4. -P. 185-190.
  • Wang M.Z. Note On the Naghdi-Hsu type solution in elastodynamics//Acta Mechanica. -1991. -Vol. 86. -P. 225-226.
  • Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949. -199 с.
  • Деев В.М. О формах общего решения пространственной задачи теории упругости, выраженных при помощи гармонических функций//ПММ. -1959. -Т. 23. -Вып. 6. -C. 1132-1133.
  • Boussinesq J. Application des potentiels a l'etude de l'equilibre et des mouvements des solides elastiques. -Paris: Gauthier-Villars, 1885. -734 p.
  • Папкович П.Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гармонические функции//Известия Академии наук СССР. -1932. -№ 9. -С. 1425-1435.
  • Neuber H. Ein neuer Ansatz zur Losung raumlicher Probleme der Elastizitatstheorie. Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel//Z. Angew. Math. Mech. -1934. -Vol. 14. -P. 203-211.
  • Pigeaud G. Resistance des materiaux et Elasticite. -Paris: Gauthier-Villars, 1920. -482 p.
  • Benthem J.P. Note on the Boussinesq-Papkovich stress-functions//J. of Elasticity. -1978 -Vol. 8. -No. 2 -P. 201-206.
  • Galerkin B. Contribution a la solution ge ne rale du proble me de la the orie de l'e lasticite dans le cas de trios dimensions//Comptes Rendus. -1930. -Vol. 190. -P. 1047-1048.
  • Moisil G. Asupra formulelor lui Galerkin in teoria elasticitatii//Bui. St. Acad. R. P. Romane. -1948. -Vol. 1. -P. 587-592.
  • Westergaard H.M. General solution of the problem of elastostatics on n-dimensional homogeneous isotropic solid in an n-dimensional space//Bull. Amer. Math. Soc. -1935. -Vol. 41. -No. 10. -P. 695-698.
  • Mindlin R.D. Note on the galerkin and papkovitch stress functions//Bull. Amer. Math. Soc. -1936. -Vol. 42. -No 6. -P. 373-376.
  • Naghdi P.M., Hsu C.S. On a representation of displacements in linear elasticity in terms of three stress functions//J. Math. Mech. -1961. -Vol. 9. -P. 233-245.
  • Shaefer H. Die Spannungsfunctionen des dreidimensionalen Kontinuums und des elastischen Korpers//Z. Angew. Math. Mech. -1953. -Vol. 33. -P. 356-362.
  • Bickford W.B. A Generalization of the Boussinesq-Papkovich Functions to an Anisotropic Medium//ZAMP. -1977. -Vol. 28. -P. 723-728.
  • Eskandari-Ghadi M. A Complete Solution of the Wave Equations for Transversely Isotropic Media//J. of Elasticity -2005. -Vol. 81. -No. 1. -P. 1-17.
  • Goodman W.H., Naghdi P.H. The use of displacement potentials in second order elasticity//J. of Elasticity. -1988. -Vol. 22. -P. 25-44.
  • Timpe A. Achsensymmetrische Deformation von Umdrehungskörpern//Z. Angew. Math. Mech. -1924. -Vol. 4. -No. 5. -P. 361-376.
  • Michell J.H. The Uniform Torsion and Flexure of Incomplete Tores, with application to Helical Springs//Proc. London Math Soc. -1900. -Vol. 31. -P. 130-146.
  • Tran-Cong T. On the completeness and uniqueness of the Papkovich-Neuber and the non-axisymmetric Boussinesq, Love, and Burgatti solutions in general cylindrical coordinates//J. of Elasticity. -1995. -Vol. 36. -P. 227-255.
  • Wang M.Z. On the completeness of solutions of Boussinesq, Timpe, Love, and Michell in axisymmetric elasticity//J. of Elasticity. -1988. -Vol. 17. -P. 85-92.
  • Carlson D.E. A note on the solutions of Boussinesq, Love, and Marguerre in axisymmetric elasticity//J. of Elasticity. -1983. -Vol. 12. -P. 345-348.
  • Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. -М: Наука, 1987. -Т. 1. -464 с.; Т. 2. -360 с.
  • Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. -М.: Недра, 1984. -323 с.
  • Burridge R., Vargas C.A. The fundamental solution in dynamic poroelasticity//Geophys. J. R. astr. Soc. -1978. -Vol. 58. -P. 61-90.
  • Ковтун А. Об уравнениях модели Био и их модификациях//Вопросы геофизики. -Вып. 44. -СПб., 2010. -С. 3-26.
  • Cattaneo C. A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation//Comptes Rendus. -1958. -Vol. 247. -P. 431-433.
  • Joseph D.D., Preziosi L. Heat waves//Reviews of Modern Physics. -1988. -Vol. 61. -P. 41-73.
  • Green A.E., Naghdi P.M. Thermoelasticity without energy dissipation//J. of Elasticity -1993. -Vol. 31. -No. 3. -Р. 189-208.
  • Cowin S.C., Nunziato J.W. Linear elastic materials with voids//J. of Elasticity. -1983. -Vol. 11 (2). -P. 125-147.
  • Chandrasechariah D.S., Cowin S.C. Unified complete solutions for the theories of thermoelasticity and poroelasticity//J. of Elasticity -1988. -Vol. 21. -P. 121-126.
Еще
QR-код для установки приложения SciUp Наведите камеру и скачайте бесплатное приложение SciUp