Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 1. Упругость, термоупругость и пороупругость

Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 1. Упругость, термоупругость и пороупругость

Автор: Лычев С.А., Полянин А.Д., Левитин А.Л.

Журнал: Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика @vestnik-pnrpu-mechanics

Статья в выпуске: 2, 2015 года.

Бесплатный доступ

Статья посвящена развитию методов декомпозиции систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными, возникающих в механике сплошных сред, в частности, в теории упругости, термоупругости и пороупругости. Эти методы основаны на расщеплении систем связанных уравнений на несколько более простых независимых уравнений. Декомпозиция существенно упрощает качественное исследование и интерпретацию наиболее важных физических свойств связанных трехмерных уравнений, эффективно позволяя изучать их волновые и диссипативные свойства. Кроме того, декомпозиция в ряде случаев дает возможность находить точные аналитические решения соответствующих краевых и начально-краевых задач и существенно упрощает применение численных методов, позволяя использовать стандартные подпрограммы для более простых независимых уравнений и подсистем. В первой части статьи приведены различные системы уравнений, в том числе уравнения теории упругости в форме Tedone и в форме Beltrami-Donati-Michell, построены их динамические обобщения, даны различные формы уравнений классической и гиперболической термоупругости, уравнения пороупругости. Указан ряд фактов исторического характера, которые непосредственно связаны с рассматриваемыми в статье представлениями решений и слабо отражены в русскоязычной литературе. Приведены различные варианты декомпозиции и их обобщения. Подробно рассмотрены представления решений динамических систем уравнений, получаемых в результате тороидальной-полоидальной декомпозиции, декомпозиций типа Green-Lamé, Cauchy-Kovalevski-Somigliana, Naghdi-Hsu-Chandrasekharaiah, Teodorescu. Отдельно рассмотрены их аналоги для статических уравнений. Построено обобщение представления Савина на динамические уравнения упругости. Приведены представления в криволинейных координатах, в частности, представления Boussinesq, Timpe, Love, Michell, Muki. Даны библиографические ссылки на оригинальные работы.

Еще

Линейные системы уравнений с частными производными, декомпозиция, точные решения, деформируемое твердое тело, упругость, термоупругость, пороупругость, статика, динамика, связанные поля

Короткий адрес: https://sciup.org/146211564

IDR: 146211564   |   DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.05

Список литературы Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 1. Упругость, термоупругость и пороупругость

  • Green A.E. Zerna W. Theoretical Elasticity. -Dover Publications, 2002. -457 p.
  • Gurtin M.E. The Linear Theory of Elasticity. Handbuch der Physik (ed. S. Flügge). Vol. VI a/2//Mechanics of Solids II. Ed. C. Truesdell. -Springer, 1972. -295 p.
  • Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. -М.: Изд-во МГУ, 1990. -310 c.
  • Седов Л.И. Механика сплошной среды. -СПб.: Лань, 2004. -Т. 2. -560 с.
  • Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. -940 с.
  • Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир, 1975. -872 c.
  • Truesdell C., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. 3rd ed. -Springer, 2004. -602 p.
  • Truesdell C., Toupin R.A. The Classical Field Theories. Handbuch der Physik (ed. S. Flügge). Bd. III/1. -Springer, 1960. -P. 226-793.
  • Stokes G.G. On the dynamical theory of diffraction//Trans. Cambridge Phil. Soc. -1856. -Vol. 9. -P. 1-62.
  • Helmholtz Н. Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen//J. Reine und Angewandte Mathematik -1858. -Vol. 55. -P. 25-55.
  • Gibbs J.W. Vector analysis. -Yale Bicentennial Publications, 1901. -436 p.
  • Курант Р. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1964. -830 с.
  • Положий Г.Н. Уравнения математической физики. -М.: Высш. шк., 1964. -560 c.
  • Arfken G.B., Weber H.J. Mathematical Methods for Physicists. Sixth Edition. -Elsiver Academic Press, 2005. -1182 p.
  • Gurtin M.E. On Helmboltz's theorem and the completeness of the Papkovich-Neuber stress funaions for infinite domains//Arc. Rat. Mech. Anal. -1962. -Vol. 9. -No. 1. -P. 225-233.
  • Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. -М.: Гостехиздат,1953. -282 с.
  • Polyanin A.D., Zhurov A.I. Integration of linear and some model nonlinear equations of motion of incompressible fluids. Int. J. Non-Linear Mechanics. 2013. Vol. 49. P. 77-83.
  • Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Декомпозиция трехмерных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройда и их обобщений//Теоретические основы химической технологии. -2013. -Т. 47, № 4. -С. 386-394.
  • Липатов И.И., Полянин А.Д. Декомпозиция и точные решения уравнений вязкой слабосжимаемой баротропной жидкости//Доклады академии наук. -2013. -Т. 449, № 3. -C. 290-294.
  • Morino L. Helmholtz decomposition revised: Vorticity generation and trailing edge condition//Computational Mechanics. -1986. -Vol. 1. -P. 65-90.
  • Воинов О.В. Симметрии медленных движений и равновесий сплошных сред//ПММ, 2007. -Т. 71. -Вып. 5. -С. 788-793.
  • Backus G.E. A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos//Ann. Phys. -1958. -Vol.4. -P. 372-447.
  • Kaiser R. A Toroidal Magnetic Field Theorem//Commun. Math. Phys. -2009. -Vol. 290. -P. 633-649.
  • B. Sri Padmavati, T. Amaranath. Note on Decomposition of Solenoidal Fields//Applied Mathematics Letters. -2002. -Vol. 15, 803-805 pp.
  • Chadwick P., Trowbridge E.A. Elastic wave fields generated by scalar wave functions//Proc. Cambridge Phil. Soc. -1967. -Vol. 63. -P. 1177-1187.
  • Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. -М.: Наука, 1965. -427 с.
  • Lamé G. Lections sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides. -Paris: Bachelier, 1866. -384 p.
  • Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Ауксетическая механика кристаллических материалов//Известия РАН, МТТ. -2010. -№ 4. -C. 43-62.
  • Navier C.-L.-M.-H. Sur les lois de l'equilibre et du mouvement des corps solides elastiques//Bull. Soc. Philomath. -1821. -P. 177-181.
  • Cauchy A.-L. Sur les equations qui expriment les conditions d'equilibre ou les lois du mouvement interieur d'un corps solide, elastique ou non elastique//Ex. de Math. -1822. -Vol. 3. -P. 160-187.
  • Capecchi D., Ruta G., Trovalusci P. From classical to Voigt's molecular models in elasticity//Arch. Hist. Exact. Sci. -2009. -Vol. 64. -No. 5. -P. 525-558.
  • Darrigol O. Between Hydrodynamics and Elasticity Theory: The First Five Births of the Navier-Stokes Equation//Arch. Hist. Exact. Sci. -2002. -Vol. 56. -No. 2. -P. 95-150.
  • Cauchy A.-L. Exercices d'analyse et de physique mathematique. -Paris: Bachelier, 1840. -442 p.
  • Tedone O. Saggio di una teoria generale delle equazioni dell'equilibrio elastico per un corpo isotropo//Annali di Matematica Pura ed Applicata. Pt. 1. -1903. -Vol. 8. -No. 1. -P. 129-180; Pt. 2. -1904. -Vol. 9. -No. 1. -P. 13-64; Pt. 3. -1909. -Vol. 16. -No. 1. P. 141-177.
  • Kröner E. Allgemeine Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen//Arch. Rat. Mech. Anal. -1959/60 (1967). -No. 4(1). -P. 273-334.
  • Teodorescu P.P. Stress Functions in Three-Dimensional Elastodynamics//Acta Mechanica. -1972. -Vol. 13. -P. 103-117.
  • Beltrami E. Osservazioni sulla Nota precedente//Att. Accad. Nazl. Lincei. -1888. -No. 1. -P. 141-142.
  • Donati L. Ulteriori osservazioni intorno al. teorema del Menabrea//Memorie della Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna. -1894. -No. 4. -P. 449-474.
  • Michell J.H. On the direct determination of stress in an elastic solid with application to the theory of plates//Proc. London Math. Soc. -1899. -No. 31. -P. 100-124.
  • Kellogg O.D. Foundation of Potential Theory. -Berlin, 1928. -384 p.
  • Poisson S.-D. Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques//Mém Acad. Sci. Inst France. -1828. -No. (2) 8. -P. 357-570.
  • Eringen A.C., Suhubi E.S. Elastodynamics. Vol. I. Finite Motions. Vol. II. Linear Theory. -New York: Academic Press, 1975. -1003 p.
  • Kovalevski S. Über die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln//Acta Math. -1885. -Vol. 6. -P. 249-304.
  • Iacovache M. O extindere a metodei lui Galerkin pentru sistemul ecuaiilor elasticitatii//Bui. St. Acad. R. P. Romane. -1948. -Vol. 1. -P. 593-596.
  • Somigliana C. Sulle equazioni della elasticita//Ann. Mat. -1889. -Vol. (2) 17. -P. 37-64.
  • Слободянский М.Г. Функции напряжений для пространственной задачи теории упругости//Учен. зап. Моск. гос. ун-та. Вып. XXIV. Механика. -1938 -Кн. 2. -С. 181-190.
  • Слободянский М.Г. Об общих и полных формах решений уравнений упругости//ПММ. -1958 -Т. 23. -Вып. 3. -С. 468-482.
  • Остросаблин Н.И. Общие решения и приведенные системы уравнений линейной теории упругости к диагональному виду//ПМТФ -1993 -Т. 33, № 5. -С. 112-122.
  • Остросаблин Н.И. Операторы симметрии и общие решения уравнений линейной теории упругости//ПМТФ. -1995. -Т. 36, № 5. -С. 98-104.
  • Остросаблин Н.И. Упругий анизотропный материал с чисто продольными и поперечными волнами//ПМТФ. -2003. -Т. 44, № 2. -С. 143-151.
  • Остросаблин Н.И. Общее решение и приведение системы уравнений линейной изотропной упругости к диагональному виду//Сиб. журн. индустр. матем. -2009. -Т. 12, № 2. -С. 79-83.
  • Остросаблин Н.И. Диагонализация системы статических уравнений Ламе линейной изотропной упругости//Сиб. журн. индустр. матем. -2012. -Т. 15, № 3. -С. 87-98.
  • Tran Cong T., Steven G.P. On the representation of elastic displacement fields in terms of three harmonic functions//J. of Elasticity. -1978 -Vol. 8 (3). -P. 325-333.
  • Hackl K., Zastrow U. On the existence, uniqueness and completeness of displacements and stress functions in linear elasticity//J. of Elasticity. -1988 -Vol. 17 -P. 3-23.
  • Chandrasechariah D.S. Naghdi-Hsu Type Solution in Elastodynamics//Acta Mechanica. -1988. -Vol. 76. -P. 235-241.
  • Chandrasekharaiah D.S. A complete solution in elastodynamics//Acta Mechanica. -1990. -Vol. 84. -No. 1-4. -P. 185-190.
  • Wang M.Z. Note On the Naghdi-Hsu type solution in elastodynamics//Acta Mechanica. -1991. -Vol. 86. -P. 225-226.
  • Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949. -199 с.
  • Деев В.М. О формах общего решения пространственной задачи теории упругости, выраженных при помощи гармонических функций//ПММ. -1959. -Т. 23. -Вып. 6. -C. 1132-1133.
  • Boussinesq J. Application des potentiels a l'etude de l'equilibre et des mouvements des solides elastiques. -Paris: Gauthier-Villars, 1885. -734 p.
  • Папкович П.Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гармонические функции//Известия Академии наук СССР. -1932. -№ 9. -С. 1425-1435.
  • Neuber H. Ein neuer Ansatz zur Losung raumlicher Probleme der Elastizitatstheorie. Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel//Z. Angew. Math. Mech. -1934. -Vol. 14. -P. 203-211.
  • Pigeaud G. Resistance des materiaux et Elasticite. -Paris: Gauthier-Villars, 1920. -482 p.
  • Benthem J.P. Note on the Boussinesq-Papkovich stress-functions//J. of Elasticity. -1978 -Vol. 8. -No. 2 -P. 201-206.
  • Galerkin B. Contribution a la solution ge ne rale du proble me de la the orie de l'e lasticite dans le cas de trios dimensions//Comptes Rendus. -1930. -Vol. 190. -P. 1047-1048.
  • Moisil G. Asupra formulelor lui Galerkin in teoria elasticitatii//Bui. St. Acad. R. P. Romane. -1948. -Vol. 1. -P. 587-592.
  • Westergaard H.M. General solution of the problem of elastostatics on n-dimensional homogeneous isotropic solid in an n-dimensional space//Bull. Amer. Math. Soc. -1935. -Vol. 41. -No. 10. -P. 695-698.
  • Mindlin R.D. Note on the galerkin and papkovitch stress functions//Bull. Amer. Math. Soc. -1936. -Vol. 42. -No 6. -P. 373-376.
  • Naghdi P.M., Hsu C.S. On a representation of displacements in linear elasticity in terms of three stress functions//J. Math. Mech. -1961. -Vol. 9. -P. 233-245.
  • Shaefer H. Die Spannungsfunctionen des dreidimensionalen Kontinuums und des elastischen Korpers//Z. Angew. Math. Mech. -1953. -Vol. 33. -P. 356-362.
  • Bickford W.B. A Generalization of the Boussinesq-Papkovich Functions to an Anisotropic Medium//ZAMP. -1977. -Vol. 28. -P. 723-728.
  • Eskandari-Ghadi M. A Complete Solution of the Wave Equations for Transversely Isotropic Media//J. of Elasticity -2005. -Vol. 81. -No. 1. -P. 1-17.
  • Goodman W.H., Naghdi P.H. The use of displacement potentials in second order elasticity//J. of Elasticity. -1988. -Vol. 22. -P. 25-44.
  • Timpe A. Achsensymmetrische Deformation von Umdrehungskörpern//Z. Angew. Math. Mech. -1924. -Vol. 4. -No. 5. -P. 361-376.
  • Michell J.H. The Uniform Torsion and Flexure of Incomplete Tores, with application to Helical Springs//Proc. London Math Soc. -1900. -Vol. 31. -P. 130-146.
  • Tran-Cong T. On the completeness and uniqueness of the Papkovich-Neuber and the non-axisymmetric Boussinesq, Love, and Burgatti solutions in general cylindrical coordinates//J. of Elasticity. -1995. -Vol. 36. -P. 227-255.
  • Wang M.Z. On the completeness of solutions of Boussinesq, Timpe, Love, and Michell in axisymmetric elasticity//J. of Elasticity. -1988. -Vol. 17. -P. 85-92.
  • Carlson D.E. A note on the solutions of Boussinesq, Love, and Marguerre in axisymmetric elasticity//J. of Elasticity. -1983. -Vol. 12. -P. 345-348.
  • Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. -М: Наука, 1987. -Т. 1. -464 с.; Т. 2. -360 с.
  • Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. -М.: Недра, 1984. -323 с.
  • Burridge R., Vargas C.A. The fundamental solution in dynamic poroelasticity//Geophys. J. R. astr. Soc. -1978. -Vol. 58. -P. 61-90.
  • Ковтун А. Об уравнениях модели Био и их модификациях//Вопросы геофизики. -Вып. 44. -СПб., 2010. -С. 3-26.
  • Cattaneo C. A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation//Comptes Rendus. -1958. -Vol. 247. -P. 431-433.
  • Joseph D.D., Preziosi L. Heat waves//Reviews of Modern Physics. -1988. -Vol. 61. -P. 41-73.
  • Green A.E., Naghdi P.M. Thermoelasticity without energy dissipation//J. of Elasticity -1993. -Vol. 31. -No. 3. -Р. 189-208.
  • Cowin S.C., Nunziato J.W. Linear elastic materials with voids//J. of Elasticity. -1983. -Vol. 11 (2). -P. 125-147.
  • Chandrasechariah D.S., Cowin S.C. Unified complete solutions for the theories of thermoelasticity and poroelasticity//J. of Elasticity -1988. -Vol. 21. -P. 121-126.
Еще
Статья научная
QR-код для установки приложения SciUp Наведите камеру и скачайте бесплатное приложение SciUp