Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 2. Общие результаты и некоторые частные случаи
Автор: Лычев С.А., Полянин А.Д., Левитин А.Л.
Статья в выпуске: 3, 2015 года.
Бесплатный доступ
Во второй части статьи предлагаются общие методы декомпозиции, обобщающие классические представления*. Получают развитие декомпозиции систем линейных и модельных нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, возникающих в механике сплошных сред, в частности в теории упругости, термоупругости, пороупругости и вязкоупругости, систематический подход к декомпозиции уравнений механики сплошных сред. Описаны несимметричный и симметричный методы декомпозиции различных классов трехмерных линейных (и модельных нелинейных) систем уравнений, которые используются в теории упругости, термоупругости и пороупругости, в механике вязких и вязкоупругих несжимаемых жидкостей и сжимаемых баротропных газов. Эти методы основаны на расщеплении систем связанных уравнений на несколько более простых независимых уравнений и использовании двух функций тока. Показано, что при отсутствии массовых сил любое решение рассматриваемых стационарных и нестационарных трехмерных систем выражается через решения двух независимых уравнений. Предложены методы прямой декомпозиции, не требующие разложения правой части системы уравнений на составляющие. Предложены обобщения рассмотренных методов декомпозиции на системы высоких порядков, а также на специальные классы модельных нелинейных уравнений. Даны примеры декомпозиции конкретных систем. Формулы и отдельные независимые уравнения, приведенные в работе, существенно упрощают качественное исследование и интерпретацию наиболее важных физических свойств широкого класса систем связанных уравнений механики сплошной среды и позволяют изучать их волновые и диссипативные свойства. Приведенные результаты можно использовать для точного интегрирования линейных систем механики, а также для тестирования численных методов, применяемых для решения нелинейных уравнений механики сплошных сред.
Линейные системы уравнений с частными производными, декомпозиция, точные решения, деформируемое твердое тело, вязкая жидкость, газ, упругость, термоупругость, пороупругость, связанные поля
Короткий адрес: https://sciup.org/146211577
IDR: 146211577 | УДК: 538.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.08
Decomposition of systems of equations for continuum mechanics 2. General results and applications
In the second part of work presents the general decomposition methods for systems of linear partial differential equations that arise in continuum mechanics, in particular, in the theory of elasticity and thermoelasticity and poroelasticity. A systematic approach to the decomposition of the equations of continuum mechanics is proposed. Asymmetrical and symmetrical decomposition methods for various classes of three-dimensional linear (and model nonlinear) systems of equations arising in the theory of elasticity, thermoelasticity, and thermoviscoelasticity, the mechanics of viscous and viscoelastic incompressible and compressible barotropic gas are described. These methods are based on the decomposition of systems of coupled equations into several simpler independent equations and the use of two stream functions. It is shown that in the absence of body forces any solution of considered steady and unsteady three-dimensional systems is expressed in terms of solutions of two independent equations. The methods of direct decomposition that do not require expansion of the right hand side of the equations into the components are proposed. A generalization of the considered methods to the decomposition of higher orders systems of equations, as well as to special classes of model nonlinear equations are obtained. The examples of the decomposition of specific systems are given. Formulas and split equations given in the work significantly simplify the qualitative study and the interpretation of the most important physical properties of a wide class of coupled systems of equations for continuum mechanics and allow studying their wave and dissipative properties. These results can be used for the exact integration of linear systems of mechanics, as well as for testing of numerical methods for nonlinear equations of continuum mechanics.
Список литературы Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред 2. Общие результаты и некоторые частные случаи
- Лычев С.А., Полянин А.Д., Левитин А.Л. Декомпозиция систем уравнений механики сплошных сред. Ч. 1. Упругость, термоупругость и вязкоупругость//Вестник ПНИПУ. Механика. -2015. -№ 2. -С. 70-102.
- Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. -3-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1990. -310 c.
- Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2 -СПб.: Лань, 2004 -560 с.
- Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Декомпозиция трехмерных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройда и их обобщений//Теоретические основы химической технологии. -2013. -Т. 47. -№ 4. -С. 386-394.
- Polyanin A.D., Zhurov A.I. Integration of linear and some model nonlinear equations of motion of incompressible fluids//Int. J. Non-Linear Mechanics. -2013. -Vol. 49. -P. 77-83.
- Gurtin M.E., Sternberg E. On the Linear Theory of Viscoelasticity//Arch. for Rat. Mech. Anal. -1962. -Vol. 11. -No. 1. -P. 291-356.
- Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. -М.: Мир, 1973. -792 с.
- Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. -М.: Мир, 1976. -630 с.
- Ламб Г. Гидродинамика. -М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1947. -929 р.
- Липатов И.И., Полянин А.Д. Декомпозиция и точные решения уравнений вязкой слабосжимаемой баротропной жидкости//Доклады академии наук. -2013. -Т. 449, № 3. -С. 290-294.
- Полянин А.Д., Лычев С.А. Различные представления решений систем уравнений механики сплошных сред//Доклады Академии наук -2014. -Т. 455, № 2. -С. 162-166.
- Полянин А.Д., Лычев С.А. Различные способы декомпозиции линейных уравнений механики сплошных сред//Доклады Академии наук -2014. -Т. 458, № 6. -С. 663-666.
- Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. -Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2002. -800 p.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1999. -735 р.
- Eringen A.C., Suhubi E.S. Elastodynamics: Vol. I: Finite Motions & Volume II: Linear Theory. -New York: Academic Press, 1975. -1003 p.
- Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир, 1975. -872 c.
- Gurtin M.E. On Helmboltz’s theorem and the completeness of the Papkovich-Neuber stress funaions for infinite domains//Arc. Rat. Mech. Anal. -1962. -Vol. 9. -No. 1. -P. 225-233.
- Morino L. Helmholtz decomposition revised: Vorticity generation and trailing edge condition//Computational Mechanics -1986. -Vol. 1. -P. 65-90.
