Дифференциальные модели в экономике

Метод математического моделирования является отличным средством изучения мира. Он показывает, что решение многих задач сводится к функциональной зависимости.

Так, например, некоторые жизненные процессы исследуются с помощью дифференциальных уравнений. Это в очередной раз доказывает, что применение дифференциальных уравнений для естественно - научных задач довольно широко.[2]

На сегодня математические методы всё глубже проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Применение данного метода в экономике – один из этапов её развития, связанный с существованием устойчивых количественных закономерностей и возможностью формализованного описания многих, хотя и далеко не всех, экономических процессов.

В курсе математического анализа целесообразно рассмотреть задачи на экономические модели, такие как эффективность рекламы, спрос и предложение и т.д.

Одним из примеров можно считать модель роста с постоянными коэффициентами.[1]

Рассмотрим динамику роста цен при постоянном темпе инфляции равном к. В начальный момент времени цена товара была р(0) = р₀ . Показать динамику роста цен при k.

Динамика роста цен при постоянной инфляции будет описываться дифференциальным уравнением. Пусть p(t) объем продукции в момент времени t . Предположим, что вся продукция будет продана, а так же объем продаж не является столь высоким чтобы повлиять на цену товара, которую далее будем считать постоянной. Так как увеличение объем продукции связано с инвестициями, направленными на расширение производства, обозначим их I (t). (чистые инвестиции это разность между общим объемом инвестиции и затратами на производство)

Таким образом, скорость выпуска продукции пропорциональна величине I(t)

р'(t) = c*l(t) (1)

где с – норма выпуска продукции.

Так как I(t) составляет постоянную часть дохода, то

l(t) = d * р * p(t) (2)

где d - норма чистых инвестиций, являющаяся постоянной величиной, которая тратиться на чистые инвистиции.

Подставляя (2) в (1) получим

p-(t) = c*d*p* p(t),

а так как темп  инфляции(скорость развития процессов инфляции, определяемые темпами роста цен) постоянный, то

к = c * d * p.

Таким образом

p-(t) = к * p(t).

Это дифференциальное уравнение с разделяющими переменными

dp .

dt=k*p-

Разделив переменные и проинтегрировав полученное дифференциальное уравнение, получим

ln|p| = к * t + In C.

Тогда общее решение имеет вид

p(t) = C * ek-t,

а с учетом начальных условий, получаем

p(t) = p0* ek-t.

На примере данной задачи, мы увидели, как могут быть связаны ДУ и экономика.