Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Запишем общий вид дифференциального уравнения первого порядка

F ( x , y , y ‘ ) = ⁰                                    (1)

Уравнение такого типа можно попробовать разрешить относительно производной. В итоге, если это возможно сделать, получим одно или более уравнений, разрешенных относительно производной, сумма решений которых даст решение исходного дифференциального уравнения. Такое, однако встречается не часто. Ввиду этого рассмотрим несколько разновидностей уравнения (1) и методы их решения.

Первый тип уравнений зависит только от производной искомой функции:

Для этого уравнения существует хотя бы один действительный корень

У ‘ = a i                                            (3)

Уравнение (2) не содержит явно x и у , поэтому a_s - константа, тогда интегрируя (3) окончательно получим корень уравнения (2).

dy

— = ai dx dy = adx y = ax + C a, = У-C                               (4)

x

Так как a _z корень уравнения (2), то F

= 0 - его решение.

Второй тип уравнений зависит от неизвестной функции и производной искомой функции:

F ( x , y ‘ ) = 0

За счет введения параметра t уравнение (5) представим в виде x = ^ ( t )

У ‘ = И t)

Отсюда интегральные кривые уравнения (5) в параметрической форме x = ^ ( t )

У = j у ( t ) р'( t ) dt + C

Третий тип уравнений зависит от искомой функции и ее первой производной:

F ( У , У 3 = 0

При введении параметра t уравнение (8) запишем следующим образом y = Ф( t) y ‘ = Ф( t)

Тогда интегральные кривые уравнения (8) в параметрической форме y = Ф( t) Ф*( t) dt                                            (10)

^ ( t )

Рассмотрим подробное решение на следующем примере №1

y 3 = 8 y                                      (11)

Выразим y' из уравнения (11)

y' = 2 y ³

И решим соответствующее уравнение методом разделения переменных dy = 2 dx y3

- 1

y3 dy = 2 dx y- = 2 x + C

3 y ³ = 4 x + C

( 4 x + C ^ 2

Проверим, имеет ли уравнение (11) особые решения. Для этого рассмотрим следующую систему

' y ‘ 3 = 8 y

3 y ‘ 2 = 0

Исключая из нее y ‘ получим

У = 0

Кривая (14) является решение исходного уравнения (11), в этом можно убедиться путем непосредственной подстановки.

Теперь можно проверить является ли кривая (14) особым решением уравнения (11). Для этого запишем условия касания кривых в точке с абсциссой x 0

( 4 x + C ) 2

------ =

I 3 J

3 ( 4 x + C ^ 2

2 1    3 _v

Из условий (15) видно, что решение (14) можно получить подбором соответствующей константы C , следовательно, оно не является особым.