Дифференциальные уравнения первого порядка

Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров надо хорошо уметь интегрировать и дифференцировать.

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным.

Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал - частное интегрирование.

Сначала надо вспомнить обычные алгебраические уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: Зх = 12# Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение 3* = 12 имеет единственный корень: 1 = ^. Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение: 34 = 12

12 = 12 — получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:

• 1)    независимую переменную *;

• 2)    зависимую переменную (функцию);

• 3)    первую производную функции: У .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно - важно чтобы в ДУ была первая производная -^ , и не было производных высших порядков - -^ , -^ и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение - это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид ■^⁼^^;с’^ ( С— произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения .

Найти       частное       решение       дифференциального уравнения е

Решение: сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы ^и dx , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

e^y e ^x dy- 2xdx = 0

§y ■ e~x dy = 2xdx v , 2xdx eydy = 2^ dx

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции

под знак

дифференциала:

^ = Z+c

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

_Tt _r               7 = ^(0' +0, где C =co?2si

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию X0)    . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

In 2 = ln(s° + Q

Более привычное оформление: jv(0) = h(s° +Q = ln(l + Q = In 2 =>C = 1

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ: частное решение: V = W

Проверка: сначала проверим, выполнено ли начальное условие

у(0) = 1п2 Я0) = Це° + 5 = 1п(1 + 1) = 1п2

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение у ^ +^ дифференциальному

уравнению.

Находим

производную:

Смотрим на исходное уравнение: ®^ ^ ^^ ° - оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал ^у :

Подставим найденное частное решение -^ ^е +^ и полученный

,    2хе* dx яу — № дифференциал    ^ + ^

в исходное уравнение ^е?^У ^^ °:

e^+i)-<^f^_ 2^х=0

(Z +D

gh^+i) ^ 2хе^х _ 2^ = 0

(^ +1)

Используем основное логарифмическое тождество s

/+1).,-1 ^^-г^д О' +D

2хе* ”* dx - 2xdx= 0

2xdx- 2xdx= 0

0 = 0