Дифференцирование полиномов нескольких переменных над полями Галуа нечетной мощности и приложения к кодам Рида-Маллера

Введение. Полиномы нескольких переменных над полями Галуа лежат в основе теории кодов Рида-Маллера, а также используются в ряде криптографических задач. В работе изучаются свойства таких полиномов, заданных над произвольными полями Галуа нечетной мощности. Для полученных результатов предложены два практических приложения: схема разделения данных и декодер кодов Рида-Маллера.Материалы и методы. С использованием линейной алгебры, теории полей Галуа и общей теории полиномов нескольких переменных получены результаты, связанные с дифференцированием и интегрированием полиномов нескольких переменных над полями Галуа нечетной мощности. Для векторов построен и изучен аналог оператора дифференцирования.Результаты исследования. На основе полученных результатов о дифференцировании и интегрировании полиномов предложен новый декодер для кодов Рида-Маллера второго порядка и предложена схема организации разделенной передачи конфиденциальных данных, т.е. такой системы связи, в которой исходные данные на стороне отправителя разделяются на несколько частей и, независимо друг от друга, передаются по различным каналам связи, а на стороне получателя из принятых частей восстанавливаются исходные данные. Особенностью предлагаемой схемы является то, что она позволяет защищать данные, как от нелегитимного доступа, так и от непреднамеренных ошибок, при этом в обоих случаях используется один и тот же математический аппарат. Разработанный декодер для кодов Рида-Маллера второго порядка, заданных над произвольным нечетным полем Галуа, может иметь некоторое ограничение по числу исправляемых ошибок, однако, его использование целесообразно для ряда каналов связи.Обсуждение и заключения. Предложенные практические приложения полученных результатов представляются полезными для организации надежных систем связи. В дальнейшем планируется исследование процесса восстановления исходного полинома по его производным, в случае их частичного искажения, и разработка соответствующих приложений.