Дифференцируемые функции

Рассмотрим функцию /(х) = х2Р(х). Покажем существование производной при х = 0. По определению

/'(0) = 1ипЛ, .о-0^^--^-^ = limд,.o(ДxD(Дx)) = 0,

так как предел произведения бесконечно малой функции на ограниченную функцию равен нулю. В точке х = 0 функции /(х) = х2^(х) непрерывна. Действительно, lim-.0x2D(x) = 0 как предел произведения бесконечно малой функции на функцию ограниченную, и /(0) = 0. В любой точке х0 ^ 0 функция имеет разрыв, так как в любой окрестности точки существуют два числа: х1 - рациональное и х2 - иррациональное, такие что /(х1) > х2,   /(х2) = 0. Отсюда функция /(х) = х2Р(х)   имеет производную только в точке х = 0, во всех других точках она имеет разрывы, а значит, производная в них не существует.

Заметим, что для большей общности примера вместо функции /(х) = х25(х) можно было бы рассмотреть функцию

f(x) = (x — a)²D(x — a) + bx, где a и b - произвольные числа. Эта функция имеет производную, которая равна b только в точке x = a.

Функция, имеющая производную (бесконечную) только в одной точке.

Функция f(x) = Vx(D(x) + 1) всюду определена, имеет разрывы во всех точках, кроме x = 0, в этой точке функция имеет производную, которая равна +^. При рациональных значениях x точки графика лежат на кривой у = 2 Vx, при иррациональных значениях x - на кривой у = Vx. Функция непрерывна в нуле, потому что предел функции при x ^ 0 равен нулю, то есть её значению в нуле. Действительно, limx^0(Vx (D(x) + 1)) = 0, как предел произведения бесконечно малой функции на функцию ограниченную. В любой другой точке x0 ^ 0 функция имеет разрыв, так как в любой окрестности точки x0 существует два числа: x1 - рациональное и x2 - иррациональное, такие что f(x1) > 2:^x0, f(x2) < ;^x0 при x0 > 0, и f(x1) < 2:^x0, f(x2) > ^/%0 при x0 < 0. Покажем существование производной, равной +^ при x = 0. По определению f'(0) = limA^^0 ""-А -'-.А^'^ = |,m.v.0(Av 2 (D(Av) + 1) = +», как предел произведения бесконечно большой функции на ограниченную положительную функцию.

Функции, одна или обе из которых нигде не имеют производной, но суперпозиция которых всюду дифференцируема.

Пусть и = D(x) - функция, нигде не имеющая производной, а у = (2ц — 1)2. Тогда сложная функция    у = (2D(x) — 1)2 = 1 имеет производную всюду.

Пусть и = D(x), у = D(x) - функции, нигде не имеющие производной. Тогда сложная функция у = D(D(x)) = 1 всюду имеет производную.

Функция, имеющая дифференциал только в одной точке.

Рассмотрим функцию у = / (х) = (х — 1)²О(х — 1) + 2х. Она непрерывна только в точке х = 1. Действительно, /(1) = 2 и lim_x ^ ₁((x — 1)²О(х — 1) + 2х) = 2. Заметим, что предел первого слагаемого равен нулю, как предел произведения бесконечно малой функции на функцию ограниченную, а предел второго слагаемого равен двум. Покажем, что функция дифференцируема в точке х₀ = 1 и имеет в этой точке дифференциал dy = 2 • Дх. Запишем

Ду = /(1 + Дх) — /(1) = Дх2О(Дх) + 2(1 + Дх) — 2 = 2Дх + Дх2О(Дх), где первое слагаемое 2Дх - линейная однородная функция переменной Дх, а второе слагаемое Дх2О(Дх) = 0(Дх), при Дх ^ 0, так как множитель О(Дх) ограничен. Отсюда имеем по определению дифференциала dy = 2Дх. В любой точке х ^ 1  функция разрывна, а значит, недифференцируема в ней.

Функция, которая имеет конечную положительную производную в точке, но не возрастает монотонно в окрестности этой точки .

Рассмотрим функцию /(х) = х2(О(х) — 0,5) + х. Раскроем скобки, получим /(х) = х2О(х) — 0,5х2 + х. Из примера 3.1 следует, что функция /(х) имеет производную только в точке х = 0, во всех других точках она разрывна. Там же показано, что производная функции х2О(х) в нуле равна нулю. Используя это, а также вычислив производную суммы, получим /‘(0) = 1. Функция удовлетворяет положениям леммы к теореме Ферма. Точки графика этой функции лежат при рациональных значениях х на параболе у = 0,5х2 + х, при иррациональных значениях х - на параболе у = —0,5х2 + х. Очевидно, что правее точки х = 0, а именно на интервале (0,2) обе параболы лежат выше оси Ох, а левее точки х = 0, а именно на интервале (—2,0) - лежат ниже оси Ох. Следовательно, функция удовлетворяет лемме, а именно, при 0 < х < 2 выполняется /(х) > /(0) =

0, а при —2 < х < 0 выполняется /(х) < /(0) = 0. Заметим, что в любой окрестности токи х = 0 функция не является монотонно возрастающей.

Функция, имеющая производную (равную нулю) только в точке своего наименьшего значения.

Определим функцию /(х) = х²^(х) + 1). Точки графика этой функции лежат на параболе у = 2х², когда х - рациональное число, и на параболе у = х², когда х - иррациональное. Очевидно, что эта функция отвечает всем требованиям теоремы Ферма. Она всюду определена, имеет производную в точке х = 0 (и только в ней), что тривиально следует из аналогичного свойства функции из примера 3.1. В точке х = 0 достигается наименьшее значение функции, так как она равна нулю только нулевой точке, а в любой другой – больше нуля как произведение положительных чисел. По теореме Ферма произвожная в точке х = 0 должна равняться нулю. Действительно, раскрывая скобки в правой части функции, вычисляя производную этой суммы в точке х = 0, учитывая, что функция х²D(х) в нуле имеет нулевую производную (см. пример 3.1), получаем / ' (0) = 0.

Функция, имеющая производную только в одной точке, которая является стационарной, но не является точкой экстремума.

Рассмотрим функцию /(х) = х2(D(х) — 0,5). Эта функция непрерывна только в точке х = 0. В этой точке она имеет производную, равную нулю. Заметим, что /(0) = 0, но функция в любой окрестности нуля, и слева, и справа от него, не является ни убывающей, ни возрастающей, и принимает как отрицательные (в иррациональных точках), так и положительные (в рациональных точках) значения. Очевидно, что х = 0 не является точкой экстремума.

Определение точки перегиба (первое). Точку M (x₀,f (х 0 )) кривой (графика функции f (х)) называют точкой перегибы этой кривой, если существует такое число 5 > 0, что на интервале (х₀ — 5, х 0 ) функция выпуклая (вогнутая), а на интервале (х₀, х₀ + 5) функция вогнутая (выпуклая).

Определение точки перегиба (второе). Пусть в точке М(x₀,f(x₀)) кривой (графика функции f(x)) существует касательная. Точка Мназывается точкой перегиба кривой, если существует такое число 5 > 0, что на интервале (х₀ — 5, х₀) кривая лежит по одну сторону касательной (в одной полуплоскости), а на интервале (х₀,х₀ + 5) - по другую сторону касательной (в другой полуплоскости). Иными словами, кривая переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую, т.е. кривая и касательная пересекаются.

Эти два определения не эквивалентны. Приведем различные примеры.

Кривая, имеющая точку перегиба по первому определению, но не по второму.

Рассмотрим функцию f(x) = |ex —1|, непрерывную всюду. Она дифференцируема всюду, кроме точки х = 0. Соответственно в точке (0,0) касательная к графику функции не существует. На бесконечном интервале (—от, 0) функция f(x) вогнутая, на бесконечном интервале (0, +^) -выпуклая. Точка (0,0) является точкой перегиба графика функции по первому определению, но не является таковой по второму определению.

Кривая, имеющая точку перегиба по второму определению, но не по первому.

Функция f(x) = х3(О(х) + 1). Она всюду разрывна, кроме точки х = 0, где существует равная нулю производная, и, соответственно, в точке (0,0)существует касательная к нему (горизонтальная) (рис. 1). Все перечисленные свойства данной функции х2(D(х) + 1), последовательно см. пример 6 и пример 1. Ни в одной, сколь угодно малой, левой или правой окрестности точки х = 0 функция /(х) не является ни выпуклой, ни вогнутой. Однако график функции /(х) в его точке (0,0) переходит с одной стороны касательной на другую (/(х) < 0 при х < 0, /(х) > 0 при х > 0). Следовательно, в данном случае первое определение не применимо, но действует второе определение.

В процессе исследования было получено 6 примеров, уточняющих область применения теорем и определений, связанных с понятием предела функции, 5 примеров, уточняющих область применения теорем и определений, связанных с понятием непрерывности функции, и 9 примеров, уточняющих область применения теорем дифференциального исчисления и определений, связанных с понятием дифференцируемости функций, основанных на функции Дирихле.