Дифракция плоской волны конечного радиуса на спиральном аксиконе и спиральной фазовой пластинке: сравнение

Впервые спиральный аксикон (СА) [1] и спиральная фазовая пластинка (СФП) [2] были изготовлены по технологии фотолитографии и экспериментально исследованы в 1992 году. СА используется для формирования бездифракционных лазерных пучков Бесселя, а СФП используется для формирования оптических вихрей и для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта [2-4]. В последнее время возрос интерес к СА и СФП [519]. Это связано с тем, что улучшилось качество изготовления пространственных модуляторов света (ПМС), с помощью которых можно теперь формировать дифракционные оптические элементы, в том числе СА и СФП. Так, в [5] с помощью ПМС сформированы СФП высоких порядков ( n >  30) и исследовались оптические вихри высоких порядков. С помощью ПМС можно сформировать составную СФП, которая будет генерировать лазерный пучок, состоящий из нескольких соосных оптических вихрей [6]. Также с помощью ПМС были сформированы бездифракционные пучки Бесселя [7, 8], эллиптические пучки Бесселя [9], пучки Гаусса-Айнса [10] и полые (трубчатые) пучки [11].

С другой стороны продолжаются исследования СА и СФП, которые изготавливаются по традиционной технологии электронной литографии [12-15]. В [12, 13] экспериментально исследовалась дифракция плоской волны на СФП второго и третьего порядков. В [14] исследовался СА пятого порядка, а в [15] был изготовлен двойной аксикон, который формирует два конических световых пучка, интерферирующих между собой и образующих нулевую интенсивность на оптической оси.

Теоретическое исследование параксиальной дифракции Френеля и Фраунгофера на СФП было проведено для освещающих гауссового пучка [16], неограниченной плоской волны [2, 12], ограниченной плоской волны [5, 13], эллиптического пучка [17]. Теоретическое исследование дифракции на СА проводилось для неограниченной плоской волны

• [14 ] и гауссового пучка [18]. Интерес к исследованию СА и СФП связан также с их применением для манипулирования микрочастицами [5, 14, 19].

• 2.    Описание дифракции Фраунгофера на СА с помощью гипергеометрических функций

В данной работе проведены теоретические исследования параксиальной дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СА и СФП. Получены новые аналитические выражения для комплексной амплитуды света в виде ряда из функций Бесселя (для СА) и в виде конечной суммы функций Бесселя (для СФП). Особенность этих выражений в том, что дифракционная картина Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СА описывается разными аналитическими выражениями внутри и вне светового кольца некоторого радиуса, который равен радиусу кольца с максимальной интенсивностью для СФП небольших порядков. Интересно также, что на картине дифракции расстояния между световыми кольцами, расположенными внутри светового кольца с максимальной интенсивностью, почти в два раза меньше, чем расстояния между кольцами, расположенными вне этого кольца. Дифракционная картина Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СФП описывается разными аналитическими выражениями для четных и нечетных номеров n . Также численно показано, что слабый аксикон, добавленный к СФП, существенно снижает контраст периферийных колец в картине дифракции.

Рассмотрим скалярную параксиальную дифракцию плоской волны конечного радиуса R , комплексная амплитуда которой имеет вид

Г Г ) f1 r - R,

E оIr ) = circll-Ы (1) ^ R ) [0, r > R, на спиральном аксиконе (СА), который, в приближении тонкого транспаранта, описывается функцией пропускания вида:

T _n ( r, ф ) = exp ( i a r + in p ) , (2)

где ( r , ф ) - полярные координаты в плоскости СА при z = 0 , z - оптическая ось, а - параметр акси-кона, n = 0, ± 1, ± 2,... - номер спиральной фазовой пластинки (СФП).

Тогда комплексная амплитуда света F_n ( p,6 ) в фокальной плоскости идеальной сферической линзы с фокусным расстоянием f имеет вид (опустим несущественный множитель exp ( ikz ) ):

где Y l - постоянные, зависящие только от номера кольца l = 1,2,... картины дифракции.

Из уравнения (5) при а = 0 (аксикон отсутствует) следует выражение для комплексной амплитуды дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СФП [13]:

F n ( Р , 6 ) =

ik

, х ^(- i ) ^{n + 1} exp ^{( in 6} ) [ k^{R 2} Y k^R p ) ⁿ

E n ^{(Р , 6} )        /                       I I

( n + 2 ) n !     I f J( 2 f )

--X

2 n z

R 2п j j exp 00

i a r + in ф - -jr P cos ( ф - 6 )

rdrd ф =

^∞ () ^{m R} ⎛⎞

= ( - i )      exp ( in θ ) ∑        ∫ r ^{m + 1} J _n ⎜   ρ r ⎟ rdr ,(3)

fm!  f m=0         0

где ( p,6 ) - полярные координаты в плоскости дифракции Фраунгофера, к = 2 п]2 - волновое число, J_n ( x ) - функция Бесселя.

Используя справочный интеграл [20]:

R 2                  ( aR ) ^{v + 2 + 1}

j x J_v ( ax ) dx =                    x

0 ^A         a ^{2 + 1}2 ^v ( v + 2 + 1 ) v !

1 F 2

v + 2 + 1 v + 2 + 3

2,2

вместо выражения (3) получим:

F n ( ρ , θ ) =

( - i ) ^{n + 1} exp ( in θ ) ⎛ kR ² ⎞⎛ kR ρ ⎞ ⁿ n ! ^⎜ ⎝ f ^⎟ ⎠ ^⎜ ⎝ 2 f ^⎟⎠

×

^X 1 F 2

n + 2

n + 4

Интересно сравнить выражение (5) с выражением для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Френеля плоской волны конечного радиуса на СФП [13]:

m iz0⎞

⎟ z⎠

×× _{m = 0} ( 2 m + n + 2 ) m !

× 1 F 2

⎛ i ²

E_n ( ρ , θ , z ) = 2exp ⎜ ⁰ ⎝ z

2 m + n + 2 2 m + n + 4

×

_×∑ ^∞    ( i α R )     _×

( m + n + 2 ) m !

m = 0

где z ₀ = kR 2/ 2, p = p R .

Структура выражений (5) и (9) аналогична и описывает картины дифракции, состоящие из набора концентрических световых колец. Причем, как в выражении (5) при стремлении а к нулю из всей суммы остается только первое слагаемое, также в выражении (9) при стремлении z к бесконечности остается только одно слагаемое, равное (8) при z=f .

× 1 F 2

m + n + 2

m + n + 4        ⎛ kR ρ

, n + 1, -

, n + 1, ⎜_{⎝ 2 f}

где 1 F₂ ( a , b , c , x ) - гипергеометрическая функция:

FUbcxV У (a)mxm 1F2 (a, b,c,x )= L               , m=0 (b ) m (c ) mm!

( a ) _m =r ( a + m )/ r ( a ) , ( a ) ₀ = 1, r ( x ) - гамма-функция.

Из выражения (5) следует, что картина дифракции представляет собой набор концентрических колец. При p = 0 в центре картины дифракции при любом n * 0 будет нулевая интенсивность. Так как комплексная амплитуда (5) зависит от комбинации переменных kR p ( 2 f ) , то радиусы p l локальных максимумов и минимумов картины дифракции должны удовлетворять выражению:

\Е\ 10

0       0,2     0,4     0,6     0,8 Р’Мм

Рис. 1. Радиальное сечение модуля амплитуды F_n ( ρ , θ ) дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СА

На рис. 1 показан рассчитанный по формуле (5) модуль амплитуды F n ( p , 6 ) в относительных единицах в зависимости от радиальной переменной. Эта кривая показывает радиальное сечение картины дифракции Фраунгофера плоской волны радиуса R = 2 мм и длиной волны 2 = 633 нм на СА с параметром а = 30мм ^{- 1} и n = 4. Фокусное расстояние линзы равно f = 140 мм.

p = f l    nR ’

3. Описание дифракции Фраунгофера на СА с помощью ряда из функций Бесселя

Вместо ряда (5), состоящего из гипергеометрических функций, можно получить для комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Фраунгофера плоской волны радиуса R на СА, выражение в виде ряда из функций Бесселя:

F n ( p , 9 ) =

( - i ) n ^{+ 1} k exp ( in 9 )

2 n f    ^x

(-i) n d!L да

-

0,5 <  p <  0,7 мм. Заметим также, что глобальный максимум интенсивности I n ( p , 9 ) = F_n ( p , 9 ) ² возникает при p > | а | (на рис. 1 точка p = | а | отмечена вертикальной линией).

Для слабого СА ( а Н <<  1) имеет место эффект снижения контраста периферийных колец дифракционной картины. Действительно, при малом а Н в ряду (5) можно оставить только первых два слагаемых:

+”             mL™ I

- exp(iaН) E im iRI1™    .   IJ™+„ (Rp)

™ =-^            да J

где n _ 2Г exp(inф^ф

I i = J =        ,

0 a + p cos ф

p = k p f , J_{m + n} ( x ) - функция Бесселя. Выражения для интеграла I n и производной д I n /д а из уравнения (11) можно получить в явном виде:

^I 1 ⁿ

⎧ 2 π sgn α

⎪        χ ⁿ ,0 <ρ<α ,

⎪ α ² -ρ ²

⎪π i ( β ^{* n} -β ⁿ ) ^⎪⎩ ρ ² -α ²

ρ>α ,

где

I ^е =

'

X =

. ■ —2      2

- а + рp - а

,

p

/ 2

- а + sgn а а - p p

sgn а =

1, а >  0,

^{- 1}, ^а <  0,

- 2 nX n •

а sgn а +

д I n = , да

( а ²

,0 <  p <  ю

п

ав в : i 'H ( в * n + в )

( p 2 - а 2 Г" p ² - а ²

, p > а .

При R →∞ выражение (10) приводит к уравнениям, описывающим дифракцию неограниченной плоской волны на СА, полученным в [14]. Из уравнений (12) и (14) также следует, что поле F_n ( p , 9 ) описывается разными функциональными зависимостями при 0 <  p < |а | и при p > |а | . Разный характер картины дифракции при изменении p от 0 до |а | и после |а| виден также из рис. 1. Интересно отметить, что пространственная частота картины дифракции на рис. 1 на интервале 0,1 <  p < 0,3 мм примерно в два раза больше, чем на интервале

Fn (p,9 ^-(-Ol

^{1 n + 1}e^{xp ( in 9} ) f kR iI x n x

n !

f

X

1 f n + 2 n + 4     ,    ₂ I

------1 F 2 1------ ,------, n + 1, - x I + n + 2 I 2     2              J

i a R     [ n + 3 n + 5     _    ₂ I

+         F) I ,, n + 1, - x I + ...

n + 3 ^{1 2} 1 2     2              J

,

где x = kR p ( 2 f ) . Первое слагаемое в уравнении (15) совпадает с выражением (8) – оно действительное, второе слагаемое в уравнении (15) – только мнимое. Поэтому интенсивность I n ( p , 9 ) будет пропорциональна сумме квадратов этих двух слагаемых. Это означает, что нули интенсивности будут иметь место в тех точках p , в которых оба слагаемых в выражении (15) равны нулю. Это приведет к снижению контраста периферийных колец картины дифракции.

в)                                г)

Рис. 2. Рассчитанные картины

дифракции Фраунгофера F_n ( p , 9 )

плоской волны

конечного радиуса на СФП n = 4 (а) и на слабом СА ( n = 4 ) (б) и соответствующие им радиальные сечения модулей амплитуды (в, г)

На рис. 2 показаны две рассчитанных картины дифракции Фраунгофера (2D модуль амплитуды |E n ( p , 0 ) , f = 140 мм) плоской волны конечного радиуса R = 2 мм с длиной волны X = 633 нм на СФП ( а = 0, n = 4 ) (а) и СА ( а = 1мм ^{- 1} , n = 4) (б). Размер обеих картин дифракции 0,45x0,45 мм. На рис. 2 вг приведены радиальные сечения модулей амплитуды картин дифракции, показанных на рис. 2 аб .

Из рис. 2 видно, что если при а = 0 число локальных максимумов (кроме главного) функции модуля амплитуды |F„ ( р , 0 ) в диапазоне 0 <ρ< 0,45мм равно 8, и большая часть минимумов равна нулю (рис. 2 в ), то при α= 1 мм ^{- 1} увеличивается число локальных максимумов амплитуды примерно вдвое, почти все минимумы не равны нулю, и поэтому контраст картины дифракции в области боковых лепестков существенно снижается.

• 4.    Описание дифракции Фраунгофера на СФП с помощью конечных сумм функций Бесселя

Чтобы получить выражение для дифракции Фраунгофера плоской волны радиуса R на СФП с целым номером n в уравнениях (10)-(14) следует положить а = 0. Тогда интегралы (12) и (14) существенно упростятся:

вых трех номеров n = 0, 1, 2 из (18) следуют про- стые выражения:

e _{0 w} ) =- «L . J «, fy

E 1 р0 ) = - ke^ppi" ' [ y J 0 ( t ) dt - yJ 0 ( y ) f p L 0

E ₂ ( p , 0 ) = ik expON [ 2 - 2 J 0 ( y ) - yJ 1 ( y )] .    (22)

f P

а)

IF |

I 1 ⁿ

⎧_⎪ 0, n = 2 m ,

⎨    2 π i ^{n + 1}

⎪- , n = 2 m + 1;

⎩ρ

∂ I ₁ ⁿ ∂α

^⎧ _⎪ 2 π i ⁿ n

⎨    ρ2

n = 2 m ,

0, n = 2 m + 1.

Подставляя выражения (16), (17) в уравнение (10), получим выражение для комплексной амплитуды дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СФП:

E (ρ,θ)=(-i)n+1kexp(inθ)× n ,                f ρ2

n

×

( n - 2 ) 2 1 - J ₀ ( y ) - 2 ∑ J _{2 m} ( y ) m = 1

- yJ_{n - 1} ( y ) , n = 2 m ,

y                      ( n - 1 ) 2

∫ J ₀ ( t ) dt - 2 ∑ J _{2 m - 1} ( y )

0                   m = 1

- yJ_{n - 1} ( y ) , n = 2 m + 1,

б)

IF!

где y = R p = kRp! f ,

y

J J 0 ( t ) dt = y { n J 1 ( y ) H 0 ( y ) + J 0 ( y )[ 2 - п Н 1 ( y )Ц , (19) 0 2

H 01 ( y ) - функции Струве нулевого и первого порядков.

Выражение (18) описывает дифракцию на СФП в виде конечных сумм функций Бесселя. Для четных и нечетных номеров СФП дифракционная картина описывается разными выражениями. Для пер- в)

Рис. 3. Рассчитанные модули комплексной амплитуды

|En (p, 0) от радиальной координаты при разных номерах СФП: n = 2 (а), n = 16 (б), n = 50 (в)

Выражение (20) описывает обычную картину дифракции Фраунгофера плоской волны на круглой апертуре радиуса R . На рис. 3 показаны рассчитанные модули амплитуды |En (р,0) радиальных сече- ний картин дифракции Фраунгофера (f = 100 мм) плоской волны радиуса R = 1 мм и с длиной волны 2 = 633 нм на СФП с номерами n = 2,16,50 .

Из рис. 3 видно, что с ростом n уменьшается контраст боковых лепестков модуля амплитуды. Минимумы модуля амплитуды боковых лепестков не равны нулю. Из уравнения (18) можно асимптотически оценить радиус первого кольца, на котором модуль амплитуды поля равен нулю. При р ^ от ( n=2m ) из уравнения (18) следует приближенное равенство:

| E . ( Р , 0 1 - k t yJ R f р

k        1 2 У . Г n + 1 )

----т n —. —sin l у-- п I

Ж п г ² j

В уравнении (23) воспользовались асимптотическим преставлением функции Бесселя при большом значении аргумента. Из уравнения (23) следует, что примерная зависимость радиуса р ₀, при котором имеет место первый нуль амплитуды E n ( р , 0 ) , имеет вид ( n >>1):

р0 -

2 fn ²

4 R

Из уравнения (24) видно, что зависимость радиуса для первого нуля амплитуды от номера СФП квадратичная. Это согласуется с рис. 3, так как видно, что с ростом n растет значение р ₀, при котором имеет место первый нуль амплитуды.

Из уравнения (18) можно получить рекуррентное соотношение, с помощью которого быстро и удобно рассчитывать комплексные амплитуды при разных n :

En +2 (р, 0) = - n+^ exP('20)En р 0) +

n

+ 2(- j)n+1R n±l exp[i(n + 2)0]Jn+11 k Rр I

р n               (f J

Рис. 4. Графики функций (n=2 (а) и n=4 (б)) из левой и правой частей в уравнении (26): толстая кривая – график функции E n ( р , 0 ) , тонкая кривая - график функции 2 R/р- ( n + 1 )/( n + 2 ) - J_{n + 1} ( kR pl f ) .

Параметры расчета: R=1мм, f=100 мм, λ=633 нм

Уравнение (25) верно для всех целых n . Из уравнения (25) можно получить уравнение, которому должны удовлетворять координаты р _т точек, в которых амплитуда поля E n _{+ 2} ( р , 0 ) равна нулю( n>0 ):

R Г n+11   Г kR^1

^E n ⁽р т ^{, 0} ) = ²---l J J n +1l^ m I .        ⁽²⁶⁾

рт I n + 2 J    ( f J

Из рис. 4 видно, что максимумы модуля амплитуды E n ( р , 0 ) почти совпадают с максимумами функции 2 R/р - ( n + 1 )/( n + 2 ) - J_{n + 1} ( kR ^ f ) , и наименьшая координата р ₀, при которой максимумы этих двух функций совпадут точно, и будет первым нулем амплитуды E n _{+ 2} ( р , 0 ) . Из сравнения рис. 4 а и рис. 4 б видно, что с ростом номера n увеличивается значение р ₀ .

Интересно сравнить уравнение (26) с уравнением [13], которому должны удовлетворять координаты р _s минимумов и максимумов амплитуды поля E n ( р , 0 ) :

Рис. 5. Графики функций из левой и правой частей в уравнении (27): толстая кривая – график функции I E n ( р , 0 ) , тонкая кривая – график функции

( kR ² )/( 2 f ) - J n ( kRр| f ) . Параметры расчета: n=14, R=1мм, f=100 мм, λ=633 нм

Из уравнения (27) видно, что для интенсивности основного (первого) максимума картины дифракции Фраунгофера имеет место неравенство:

венство для определения радиуса первого максимума амплитуды E_n ( p s , 9 ) :

| En ^p ,9 ) 2

где J0n = maxi Jn⁽y ) ² .

На рис. 5 показаны два графика функций из левой и правой частей уравнения (27) при следующих параметрах: n=14, R=1 мм, f=100 мм, λ=633 нм. Видно, что графики пересекаются в точках, в которых амплитуда E_n(p_s, 9) имеет экстремумы.

Из рис. 5 видно также, что координата ρv первого максимума амплитуды E_n(ps,9) (радиус воронки) находится между первым нулем производной функции Бесселя n-го порядка и между первым нулем самой функции Бесселя n-го порядка:

fYn ,1 kR

< Pv <

f/n ,1 kR

где γn,1 и γ’n,1 - первые корни функции Бесселя n -го порядка и ее производной: J_n(y„,1 )= JnYn,1 )= 0 . Из неравенств (29) можно получить приближенное ра-

pv »

М y

kR^{, n}

= Yn ,1 + Yn ,1

.

Интересно сравнить выражение (30) с аналогичным выражением для радиуса воронки, полученным в [13]:

Yn-1,1 f pv = , D , (31) kR где Yn—11 - корень функции Бесселя (n -1) -го порядка: Jn । (Yn-1,1 )= 0. В таблице показаны значения радиусов максимальной амплитуды (радиусов воронок) для n от 1 до 8, вычисленных с помощью уравнений (18) (первая строка), (30) (вторая строка) и (31) (третья строка). Радиус максимальной амплитуды с помощью уравнения (18) находился численными методами и считается более точным, а выражения (30) и (31) дают приближенное значение этого радиуса. Из Таблицы видно, что оба выражения дают примерно одинаковую оценку радиуса воронки (при R=1 мм, f=100 мм, λ=633 нм) с максимальной относительной ошибкой 4% (n>1), хотя выражение (31) немного точнее (максимальная ошибка 3%).

Таблица. Приближенные значения радиуса pvмаксимальной амплитуды En( (p,

N	1	2	3	4	5	6	7	8
ρv (мкм),ур. (18)	24,6	39,6	53,0	65,8	78,2	90,4	102,4	114,0
ρv(мкм),ур. (30)	28,6	41,2	53,3	64,9	76,5	87,8	99,1	110,2
ρv(мкм),ур. (31)	24,2	38,6	51,7	64,3	76,4	88,4	100,0	111,7

• 5.    Сравнение теории и эксперимента

Эксперименты по дифракции Фраунгофера плоской волны конечного радиуса на СФП проводились с помощью программируемого фазового жидко-кристаллического пространственного модулятора света (ПМС). Свет от аргонового лазера с длиной волны 514 нм коллимировался и падал на поверхность ПМС. Электрически управляемый нематический ПМС фирмы Seiko Epson с разрешением 640х480 пикселов имеет размер по диагонали 3,3 см. Пропускание ПМС было пропорционально функции (2) СФП с номером n=10 и α=0 мм^-1, а также СА с номером n=10 и α=11 мм^-1. На рис. 6 показаны картины дифракции Фраунгофера плоской волны на СФП (n=10) (а) и ее вертикальное сечение (б) и на СА (n=10, α=11мм^-1) (в), ее вертикальное сечение (г), зарегистрированные CCD-камерой в фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием f=100 мм.

Сравнивая рисунки 6б и 6г можно сделать вывод, что добавление слабого аксикона к СФП приводит к снижению примерно в 2 раза интенсивности пери- ферийных колец картины дифракции. Зарегистрированные интенсивности в вертикальном сечении обеих картин дифракции хорошо согласуются с теоретическими кривыми интенсивности.

Заключение

В работе получены аналитические выражения для параксиальной дифракции Фраунгофера плоской волны конечно радиуса на СА и СФП с произвольным целым n . Для СА комплексная амплитуда описывается либо рядом из гипергеометрических функций (уравнение (5)), либо рядом из функций Бесселя (уравнение (10)), а для СФП – конечной суммой из функций Бесселя (уравнение (18)). Причем комплексные амплитуды картины дифракции для СА описываются разными аналитическими выражениями внутри и вне некоторого радиуса (уравнения (12), (14)). Картина дифракции для СФП также описывается разными суммами для четных и нечетных номеров n . Численно показано, что при добавлении слабого аксикона к СФП контраст периферийных колец картины дифракции Фраунгофера существенно снижается.

Работа выполнена при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные ис- следования и высшее образование» (грант CRDF REC SA-014-02), а также гранта РФФИ 05-0850298.

Рис. 6. Картины дифракции Фраунгофера плоской волны на СФП (n=10) (а) и ее вертикальное сечение (б) и на СА (n=10, α=11мм-1) (в), ее вертикальное сечение (г), зарегистрированные CCD-камерой в фокальной плоскости сферической линзы с фокусным расстоянием f=100 мм.

A – эксперимент, B – теория. По горизонтальной оси – число пикселей ПМС, по вертикальной оси – относительные значения интенсивности