Динамическое моделирование волновой асимметрии

Предлагается новое направление в теории колебаний на основе динамического моделирования явлений, возникающих при действии продольной бегущей продольной и продольно-поперечной бегущей регулярной волны или отдельных волн импульсного характера на нелинейные динамические системы. Предлагаемые системы с динамическим возбуждением волновой асимметрии могут быть использованы для достижения полезных целей в области обогащения полезных ископаемых, теплоэнергетике и в ряде современных технологий в различных отраслях промышленности (абразивной, химической, фармацевтической, порошковой металлургии и др.). Физические механизмы и основные виды асимметрии динамической системы обусловливают возникновение полезного эффекта – наличие сухого трения, характеризуемого коэффициентом трения f₁ , и наличие одного из ряда видов асимметрии: гармонических колебаний по прямолинейной траектории под углом к механической системе; продольных бигармонических асимметричных колебаний; продольных асимметричных колебаний с локально-постоянным колебательным ускорением [1]. В разделительных процессах используется различие в коэффициентах трения, крупности, форме минералов и частиц. Усредненные опытные данные зависимости величины f 1 выражены:

f ₁ = 0,9 ⋅ 10 ^{- 0,001 D}                                                  (1)

Fa /(mg)=7,46⋅D-0,24 -1,68                                  (2), где D – размер зерен частиц, Fa – сила адгезии в долях силы тяжести mg.

В случае прямолинейных гармонических колебаний под некоторым углом β к динамической системе, отличным от нуля и от 90 ⁰ , частицы испытывают действие сил тяжести, нормальной реакции, трения и инерции. При нормальной реакции, равной нулю, движение частицы происходит в режиме с полетом и описывается системой линейных дифференциальных уравнений. Решая систему уравнений путем определения фазовых углов, при которых происходит непрерывный полет частиц, ограничимся записью конечных формул для расчета режимных параметров и технологических факторов разделительных процессов. W o = Aw ² sin β/(g cos α) – коэффициент режима работы аппарата, обеспечивающий непрерывный полет частицы, где A – амплитуда гармонических колебаний, ω – угловая частота, β – угол колебаний, g – ускорение гравитации, and α – продольный наклон механической системы. Режим с непрерывным и интенсивным подбрасыванием частиц обеспечивается при фазовых углах, при которых происходит отрыв _{cos δ} ^* ₌ ^{π p 1 + R} and _cos δ ^* ₌ ^{π p 1 + R} _{cos ε} для двух воз-

0 W01+R           0 W01+ R можных типов аппаратов (с двухскатной и односкатной механической системой), где λ и R – коэффициенты мгновенного трения и восстановления соответственно; коэффициент p определяет режим непрерывного полета частицы, ε – поперечный наклон системы. Формулы скорости движения частиц в направлении продольного и поперечного осей x и z (ς) для аппаратов первого (3), (4) и второго (5), (6) типов приведены ниже:

πpg 1 - R2

Vx =     (     ctgβcosα-      sinα)(3)

x ω 1+R

π pg 2 - λ 1 - R

Vς =     (      - )cos αsin ε(4)

ω λ 1 + R

В.Д. Анахин. Динамическое моделирование волновой асимметрии

πpg 1 - R2

V =     (     ctgβcos αcos ε -      sin α)(5)

x ω 1+R

π pg 2 - λ

Vς =           cos αsin ε(6)

ωλ

Критическое колебательное ускорение, при котором частица в состоянии полета будет:

W1+R W1+R                                λ 1-R cos δ0 = ± 1 , т.е. p = 0 и p =    0       . Преобразуя (3–6), имея q =           , получим следующие

π 1 - R      πcos ε1 - R                               2 - λ 1 + R формулы скорости для аппаратов первого (7), (8) и второго типов (9), (10):

Vx = Aω(cos β- sn βtgα)(7)

q

Vz = Aωsinβsinε(1 - 1)(8)

q

Vx = Aω(cosβ- sinβ tgα)(9)

q cos ε

Vz = Aω sinβ(10)

q cos ε

Дифференциальные уравнения траектории движения частиц для аппарата первого типа (11) и второго типа (12) представляются в виде:

dz Vz (1 - q ) sin ε dx Vx qctg β - tg α

dz Vz      sinε dx Vx qctgβcosε-tgα

Механическая система характеризуется длиной l в продольном направлении и шириной b в поперечном направлении. Разделяющая способность аппаратов определяется изменением составляющих перемещения по продольным и поперечным осям аппаратов первого (13), (14) и второго (15), (16) типов в виде:

d	dx	b ctg β - tg α z = b =
x I	dq	sin ε  (1 - q )2
dz	l	l      ctg β - tg α
d =		= sin ε
	x =
z I    dq	2	2     (qctg β - tg α ) 2

DxII = dctgεctgβ l    sin2εctgβ

^II   4 (qcos ε ctg β -tg α )²

Из полученных формул следует, что условия максимального разделительного процесса для обоих типов аппаратов реализуется при qctgβ/ tgα and q cosε ctgβ/ tgα = 1. Следовательно, угол, при котором достигается максимальное извлечение фракции, аппаратами первого (17) и второго типа (18) достигается для величин α0λ = arctg(qctgβ)

α _{0 λ} = arctg ( q cos ctg β )

Параметр q – аналог коэффициента трения f и зависит от формы и крупности частиц.

Уравнения движения для продольной бигармонической волны имеет вид [2]:

S = - A sin ω t - 2 sin(2 ω t + ϕ )

u = - A ω [ cos ω t + γ cos(2 ω t + ϕ ) ]

W = A ω ² [ sin ω t + 2 γ sin(2 ω t + γ ) ]

где S, u, W – соответственно, амплитуда, скорость и ускорение колебаний, φ – сдвиг фаз двух синхронных гармонических колебаний, γ – отношение амплитуды второй гармоники B к амплитуде первой A.

ной скорости u/Aω как функцию безразмерного времени ωt на отрезке 2π нанести прямые с наклоном fg

δ = ±      , коррелируя с наклоном в плоскости u/Aω -ωt, получим:

Aω2

V = Aω ⋅ F(δ,γ,ϕ)(22)

2 π

Для расчета скорости по (22) продольного перемещения частицы бигармонической волной необходимо, чтобы сила ее инерции превзошла силу трения за счет критического ускорения

δ = g (±f cosα- sinα)(23)

A ω ²

При наклоне системы α эффективность зависит только от коэффициента трения f :

a0 =16,2f+0,6(24)

Результаты исследований приведены в таблице.

Таблица

Волновая асимметрия продольных бигармонических колебаний

Параметр	Диапазон регулирования
Коэффициент трения система – частица f	0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8
Амплитуда колебаний A	0.4 – 4.0 mm
Сдвиг фаз двух гармоник φ	0 – 2π radians
Частота колебаний ν (ω = 2πν )	25 – 100 Hz
Отношение амплитуд колебаний γ	0.1 – 2.0
Продольный угол наклона системы α	0; 4; 6; 8; 10; 12; 16 º ( a set of α for βº=0)
Угол колебаний β	0 – 50º ( ряд 0 – 30º )

Выводы

В соответствии с концепциями гармонических и негармонических асимметричных колебаний динамической системы предложен ряд формул скорости, на основе которых возможно определение качественноколичественных показателей разделительного процесса, так как перемещение массы частиц приобретает определенную закономерность. Каждая из формул отражает суть отдельных явлений сложного процесса и базируется на соответствующих гипотезах. Сравнение формул показывает, что по структуре они аналогичны, хотя в основу их положены различные предпосылки, следовательно, разносторонний подход к оценке процесса приводит к правильности выбора метода познания закономерностей и к аргументированным выводам: выполненная теоретическая работа в области использования волновой асимметрии показывает перспективность применения обоих методов в современных технологиях и в различных отраслях промышленности.