Динамическое программирование в нелинейных моделях управления материально-производственными запасами предприятия

Экономика России в настоящее время испытывает значительные трудности, которые были спровоцированы обесцениванием рубля, введением государственных санкций в отношении России западным странами, снижением цен на нефть и т. д. Подобные условия требуют пересмотра основных целей управленческой деятельности, а также методов, которые способствуют их эффективному достижению. Ни одно предприятие не способно вести свою деятельность без достаточного объема материально-производственных запасов. Обусловлено это тем, что запасы различного рода играют важную роль в функционировании любой экономической системы и возникают, соответственно, практически во всех звеньях народного хозяйства. То есть, основные результаты производственной деятельности предприятий во многом определяются объемом и уровнем запасов.

Эффективное управление запасами -это один из важнейших факторов повышения эффективности деятельности производственных предприятий. Поэтому в условиях рыночной экономики предприятия должны стремиться к эффективному управлению движением материальных и финансовых ресурсов, а именно управлению процессами снабжения, сбыта и оборотными средствами, которые вкладываются в эти запасы.

На актуальность данной темы, указывает тот факт, что проблему распределения ресурсов можно отнести к «вечным», так как ресурсы по своей природе всегда ограничены. Их, так или иначе, необходимо распределять на различные нужды предприятий постоянно и на всех уровнях. Также стоит отметить, что всегда остается актуальной тенденция разработки и практического приложения всевозможных методов оптимизации, в том числе и экономико-математических, для эффективного управления распределением запасов.

Решение экономических задач на основе метода динамического программирования актуально и в настоящее время. Как правило, математические модели для описания экономических процессов должны рассматриваться для реальных ситуаций. Зачастую переменные величины, характеризующие данные процессы, связаны между собой нелинейными законами. К задачам нелинейного распределения, решение которых рассматривается как многошаговый процесс, и применяется метод динамического программирования [1].

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности. Суть его заключается в том, что оптимальное поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны со- ставлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.

Рассмотрим стратегию оптимального использования заемных средств на предприятии. Они могут использоваться, например, для покупки нового оборудования при расширении производства или же для финансирования текущей деятельности в качестве вложений в оборотные активы предприятия.

Данный подход представляет собой построение оптимизационных задач, учитывающих специфику деятельности предприятия, предпосылок исходных данных, а также требующих необходимой точности полученных решений. В их постановке задействован углубленный набор ограничений. В основе этих задачах лежат предпосылки о зависимости цены и переменных издержек от объема выпускаемой продукции, а также о зависимости цены ресурса от объема его закупки [2].

Динамическая детерминированная модель управления заемными средствами предполагает оценку фактора времени для учета изменений основных показателей в разные периоды времени. Поэтому целевую функцию можно выразить как ^ \ t , x , y ( t ) ] , то есть маржинальный доход от единицы выпущенной продукции i в момент времени t при заданной производственной программе X = ( X ,,..., Х_п ) и внешних условиях, которые задаются вектором y ( t ). К внешним условиям относятся такие факторы, как уровень инфляции и безработицы, цены на энергоносители и т. д. Решение оптимизационных задач с использованием данной модели предполагает определение x, ( t ) - интенсивности выпуска продукции i -го вида в момент времени t . А объем выпуска продукции i -го вида за интервал времени ( 0, T ) составляет

T

• x, = j x, ( t ) dt [3]. о

Рассмотрим элементы, формализующие динамическую детерминированную модель [4]:

• 1)    Целевая функция, максимизирующая маржинальный доход

nT lj At, x, y (t)] xt (t)dt ^ max (1)

i = 1 0

• 2)    Ограничение на объем материальнопроизводственных запасов

ЕМ <  L + Z j , j = 1, m ,    (2)

i=i где L - объем наличных материальнопроизводственных запасов j-го вида;

z - объем дополнительных материально-производственных запасов j -го вида.

• 3)    Условие на равномерную загрузку производственных мощностей

n ^t

Е Tj(x)f xi(t')dt' < 7 kTi,vt e (0, T) 1 = 1j,

i=1          0                  T где k - количество оборудования вида j;

тj - эффективное время использования единицы оборудования j -го вида.

• 4)    Ограничение интенсивности использования производственных мощностей

n

Е j x ) x , < T i k i , l = 1, j , V t e (0, T ) (4) j = 1

• 5)    Ограничение спроса на продукцию

x i ( t ) <  Ipt i [ t , x , y ( t ) f, ( t , x , y ( t ) ) ], V t e (0, T ) ,   ⁽⁵⁾

где Ipt i [ t , x , y ( t ) f ( t , x , y ( t ) ) ] - интенсивность спроса на продукцию i -го вида;

f [ t , x , y ( t )] - интенсивность продаж.

• 6)    ограничение на закупки материальнопроизводственных ресурсов в пределах объема заемных средств

^> a [z , x , y ( t * )] <  V , V t ■ (0, T ), (6) j = 1

где a j [ z , x , y ( t _M )]

стоимость матери-

ально-производственных запасов, которая зависит от объема реализации продукции, объема закупок и момента закупки t _ц .

Решение задачи (1) – (6) осуществляется с помощью разбиения интервала времени ( 0, T ) на подинтервалы (0, t *), ™ ,( t^{N - 1}, T )и решения нелинейной статической задачи управления заемными средствами на каждом таком подинтервале. Решение динамической задачи образуется путем слияния решений на всех временных промежутках вида ( t jj , t j _ч1) [5].

Рассмотрим процесс разбиения более подробно. Для этого детализируем модель (1) – (6). Укажем, что на данных интервалах маржинальный доход ^ [t, x, y(t)], q = 0,1,..., N — 1 - величина, не зависящая от времени, а интенсивность производства x' (t) остается постоянной для любого периода времени t из отрезка [tq,tq+1 ]. Интенсивность спроса и отпускные цены на продукцию тоже остаются постоянными, то есть Ipti {[t, x, y(t), ft (t, x, y(t))]} = const. Производственная программа выпуска продукции задана вектором xq = (x',...,xq),q = 1,2,™,N. Теперь данную динамическую модель (1) – (6) можно сформулировать в виде статической оптимизационной задачи:

Максимизация целевой функции

n

S tf ^{[ x} q y ⁽ t ^{)] x} q ^ ^{max      (7)}

i = 1

Ограничение объема материальнопроизводственных запасов с учетом запасов прошлого периода

n

S x q i₈ < L';’ + z q    (8)

i = 1

Ограничение интенсивности использования производственных ресурсов

n

S T , (. x ^q ) x q <  T’ k i    (9)

i = 1

Ограничение спроса на продукцию

S x q < pt q [ x^q , y^k ( t ), f i ( x^q , y ( t )] (io)

Ограничение на закупку материальнопроизводственных ресурсов в пределах объема заемных средств

M

S z q ^{a q} < n ■  (11)

В отличие от рассмотренной модели стохастическая модель оптимального управления заемными средствами предполагает, что цена реализации продукции и спрос на нее являются не заданными, а случайными величинами. В свою очередь в данной модели появляется дополнительное ограничение на риск закупок. Одним из необходимых условий использования модели является большая накопленная статистика, а это существенно усложняет процесс ее построения. Поэтому если оно не выполняется, то целесообразнее использовать динамическую детерминированную модель [6].

Таким образом, целевая функция стохастической модели оптимального управления имеет вид nT

S J Vi [ t , x , y ( t ) ] x_z - ( t ) dt ^ max ,    (12)

i = 1 0

где V [ t , x , y ( t ) ] — математическое ожидание случайной функции V [ t , x , y ( t ) ], которая рассматривается как случайный процесс;

V [ t, x, y (t)] x (t)  - интенсивность денежного потока в момент времени t.

Ограничение объема материальнопроизводственных запасов n

S l ij x i <  ^{L + z} j , j = 1, m . ⁽¹³⁾ i = 1

Ограничение на производственные мощности n

£ T „ ( X ). г , <  т , к , , l = k .        (14)

i = 1

Ограничение спроса на продукцию x, (t) < Ipt, [t, X, y(t) f , (t, X, y(t))], Vt e (0, T) .

Ограничение на закупку материальнопроизводственных ресурсов в объеме заемных средств

]>« j [ z , X , y ( t _A )] <  V .     (16)

j = 1

Ограничение (16) можно представить в другом    виде.    Если    равенство

n

Zt, =£ l,« [z, x, y(tM)] выражает перемен-i=i ные затраты на производство единицы

n продукции i-го вида, то Zt = ∑ Zt x ≤ V – i=i ограничение на закупку ресурсов в преде-x Zt лах кредита. А σ = i i показывает долю заемных средств, потраченную на приобретение материально-производственных запасов для производства продукции i-го вида за все время [7].

Таким образом, теперь можно сформулировать условия, которые ограничивают риск и являются дисперсией маржинального дохода:

• а)    в пределах допустимых значений

£ y , ^2[ t , x , y ⁽ t >1^; + 2 £V cov , ^[ t , x , y ⁽ ti\ ^a/7 < D , (17) i = 1                                      i = 1 , > j

£ a , <  1, a , > 0, V t e (0, T ) = 1

где υ – дисперсия случайной величи ны, то есть маржинального дохода ϕ ;

cov1? - ковариация доходностей i-го и j-го продуктов.

• б)    относительно минимаксного критерия

  D (18)

  
  

minmax £ ц ² [ t , X , y ( t )] a , ² + 2 ]] cov j [ t , X , y ( t )] ст , о , . <  xt

n

£ a , < 1, a , > 0, V t e (0, T )

Если же в модели (12) – (18) величины a , T , pt, также являются случайными, то необходимо ввести дополнительные ограничения:

D( « j ) <  D 2 ,

D [ T ( X )] <  D 2 , D { Ipti[ t , f ( t , X , y ( t )]} <  D з ( t ), t e (0, T )

,

где   D{ Ipt, [ t, f (t, x , y (t)]} -  дисперсия случайной функции Ipt, [t, f (t, x, y(t)].

Решением задачи (7) – (19) является выбор таких производственных стратегий X = ( Xj , _ , X_n ), интенсивностей реализа-

T ции x, (t)/ x, = j x, (t)dt и векторов закупок 0

Z , которые будут максимизировать функционал (12) при заданных ограничениях (13) – (19).

Подводя итог, можно сказать, что сформулированная модель – это многокритериальная задача максимизации функционала (14) с ограничениями на количественные оценки риска доходности производственной программы, риска недостатка производственных мощностей при выпуске продукции по выбранной производственной программе, риска недопроизводства и риска недостатка заемных ресурсов для обеспечения производства необходимыми            материально производственными запасами.

Таким образом, была получена стохастическая нелинейная задача оптимального управления заемными средствами при выпуске и реализации предприятием продукции, в основе которой лежит задача максимизации ожидаемого маржинального дохода с ограничениями на объемы производства, производственные мощности, спрос на продукцию, заемные средства и потенциальные риски превышения случайными переменными модели их допустимых значений.

Решение сформулированных задач позволяет повысить качество управления финансовыми ресурсами предприятия и в частности определить благоприятные ус- ловия для осуществления предприятиями эффективной деятельности, направленной на обеспечение финансовой устойчивости.