Динамика доходности портфеля

Связь любой теории с фундаментальной наукой всегда приводит к удивительным аналогиям. Одним из разделов фундаментальной науки является теоретическая механика как наука об общих законах движении в самом широком смысле этого понятия, в которую включается наряду с классической механикой квантовая. Опираясь на вероятность, квантовая механика использует такие понятия как математическое ожидание и дисперсия, которые положены Г. Марковицем в оценки доходности и риска финансовых операций.

Рассмотрим портфель [1] как набор ценных бумаг xi = (х j| j 6 Ni = {1, 2, ..., ni), каждая из которых имеет доходность ai = (aj| j 6 Ni), который в процессе функционирования на временном промежутке T = [ t o, t ] определяется тремя составляющими: i = 0 - бумаги, находящиеся в портфеле без движения; i = 1 - бумаги, приобретаемые из вне в момент времени t = to; i = 2 - бумаги, реализуемые на внешних финансовых рынках в момент времени t.

Запишем средние характеристики бумаг:

Qi=1 У  а^ =т^’ т1=1У  а1’ х1=У  Pixi’  Pi

Щ ^jeNi                  Щ*—ЧеП1        ^—i jeNi

= oL mi и от аффинного пространства An перейдём в векторное пространство Rn с учтём проекционных свойств отвечающих пространств (n 1, n2 < n),

Q = Qe = mx, x = У    xjej, e = У    ej,    ek- el = ^kl,

Д-i jeN              i-i jeN и наделением последнего евклидовой структурой

llxll = (У Pj(xjy\  , pj >0, У   pj = 1.

\^—' jeN      /             ^ jeN

Предположим, что в момент времени to доход F(to) определяется доходностью Q o, аккумулированной в бумагах x o портфеля, и доходностью

Q 1 = m ₁Д x 1 бумаг Д x 1 , приобретённых на финансовых рынках, т.е.

F(t0) = Q0 + Q1= moxo + m^x1.

Допустим, что в период наблюдения T часть бумаг портфеля была реализована на финансовых рынках с доходностью Q2 = m2Дx2 и изменилась доходность портфеля, которая составила величину Q = mx, где m = m o + Д m o, x = xo + Дх 1 - Дх2. Таким образом, к концу периода финансовой активности на временном отрезке T доход составил величину

F(t) = Q + Q2 = (т0 + Дт0)(х0 + Дх1 - Дх2) + т2Дх2,

Доходность портфеля с учётом ситуации на финансовых рынках составит величину

t

S = F(t) - F(t₀) =

J Ф(t)dt.

^t o

Здесь временной интервал можно полагать достаточно малым. Более того, считать возможным переход к пределу при t ^ to. Поэтому выполнение описанных выше операций отнесём к достаточно малому временному интервалу (исходя из теоремы о среднем значении определённого интеграла) приближённым равенством

S = F(to + At) - F(to) « Ф(t0)At.

Функция Ф (to) будет финансовым усилием по изменению доходности при движении бумаг на данном временном промежутке, а функция S будет импульсом финансовой активности по отношению бумаг портфеля в этом временном интервале с учётом активности рынков. При подстановке исходных данных для импульса получаем выражение, которое после преобразований принимает вид (полагая mo = m)

S = Amx0 — (m1 — m)Ax1 + (т2 — m)Ax2 + Am(Ax1 — Ax2).

Пренебрегая последним слагаемым как малой более высокого порядка, в силовом варианте приходим к уравнению

G: (Amx0 — sj^ + sj^ — Ф = 0), s^m^m, i = 1,2.

At 0    1 At     2 At                 i      i     >

В связи с малой длиной интервала будем считать, что данное уравнение справедливо при любом t E T и содержащиеся в нём функции одновременно определены при любом значении временного параметра из интервала T.

Переходя к средним величинам, в предельном случае

G = lim E(G)

At^O относительно доходности портфеля получаем дифференциальное уравнение

dm    dx1

: X dt   S1 dt

d x2

+ S2~T~

2 dt

— Ф = 0,

из которого при покупке либо продаже бумаг следует dm      (-1)rsrdx

dt                 dt ’            , ■

Последнее уравнение получено И.В. Мещерским в 1897 году для описания движения точки переменной массы, а предыдущее обобщённое уравнение было опубликовано им в 1904 году [2, стр. 47 - 50]. При отсутствии в промежутке T силового импульса приходим к уравнению xdm = (-1)rsrdx, интегрируя которое при начальных условиях x = x o, m = m o и постоянном дисконте sr, получим m = mo + (-1)r-1srln(xo/x).

Предположим, что в рассматриваемом периоде, располагая собственными бумагами xk было привлечено xa (r = 1) бумаг, которые к окончанию данного периода были проданы и на начало следующего цикла остались только исходные бумаги. Тогда xo = xk + xa и предыдущее равенство принимает вид m = mo + s1 ln

(1+г> ^хк'

Это известная формула К.Э. Циолковского для расчёта допустимой скорости ракеты в момент полного выгорания топлива, опубликованную в 1903 году. Из неё следует, что если xk - основные бумаги портфеля, а xa - "оборотные" бумаги, то доходность портфеля будет зависеть только от оборотных бумаг и их доходности.

Предположим, что во временном промежутке T доходности mi и m2 не меняются, и xi = ^ it, i = 1, 2, x = x o и Ф = const. В таком случае уравнение И.В. Мещерского будет линейным дифференциальным уравнением первого порядка dm dt

pm = /,

где введены обозначения:

= ^2-^1

Р       X '

Ф + С^ - С2^2 X

■

Удовлетворяющее начальным условиям m = m _o решение принимает вид

m(t) = (т0 + a)ept — а,

а=-. р

Здесь, в условную единицу времени T ,

a) mi , ^i (i = 1, 2) - средняя доходность одной бумаги и количество приобретаемых и реализуемых на рынке бумаг;

b)

x _o, m _o - средние величины количества бумаг и средняя доходность одной бумаги портфеля.

Уравнение И.В. Мещерского, в частности, линейное дифференциальное уравнение, можно положить в основу процессов экстраполяции и интерполяции, если временной интервал T, включающий прошлое, настоящее и будущее представить в виде объединения

Т = У  тк

^ kENo интервалов Tk = [tk, tk+ 1], на каждом из которых функцию S(Tk) рассматривать в качестве финансового удара. Получим кривую, состоящую из экспоненциальных сплайнов, которую можно положить в основу анализа и корректировки действий управления портфелем.