Динамика показателя валового внутреннего продукта: анализ с позиций теории случайных процессов

Показатель валового внутреннего продукта (ВВП) в силу глобализации современных международных экономических отношений и, как следствие этого, элиминирования национальной идентификации факторов производства отдельных стран, к настоящему времени приобрел значение одного из основных макроэкономических показателей в системе национальных счетов (СНС). При этом представляется очевидным, что, в общем случае, макроэкономические показатели являются случайными функциями времени [1], [2]. Стохастичность природы макроэкономических показателей недвусмысленно следует также из теории экономических циклов Й. Шумпетера [3] и результатов исследований Е.Е. Слуцкого [4].

Исходя из теории деловых циклов Й. Шумпетера А.А. Акаевым впервые предложена математическая модель с использованием аппарата марковских случайных процессов размножения и гибели для анализа потока случайных событий размножения и гибели предприятий [5].

В данной же статье автор предлагает трактовать непосредственно кривую цикла во времени как ансамбль стохастических колебательных процессов:

4           4 к

ВВП(О = ^Е^= ^^1^

t=l        t=l v=i       где t – время;

E i (t) – совокупный макроэкономический циклический процесс (МЦП), характеризующийся средним периодом цикла Т ц (для цикла Кондратьева Т ц,к ≈ 50 лет; для «строительного» цикла С. Кузнеца Т_ц,с ≈ 21,5 года; для среднего (нормального) цикла Т_ц,н ≈ 5,5 года; для малого цикла Китчина Т_ц,м ≈ 2,5 года);

i – номер составляющей ВВП, например, при исчислении ВВП по методу конечного использования i = 1, 2, 3, 4;

ν – порядковый целочисленный номер элементарного (единичного) колебательного процесса (ЭКП), т.е. l _iν(t) с периодом, кратным периоду Т ц .

В выражении (1) имеется ввиду, что:

ВВП(t) = Z 4=1 E_t(t) = £- 1 (t) + E 2 (t) + E 3 (t) + E 4 (t)A E i (t) = C(t);

E 2 (t) = Igross(t);

E 3 (t) = G(t);

E 4 (t) = X_n⁽t).

где С(t) – МЦП потребительских расходов домохозяйств;

Igross(t) – МЦП валовых инвестиционных расходов;

G(t) – МЦП государственных закупок;

X n (t) – МЦП чистого экспорта.

Для дальнейшего анализа применим математическую модель, описывающую циклический колебательный процесс с разложением в ряд Фурье [6, 7]:

l i ⁽t) = Z ”=i l iv Qt) = Z ”=i ⁽A_v cos v^t + B_iv sin vwt),           (3)

где А iν , B iν – коэффициенты ряда Фурье для единичного ЭКП;

ω – циклическая частота процесса, равная ω = 2π f , где

• f ^ и ^    2tt • Т Ц, _Ср .

Отсюда, кстати, имеем, что частота большого кондратьевского цикла является величиной порядка f ≈ 0,02 лет ^-1 .

Запишем выражение для стохастического единичного в макроэкономическом смысле ЭКП как функции времени:

l_iv = E_imv • siii(vo)t + ^          (4)

где Е imν – значение экстремума i-той функции на периоде ЭКП;

• φ_iν – начальный временной сдвиг ЭКП относительно начала МЦП.

В выражении (4) величины Еimν и φiν суть случайные величины, поскольку – и это очевидно – они зависят от множества факторов, включая не только, скажем, волатильность курсов валют, ценных бумаг, колебания цен, действия правительств, но и природные факторы, человеческий фактор и т.д.

Пусть указанные величины (например, потребительских расходов домохозяйств и соответствующих начальных временных сдвигов данных

ЭКП) есть случайные, равновероятные в интервалах, соответственно, от минимальных до максимальных значений для Е imν и в диапазоне ± φ iν0 для φ_iν.

Запишем выражение для ЭКП через синусные и косинусные составляющие:

Z_iv = E_imv • sin vtot • cos

iv

+ E_imv • cos vtot • sin <_iv;' ^E imv • ^cosV iv ^ iv ;

^E imv • ^sin< iv     ^B iv ^.

Математические ожидания случайных величин Аiν и Biν определяются как:

гmax ,_Pmm ■        A

M14J = M[E imv- cos< iv ] = ^E-^v +^E ‘" • s^ ;

²           < iv 0

M[B i" ] =M[E imv • sin< iv ] =

pmax ,pmin

^Eimv ^+Eimv   ^cos < iv 0

--Й.

Здесь принято, что величины Е imν и φ iν суть пара независимых друг от друга случайных величин.

В свою очередь, математическое ожидание стохастического единичного ЭКП можно найти из выражения:

M[Z_iv] = M[E_imv • sin(vtot + <_iv)] = M[A_iv] • sin vtot + M[B_iv] • cos vtot (7)

При этом одномерная плотность вероятности единичного ЭКП определяется из уравнения:

max

^M[^ iv^] — fp min   ^ iv • P 1 ⁽^ iv ^{; t}'⁾^l iv ,

Eimv

где ρ 1 ( l 1ν ; t) – одномерная плотность вероятности единичного стохастического ЭКП.

В результате достаточно громоздких преобразований получаем, что:

1  .     E ™vX +E ™vn     _ sin (vtot + _Vi v 0 )

< iv0   (E^ ^-Em )‘ ^Eimv  Sin 2^(vtot +< iv0 )

Дальнейшее  исследование  на стационарность  и  эргодичность показывает, что  стохастические единичные ЭКП  со случайными

экстремумами Еimν и временными сдвигами относительно начала большого макроэкономического цикла φiν (распределенными по равномерному закону) есть нестационарные неэргодичные процессы. А это означает, что макроэкономическая функция показателя ВВП во времени как ансамбль стохастических процессов Еi(t) (1) нестационарен и неэргодичен. Следовательно, анализ и прогнозирование показателя ВВП есть задача анализа и прогнозирования стохастического процесса, которая должна решаться методами теории случайных процессов. При этом можно говорить лишь о вероятностной оценке значений ВВП и его составляющих, т.е. об оценках математического ожидания и среднеквадратического отклонения ВВП как функций времени, и других вероятностных характеристиках процесса.

Следует также отметить, что анализ взаимной корреляционной функции между каждой парой составляющих совокупных МЦП показывает, что между ними имеется отрицательная корреляционная связь.

Предлагаемый автором настоящей статьи подход справедлив и для вариантов определения ВВП по доходам и по добавленной стоимости. Данный подход может быть использован также при анализе и прогнозировании других показателей СНС. В отличие от детерминистского подхода анализ и прогнозирование такого ключевого макроэкономического показателя, как ВВП, с позиций теории случайных (стохастических) процессов позволяет более системно и адекватно учитывать природу рыночных сил и их влияние в динамике на макроэкономическую структуру совокупного продукта, с одной стороны, и влияние на нее (структуру совокупного продукта) экзогенных факторов, с другой. При этом важно учитывать непрерывность и ЭКП, и МЦП как функций времени.