Динамика ротора двигателя-маховика в электромагнитном подвесе

Введение. В настоящее время в двигателях-маховиках применяются, главным образом, шарикоподшипниковые опоры. Наличие механического контакта в шарикоподшипниках приводит к износу дорожек качения, вибрациям ротора, увеличению момента сопротивления вращению, необходимости смазки в зонах контакта шариков с кольцами подшипника [1].

Для устранения указанных недостатков в ряде случаев используется активный магнитный подвес ротора двигателя-маховика [1–3]. Преимущества магнитных опор – отсутствие механического контакта вращающихся и неподвижных частей двигателя-маховика, уменьшение вибраций ротора и, как следствие, возмущающих сил, генерируемых двигателем-маховиком, а также момента сопротивления вращению. Другим достоинством является возможность управления жесткостью и демпфированием подвеса [1; 2; 4]. Кроме того, нет необходимости в смазке.

На этапе проектирования при рассмотрении динамики ротора в магнитном подвесе необходимо определить силы, требуемые для удержания ротора в подвешенном состоянии, зазоры между вращающимися и неподвижными частями двигателя-маховика, резонансные зоны в диапазоне рабочих угловых скоростей ротора [1–5].

Расчет указанных характеристик осуществлялся для двигателя-маховика с кинетическим моментом Н = ±1 Н·м·с при различных значениях коэффициентов жесткости c и демпфирования b , а также диапазонах частоты вращения ротора 0– n max , где n max равняется 9 000, 10 000, …, 18 000 об/мин. В статье приведены результаты расчетов только для двух диапазонов частоты вращения ротора: n max1 = 9 000 об/мин и n max2 = 18 000 об/мин.

На схеме магнитного подвеса ротора двигателя-маховика (рис. 1) l – расстояние между радиальными магнитными подшипниками; e – эксцентриситет ротора; Δ – зазор между вращающимися и неподвижными частями двигателя-маховика [1; 6; 7].

Рис. 1. Схема магнитного подвеса ротора двигателя-маховика

Поскольку расчет проводился для различных диапазонов частоты вращения ротора 0– n max , то для каждого диапазона определены массогабаритные характеристики ротора исходя из требуемого значения осевого момента инерции J о = Н / ω max , где ω max – максимальная угловая скорость ротора. Расчет экваториального момента инерции J э и массы М ротора в зависимости от максимальной угловой скорости ротора ω max (осевого момента инерции J о ) осуществлялся с помощью разработанной предварительной параметрической трехмерной модели ротора (рис. 2). Изменяемыми параметрами данной модели являются наружный D и внутренний d диаметры и ширина h обода ротора.

Результаты расчета массогабаритных характеристик ротора для диапазонов n max1 = 9 000 об/мин и n max2 = 18 000 об/мин приведены в таблице.

Силы и зазоры в магнитном подвесе определяются амплитудой колебаний вращающегося ротора, вызванных наличием остаточной неуравновешенности.

Амплитуда колебаний центра масс ротора под действием статической неуравновешенности [1; 7]

4 c ² + 4 b ² to²

А C

= e ------------2---------

^ ( 2 c - M to² ) + 4 b ² to ²

где ω – угловая скорость ротора.

Расчеты проводились при следующих значениях коэффициентов жесткости c и демпфирования b :

– для диапазона ω max1 = 9 000 об/мин:

с 1 = 1·10⁴ Н/м; с 3 = 2·10⁵ Н/м; b 1 = 10 Н·с/м; b ₃ = 30 Н·с/м;

с 2 = 5·10⁴ Н/м; с 4 = 4·10⁵ Н/м;

b 2 = 20 Н·с/м;

b ₄ = 40 Н·с/м;

– для диапазона ωmax2 = 18 000 об/мин:

с 1 = 5·10⁴ Н/м; с 3 = 5·10⁵ Н/м; b 1 = 30 Н·с/м; b 3 = 60 Н·с/м;

с ₂ = 2·10⁵ Н/м;

с 4 = 1,5·10⁶ Н/м;

b 2 = 40 Н·с/м;

b 4 = 80 Н·с/м .

Из графиков зависимости амплитуды радиальных колебаний ротора, вызванных наличием статической неуравновешенности, от частоты вращения ротора при различных коэффициентах жесткости c и демпфирования b (рис. 3) видно, что для исключения явления резонанса в рабочем диапазоне nmax1 = 9 000 об/мин значение коэффициента жесткости сmin1 должно составлять не менее 4·105 Н/м. Минимально допустимое значение коэффициента жесткости сmin2 для диапазона ωmax2 = 18 000 об/мин составляет 1,5·106 Н/м. В закри-тических областях наблюдается явление самоцентрирования ротора [1; 8–15]: он стремится вращаться вокруг своего центра масс С, а не геометрического центра О (рис. 1).

Массогабаритные характеристики ротора

Частота вращения ротора n max, об/мин	Осевой момент инерции ротора J о , кг·м2	Экваториальный момент инерции ротора J э, кг·м2	Масса ротора М , кг
9 000	10,61·10–4	8,67·10–4	0,72
18 000	5,31·10–4	6,04·10–4	0,58

Рис. 2. Трехмерная параметрическая модель ротора:

ДВЗ – датчик воздушного зазора; РМП – радиальный магнитный подшипник

n max1 = 9 000 об/мин = 150 Гц

Рис. 3. Графики зависимости амплитуды радиальных колебаний ротора от частоты вращения ротора

Амплитуда вынужденных угловых колебаний главной оси инерции ротора, возникающих вследствие наличия моментной неуравновешенности [1; 7],

с ф2+( bф® 2 \ (сф -( Jэ — Jо ) ®2 ) 2+(bф®) 2 где γ – угол, характеризующий моментную неуравновешенность; cφ – коэффициент жесткости при угловых перемещениях; bφ – коэффициент демпфирования при угловых перемещениях.

Как видно из графиков зависимости амплитуды угловых колебаний главной центральной оси инерции ротора, вызванных наличием моментной неуравновешенности, от частоты вращения ротора при различных коэффициентах жесткости c и демпфирования b (рис. 4), в диапазоне nmax2 = 18 000 об/мин наблюдается явление резонанса. Наличие дополнительной критической скорости ротора вызвано тем, что в указанном диапазоне частоты вращения экваториальный момент инерции ротора превышает осевой. Следует отметить, что при требуемой жесткости магнитного подшипника сmin2 = 1,5·106 Н/м указанная критическая угловая скорость ротора не лежит в рабочем диапазоне угловой скорости. В закритических областях также наблюдается самоцентрирование ротора [1; 8–15]. В диапазоне nmax1 = 9 000 об/мин экваториальный момент инерции ротора меньше осевого, поэтому дополнительной критической скорости не возникает: самоцентрирование ротора осуществляется плавно, без возникновения резонансных явлений.

n max1 = 9 000 об/мин = 150 Гц

n max2 = 18 000 об/мин = 300 Гц

Рис. 4. Графики зависимости амплитуды угловых колебаний главной центральной оси инерции ротора от частоты вращения ротора

Результирующие колебания главной центральной оси инерции ротора складываются из радиальных и угловых колебаний (рис. 5).

n max1 = 9 000 об/мин = 150 Гц

n max2 = 18 000 об/мин = 300 Гц

Рис. 5. Графики зависимости амплитуды результирующих радиальных колебаний ротора от частоты вращения ротора

Результирующая сила, которую магнитный подвес должен парировать, складывается из динамических сил, возникающих в процессе вращения неуравновешенного ротора, и веса ротора Р (рис. 6):

n max1 = 9 000 об/мин = 150 Гц

Рис. 6. Графики зависимости амплитуды результирующей силы от частоты вращения ротора

l

F_д = МА С m 2 +

⁽ J э - J о ) Ф с ^m 2

n max2 = 18 000 об/мин = 300 Гц

Заключение. Исследованиями выявлено, что для исключения явления резонанса в рабочем диапазоне частоты вращения ротора n max1 = 9 000 об/мин жесткость радиальных электромагнитных подшипников с min1 должна быть не менее 4·10⁵ Н/м. Максимальная амплитуда колебаний центра масс ротора А С в данном диапазоне при с _min1 = 4·10⁵ Н/м составляет 17 мкм. Результирующая возмущающая сила, которую магнитный подвес должен парировать при с min1 = 4·10⁵ Н/м, составляет 18 Н.

Для исключения явления резонанса в рабочем диапазоне частоты вращения ротора n max2 = 18 000 об/мин жесткость радиальных электромагнитных подшипников с min2 должна быть не менее 1,5·10⁶ Н/м. Максимальная амплитуда колебаний центра масс ротора А С при с min2 = 1,5·10⁶ Н/м составляет 13 мкм. Результирующая сила, которую магнитный подвес должен парировать при с _min2 = 1,5·10⁶ Н/м, составляет 30,9 Н.

В рабочем диапазоне частоты вращения ротора двигателя-маховика n max2 = 18 000 об/мин при с < 3·10⁵ Н/м имеется дополнительная критическая скорость, связанная с собственной частотой угловых колебаний главной центральной оси инерции ротора.

По результатам расчета динамики ротора в магнитном подвесе сформированы исходные данные по выбору угловой скорости ротора, воздушных зазоров в аварийных опорах, активных частях магнитных подшипников, электродвигателя и датчиков.