Динамика возрастной структуры популяции развивающейся свободно

Пусть Q — ограниченная область пространства Q = { ( т , t ) : 0< т } .

Без ограничения общности примем в качестве доминирующего фактора смертности и рождаемости не физическое время, а биологический возраст. Тогда параметры т , т г , Т о , l , характеризующие интенсивность рождаемости не зависят от времени t .

Предположим сначала, что плотность смертности h ( т , t ; u ) = а ( т ) u _тах, где U_mx - максимальное значение численности популяции, которое возможно в данной экологической нише. Тогда, динамика возрастной структуры популяции меняется по закону U т + U t = - a ^{( т )} U max .

В области Q рассмотрим

Задача 1. Найти регулярное в области Q решение уравнения

Uт + Ut = -«(т ) U max,

Удовлетворяющее условиям и (т,0) = ^(т),(2)

т 2

U (0, t )=J c (т )u (т, t) dт.(3)

т

Где U max = const >  0, а ( т ) , ^ ( т ) — неотрицательные функции.

Под регулярным решением понимается классическое решение из класса.

Справедлива следующая C ( Q ) n C ( Q ) .

Задача 2. Найти регулярное в области Q решение уравнения

U т + U_t = ^-а(т ) ^{U (т} , t ) ’                         (4)

Для задач 1,2 справедлива следующая

Теорема 1. Пусть

• 1)    а ( т ) , в ( т ) g c '[ 0, т ] ,

т

• 2)   ^ ( ⁰ ) = ^ J c ( Лт + т ₁ ) ^d т ^,где X = ( т ₂ ^- т 1 ) / l •

Тогда задачи 1,2 имеют единственное решение.

Лемма 1 . Пусть а ( т ) е C [ 0, l ] . и параметры т , т 2, т о а , в системы удовлетворяют условию

AB (1 + а,1 + в)* 1, где

A = ⁽ т 2 — Т 1 ) [⁽ Т 2 ^- Т 1 ) / ⁽ т 0 ^- Т 1 ) ] [⁽ т 2 ^- Т 1 ) / ⁽ Т 1 - т 0 ) ] в ,

B (p, q) — бета функция Эйлера. Тогда задаче 1 имеет единственное стационарное со- стояние.

Лемма 2. Пусть а ( т ) е C [ 0, l ] . Тогда,

• 1)    Если H = 1, то задача (1) имеет континуум различных стационарных решение.

• 2)    Если H * 1, то задача (1) имеет только нулевое стационарное решение. т

• - а ( s ) ds

т 2   / _х 0

Здесь H = j С ( т )      dt —Потенциал популяции u ( t , т ) .

т 1

В области Q = { ( т , t ) : 0 <  т <  l , 0} рассмотрим гипотетическая задача Ui⁺Ut = ^{- аи}, и(т,0)=b

U ( 0, t ) = c j и ( т , t ) d т ,

Где а , b , c —неотрицательные константы, причем а , c ^ [ 0,1 ] .

Задача (5)-(7)имеет решение

и (т, t)

5e ат, при т > t, b (c -1) e(c-a)t + be-at, при т < t

Из (8) замечаем, что решение задачи будет непрерывно вдоль характеристики т = t лишь при c = 1 . Этот же факт также следует из условия склеивания теорема 1. Если коэффициент a ,с связаны соотношением

^c ( e ^- 1 ) / ( ^ae° ) *¹ •

То в силу лемма 2, задача (4)-(6) имеет только нулевое стационарное решение.