Динамика вращающейся на опорах оболочки с непостоянной кривизной срединной поверхности

редине. Ширина оболочки a , толщина h . Угол между опорами 2 α .

Найдём зависимости для учёта влияния непостоянства кривизны срединной поверхности вращающейся на 2 опорах оболочки на её динамику. Примем, что радиус срединной поверхности оболочки зависит только от угла θ и выражается формулой

r = r0 + A sin (K9)

.                    (1)

Основной трудностью в получении уравнений в частных производных, описывающих динамический процесс, и их решении, является наличие опор. Кроме того, уравнения должны учитывать прецессию, возбужденных действием возмущений, стоячих волн [1]. В нашем случае наиболее целесообразно свести задачу в частных производных к задаче с сосредоточенными параметрами. Для этого перемещения точек срединной поверхности зададим линейными перемещениями: радиальным U 0 ,, осевым W, тангенциальным V , а также углом поворота γ(θ) образующей оболочки в плоскости, проходящей через радиус r и ось У . Такое задание деформации позволяет учесть различные перемещения точек оболочки при изменении координаты У, а также наличие опор. Отсюда имеем зависимости:

и (в, у) = и0 (е)+у(в)У

,            (2)

NN

U 0 = a 0 ' Z a ui c^{os( i} ( ^{6 +} V ui )) + E b-i ^{sin( i} ( ^{6 +} V ui )) i = 1                                          i = 1

V = Eaw cos(i(0 + О + '£bvi sin(i(0 + q^ i=1

W = E awi cos(i(0 + ^» + E bwi sin(i(0 + ^» i=1

NN

Y = E aY cos(i(0 + Ф ))+ Ebi sin(i(0 + Ф )) i=1

Здесь: а ₀, а_ui , b_ui , a_vi , b_vi , a_wi , b_wi , a_yi , b_yi – обобщенные координаты; φ ui , φ vi , φ wi , φ yi – функции времени, задающие прецессию стоячих волн. В соответствие с [1] ^qщ = ^q v = ^q w = ^q y / = ^Q ( i=1,2,…,N ). Точка означает дифференцирование по времени.

Примем, что оболочка касается опорных роликов по всей длине своих образующих, т.е. опорные ролики выставлены без ошибок. Тогда условиями, накладываемыми на обобщенные координаты оболочки, является равенство нулю перемещений U , V, W в точках опор. Так как оболочка вращается, то координаты θ точек оболочки, в связанной с ней системе координат, находящихся на опорах, определяем зависимостями π – α – Ωt для одной опоры и n + a — Q t для второй. Выполнение этих условий для любого значения времени t и координаты У для перемещений U, V, W, а также учет характера прецессионного движения стоячей волны дает восемь условий связи на обобщенные координаты, описывающие динамику оболочки, и, соответственно, 8 неопределенных множителей Лагранжа, используемых для учета условий связи при получении дифференциальных уравнений с помощью формализма Лагранжа. Уравнения связей имеют вид:

N a 0 +E[ auicos (1 (n — a))+ Vin ( i (П —a))] = 0 i=1

,                                      (7)

N a0 + E[aui cos (i (П + a)) + bui sin (i (П + a))] = 0 i=1

,                                      (8)

N

E [ a _Y i cos ( i ( n —a ) ) + b _Y i sin ( i ( n —a ) ) ] = 0 i = 1 ^, (9)

N

E [ a ₇ i cos ( i ( n + a ) ) + b ₇ i sin ( i ( п + a ) ) ] = 0 i = 1

^, (10)

N

E [ a_vi cos ( i ( n —a ) ) + b_vi sin ( i ( n —a ) ) ] = 0

i = 1

N

E [ a_vi cos ( i ( n+ a ) ) + b_vi sin ( i ( n + a ) ) ] = 0

i = 1

N

E [ ^a wi ^cos ( i ( ^{n — a} ) ) ^{+ b} wi ^sin ( i ( ^{n — a} ) ) ] = ⁰ i = 1

N

E [ ^a wi ^cos ( i ( ^{n + a} ) ) ^{+ b} wi ^sin ( i ( ^{n + a} ) ) ] = ⁰ i = 1

Найдем уравнения, описывающие динамику вращающейся на опорах оболочки при неравномерности кривизны ее срединной поверхности, используя уравнение Лагранжа второго рода

k

= E^iey+Gj i=1

где T^П , П^П – кинетическая и потенциальная энергии соответственно; q j – j- ая обобщенная координата; t – время; k – число связей, наложенных на координаты q j ; λ – неопределенный множитель Лагранжа; e j – производная - го уравнения связи по j -ой координате; G j – внешняя сила, действующая по координате q j . Кинетическую энергию оболочки в этом случае с использованием (2) – (6) можно записать [2]:

a

T П =P0h ii [ r» + A sin (K9)] * 20a

+ (U — Q V)2 + W2 d9dy

а потенциальную [3] как

2п С Л D n”=jYaB

aB

+—9

2r

U0 +

aD aC

9 ।          9 ।          9

/< 2 r

a3B

24r

Y2

2rraB

।                 9 ।

(V ')2 +

aC. )

r2

9 U0V' +

aBG 2r

(W1+ D(U0')2+2D (л2 +

+

aD aC

____ 9    ____ 9

r3

r

V U0'+2^ (y')2 + r

+

+

r2

9 UU''+

a ^912r2

- 2a^G wу I d9I r J

.

YY'' +

Здесь: ρ 0 – удельная плотность материала; B B θ , B B G , D θ , D G , C θ , C G – константы, зависящие от геометрических и прочностных характеристик оболочки.

Основной проблемой, возникающей при решении этой задачи, является аналитическое вычисление интеграла для потенциальной энергии, т.к. в этом случае появляется функция синуса в знаменателе интегрируемой функции, что затрудняет аналитическое вычисление интегралов. Рассмотрим приближённый метод решения поставленной задачи, основанный на разложении функции, где присутствует радиус оболочки, в ряд Тейлора с учётом линейных членов разложения. Это позволяет перенести периодическую функцию, задающую отличие радиуса от постоянного, в числитель, что упрощает проведение аналитических вычислений. Осуществляя это преобразование, получим Т^П=Т+Т r , П^П=П+П r , где Т, П – соответственно кинетическая и потенциальная энергия оболочки постоянного радиуса r 0 , Т r , П r , - составляющие кинетической и потенциальной энергии, учитывающие непостоянство кривизны срединной поверхности. Формулы для Т и П приведены в [1], формулы для Т r , П r в данной статье не приводятся вследствие их громоздкости.

Дифференцирование кинетической и потенциальной энергий (16), (17) в соответствии с (15) дает систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику вращающейся на опорах оболочки с непостоянной кривизной срединной поверхности. Окончательно эту систему можно представить в виде:

используемые для учета влияния непостоянства кривизны срединной поверхности; q – полный вектор обобщенных координат; M – матрица производных условий связи (7) - (14) по обобщенным координатам; λ – вектор неопределенных множителей Лагранжа; P – вектор правых частей – возмущающих сил, возникающих вследствие непостоянства кривизны срединной поверхности оболочки. Является периодической функцией времени, зависящей от угловой скорости вращения оболочки. Для получения решения системы необходимо использовать условия связи в точках опор (7) -(14). Окончательная система уравнений в статье не приводится вследствие громоздкости. Получение решения этой системы аналитическим способом весьма проблематично, поэтому использовался метод гармонического баланса. Для этого из системы уравнений (18) были исключены неопределенные множители Лагранжа и использованы условия связи в точках опор. В результате получили систему уравнений вида

K 2 y + K 1 y + K 0 y - F _m

= M X + P,

где A 2 , A 1 , A 0 – матрицы с постоянными коэффициентами, используемые для описания динамики оболочки постоянного радиуса r 0 ; B B 2 , B B 1 , B B 0 – матрицы с периодическими коэффициентами,

где К 2 , К 1 , К 0 – матрицы периодических коэффициентов; у – вектор обобщенных координат, состоящий из 8N-7 компонент; F ® - вектор периодических функций времени, задающий действие на оболочку возмущающих сил вследствие неравномерности кривизны срединной поверхности. Решением этой системы являются периодические функции, и они могут быть представлены в виде разложения в ряд Фурье. Нахождение коэффициентов этого ряда осуществлялось путем решения системы линейных алгебраических уравнений, получаемой путем вычисления интегралов от произведения левой и правой частей системы дифференциальных уравнений (19) с гармониками используемого ряда Фурье.

Для исследования влияния непостоянства кривизны срединной поверхности вращающейся на опорах оболочки типа Кирхгофа-Лява на ее динамику была разработана программа для решения полученной системы дифференциальных уравнений указанным методом. В таблице представлены результаты расчетов по исследованию влияния скорости вращения оболочки Ω в рад/c на амплитуду ее колебаний в мм по координате U для точки с координатами в неподвижной системе координат θ = π /2, У=0 при разных значениях коэффициента К в (1) , характеризующего кривизну оболочки. Радиус срединной поверхности оболочки r 0 = 2 м, угол между опорами 2 α = 50

градусов, толщина h = 1 10-2 м, ширина a = 0,2 м, модуль упругости Е=1,18 1011 н/м2. Амплитуда А в формуле (1) равна 1 10-2м. Результаты расчетов показывают, что с увеличением номера гармоники К значение угловой скорости вращения оболочки, при которой возникает резонанс, уменьшается.

Таблица. Результаты расчетов

Выводы: полученная математическая модель и разработанная программа могут использоваться для анализа влияния непостоянства кривизны срединной поверхности вращающейся на опорах оболочки типа Кирхго-фа-Лява на ее динамику.