Дисперсия очередей в системах массового обслуживания с групповыми пуассоновскими потоками

Пакетная передача в современных телекоммуникационных сетях показала, что модели трафика, основанные на распределении Пуассона, не являются адекватными. Пачечный характер пакетного трафика, взаимная зависимость пакетов приводят к существенному влиянию корреляционной составляющей на размеры очередей. Существует множество моделей трафика, учитывающих его корреляционные свойства. Многие из указанных моделей учитывает корреляционные свойства потоков, но они оказались слишком сложными и не привели к существенным результатам.

Модели «самоподобного» трафика, учитывающие корреляционные свойства, оказались слишком сложными, неэффективными. На смену им пришел целый класс моделей потоков с коммутируемой цепью Маркова – ВМАР-потоки [1– 3; 6–13]. Среди указанных потоков можно выделить групповые пуассоновские потоки [5]. Это неординарные потоки событий, каждое из которых соответствует одновременному появлению нескольких заявок. События возникают независимо друг от друга и имеют экспоненциальное распределение интервалов между соседними событиями. Следовательно, поток событий является пуассоновским.

Обозначим через τ некоторый интервал времени обработки заявки в системе массового обслуживания (СМО). Среднее значение числа заявок рассматриваемого потока, так же как и дисперсия Dm(ρ) пропорционально загрузке ρ:

m ( т ) = Лт = р .

D m ( р ) = fok 2 = р к (1 + V ²) = E m _P .

Здесь, v 2 = -D k — квадрат коэффициента вариации, а k – среднее число заявок в «пачке».

Интервальный метод [4], основанный на ана- лизе чисел заявок, поступающих в течение одного интервала обработки заявки, обеспечивает установление зависимости среднего размера очереди от коэффициента загрузки системы массового обслуживания.

В групповом пуассоновском потоке пачки заявок независимы, поэтому в формуле для средних значений очередей [4] нет элемента, определяемого корреляционными связями, и формула упрощается.

q ; . ₌ D M - Р ₌ E m - Р 2(1 - р ) 2 2(1 - р ) 2

*

В частном случае ординарного пуассоновско- го потока: ki = 1, к = 1, V = 0 , E = 1 — при этом справедлива известная формула:

Р² 2(1 — Р ).

q ⁽ Р ) =

Если два совершенно различных потока имеют одинаковые значения дисперсии, то при одинаковых загрузках средние размеры очередей для таких потоков будут полностью совпадать.

Для таких потоков отличаться будут лишь значения дисперсий D q ( р ) размеров очередей.

Второй начальный момент

Вт орой начальный момент размера очереди q ²( р ) определим из соотношения баланса [4].

q i ( р ) = q i - i ( р ) + m ( р ) - ^S ( р );

S i ( р ) = 0, если q i _{- 1} ( р ) = m i ( р ) = 0;      (2)

S i ( р ) = 1, в противном случае .

где qi (р) - значение очереди, mi (р) - число поступивших заявок, а Si (р) - обработанных число заявок, в течение интервала времени т.

Ограничения имеют следующий вид: S- ( р ) = S i ( р ), т , ( р ) S - ( р ) = m , ( р ), q , - i ( р ) S ( р ) = q , - 1 ( р ), S , ( р ) = т , ( р ) .

При возведении в третью степень уравнения (2), коэффициент загрузки для ρ краткости будем опускать:

q 3 i = q ³ i - i + 3 q 2i - I ( m i - S i) + 3 q i - 1 ( m i - S i ) + ( m i - S -)³

После соответствующих преобразований, с учетом принятых ограничений получим:

q³ i = q³ , - 1 + 3 q² , - 1 m i - 3 q² , - + 3 q i _{- 1} ( m i ² - 2 m i + 1) +

+ ( m² - 3 m² + 3 m i - S i )

.

Произведем усреднение обеих частей:

3 q² i _ j (1 - m J = 3 q i _{- 1} ( m i ² - 2 m i + 1) +

+ ( m i ³ -3 m² + 2 m i ) .

³ q ² i _ i ( 1 - m i ) = 3 q , _ i ⁽ D_m + m , ² - ² m i + 1) +

+ ( m i ³ - 3 m i ² + 2 m i ).

³ q 2 _; _ i ( 1 - m J = 3 q - ^D _m + 3 q - ⁽ m i - ^{1) 2} +

+ ( m i ³ - 3 m i ² + 2 m i ).

q ²

Определим значение ^{1 - 1} :

—j— q., D                 mi3 - 3mi2 + 2m, qVi = i 1 _m + q-i 'll -m^ ‘ { ‘—\ ‘ (1 - m^ )                          311 - mi)

.

⁼ q «^[ td^ ⁺ ( 1 1 1 - ^mi )

q

i - 1

—\ m ³ - 3 m ² + 2 m- тр + — —7— i =r— i 3 ( 1 - m i j

“j— — D m ⁺ ( 1 ^{- m} i I    m ³ -3 m. ² + 2 m.

q i- i ⁼ q i-i —/,      / ^{+         i}—\

( 1 - m i I             3 ( 1 - m i l

“V q                 2., mt3 - 3 mi 2 + 2 mi q i-1 = /, , [Dm + (1 - m J] +         —\ i

( ¹ - ^m J      ^{v              3} ( ¹ - m )

Выразим третий начальный момент m через третий центральный момент p ₃ = ( m i - m_t ) ³.

m i = ( m i - m i ) + 3 mD + m_t = p 3 + 3 mD + m_t .

После подстановки получим:

qp~ = q ^-[ D m ^{+( 1} ~ ^m' ) i ₊ ^{3 m} - D m ^{+ m} - ³ - ³ D m - ^{3 m} - ^{2 + 2 m} - ₊    ^

' ^{1 - 1}      ( 1 - m , )                       3 ( 1 - m^                 3 ( 1 - m , )

q^ =^ i -ц [ D m + ( i - m ; ) ²] +

( 1 ^- m j

₊ m + ³ m , ^D m ^{- 3} m + ² m i ₊    Р з

³ ( 1 ^- m )           ³ ( 1 ^- m J

Подставляя qi-1 = q (р) из (1) и учитывая, что m(р) = Ат = р , получим:

q ² ( Р ) = D m ⁽ D ) ^{Р (}{₂ ^Р ) [ D m ( Р ) + ( 1 - Р ) ²] + ² ( 1 - Р )

, Р ³ + ³ Р D m ⁽ Р ) ^{- 3} D m ⁽ Р ) ^{- 3} Р ² + 2 Р , Р з⁽ Р ) . 3 ( 1 - Р )                  ^{3 ( 1 -} Р )

Приведенное ниже соотношение позволяет определить второй начальный момент размера очереди в СМО с групповыми пуассоновскими потоками.

Для групповых потоков второй момент размера очереди определится соотношением:

qAS = 1! ^-? + ^ [ _Е р + 1 - 2 р + р 2 ] +

² ( ¹ - р )

+ р ^{3 + 3 E} m P ^{2 - 3 E} m P ~ ³ р ^{2 + 2} р + ^ 3 ⁽ р ) .

3 ( 1 - р )                ^{3 ( 1 - р} )

Для простейшего потока E_m = 1, р ₃ ( р ) = р выражение упростится:

q ² ( р ) =— ^р —т (1 - ¹ р + ¹ р ²)

2 ( 1 - р ) ²     3^ 3

Мы убеждаемся, что в этом случае второй момент зависит только от коэффициента загрузки.

Дисперсия очередей

Дисперсию размеров очередей определим на основании соотношения:

D q ( р ) = q ² ( р )^- q ( р ) 2 .

Выполним преобразования:

+

Dq

Dm (P) -P(1-P)                   ' 3PDm (P) - 3 Dm (_P) - 3 _p² + 2_P ^ (_P)

----- ----3---[ Dm (P⁾ + \1-P)} + -------------7— = 7------------77,---

2(1-p)2                                 31-p             3(1-P

[ Dm (_P)-_P(1-_P)f 4(1-p)²

^Dm ^M-f [ Dm (^Р^ -^^^ ₊

2(1-p)2                               2

_P³₊3_PDm (_P)-3Dm (_P)-3_P²+2_P ! _P ,(p)

з(1-р)             30-p)

D m (P) P⁽1 p[ [2 Dm (p) ₊ 2(1__p^ -Dm (p_{) + p}(1-_{p)] +} ^-p)

+

_P³₊3_P Dm (_P)-3 Dm (_P)-3_P²+2_P ! _p з(_Р)

3(1-p)               3(1-p)

Dm (P)-P(1-P) ⁴(1-p)²

[ Dm (_P) + 2-4_P + 2_P²+_P-_P²

+

_P³+3_P Dm (_P)-3 Dm (_P)-3_P²+2_P ! _p з(_Р)

з(1-р)             30-p)

Dm (P)-P(1-P) ⁴(1-p)²

[ Dm (_P) + 2-3_{P + P}²] +

+

_P³₊3pDm(_P)-3D (p)-3_P²+2_P ! _Pз(р)

3(1-p)               3(1-p)

Для простейшего пуассоновского потока

E m = 1, D m ⁽ P ) = Р з⁽ P ) = P ,

D ( p ) = —^P —7(1 - - P - - P ²) q^V ’ 2 ( 1 - p ) ²       3     6       .

Выражение существенно упрощается.

Заключение

Дисперсия очередей пуассоновского потока зависит только от коэффициента загрузки СМО, а дисперсию группового пуассоновского потока определяет третий центральный момент закона распределения размеров пачек заявок. Третий центральный момент зависит от симметричности закона распределения.