Дисперсионный анализ на примере АРК предприятий

Влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признаков можно определить при помощи аналитической группировки, разделив изучаемую совокупность на однородные группы по признаку-фактору. При этом можно определить 3 показателя колеблемости признака в совокупности: дисперсию общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.[1]

Общая дисперсия D² o измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

D² o = ∑(y i - ȳ 0 )²                            (1)

Межгрупповая дисперсия (DМ/Г) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

D² =∑(ȳ J - ȳ 0 ) f                           (2)

Внутригрупповая дисперсия (D в/г ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

D в/г = ∑( y i - ȳ J )² (3)

Между общей дисперсий, средней из внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсией существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповой и межгрупповой дисперсией.

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсией, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.[2]

Определим существенность влияния энергообеспеченности на изменение урожайности зерна по группе хозяйств Ливенского, Кромского и Н.Деревеньковского районов.

Таблица 1 – Распределение хозяйств Ливенского, Кромского и

Н.Деревеньковского районов по урожайности.

Группы хозяйств по энергообеспеченности, л.с.	Число хозяйств	Урожайность зерна, ц/га y i	Сумма по группам	Средняя урожайность по группам ȳ J
0,2 – 1,6	5	25, 25, 13, 14, 42	119	24
1,6 – 3	6	28, 27, 26, 8, 38, 38	165	28
3 – 4,4	2	28, 38	66	33
итого:	13	×	350	×

Выдвигаем нулевую гипотезу о том, что различия урожайности не связаны с энергообеспеченностью, а вызваны другими случайными факторами.

Определяем среднюю урожайность в целом по совокупности по формуле средней арифметической простой:

Y

Y o = ^^;                            (4)

n

• Y = 27 ц/га

Определяем:

• 1.    дисперсию общую:

• 2.    дисперсию межгрупповую

• 3.    дисперсию остаточную

Do = (yi – ȳ0)2;(5)

D o = 1325

Dм/г = (ȳJ – ȳ0)2 * f;(5)

D м/г = 123

Dост = (yi - ȳJ)2;(7)

D ост = 1202

D o =D м/г + D o                         (8)

1325 = 1202 + 123

Число степеней свободы вариации представляет собой число независимых отклонений индивидуальных значений признака от его среднего уровня.

Общее число степеней свободы, соответствующее общей сумме квадратов отклонения, подвергается в дисперсионном анализе разложению сумм квадратов отклонений.

Число степеней свободы вариации равно:

Для общей дисперсии:  V = N –  1  =  13  –  1  =12

Для межгрупповой дисперсии:  V = n –  1  = 3 –  1  =2

Для остаточной дисперсии: V = N – n =  13  – 3  =10

Определяем величины межгрупповой и внутригрупповой дисперсий, приходящиеся на 1 степень свободы вариации:

d,,. = ^(12)

Vi/a d„ „ =61,5

dM = D1(13)

d_M = 120,2

Английский ученый Фишер изучил распределение отношений дисперсий, рассчитанных на 1 степень свободы вариации, поэтому отношение дисперсии получило название F-критерия.

Для определения данного критерия составлена таблица. Например, таблица 5-% уровня распределения F-критерия.

Уровень вероятности суждения 0,05 означает, что только в 5 случаях из 100 значение F может достигнуть указанной величины или выйти за ее пределы. Величина F-критерия, содержащаяся в таблице называется табличной или теоретической. Значение фактического F-критерия определяется как соотношение dм/г

F ф = -------- (14)

d ост

Если F ф > F т , то это означает малую вероятность того, что отношение имеет случайный характер, а влияние факторного признака на результат существенно и нулевая гипотеза о случайном характере различия средней отвергается.

Если же F ф < F_т, то можно утверждать, что различия между дисперсиями находятся в пределах возможных случайных колебаний и нулевая гипотеза подтверждается.

Таблица 2 – Анализ дисперсий

Источники вариации	Дисперсии, D2.	Степень свободы вариации.	Дисперсия на 1 степень свободы вариации.	Отношение дисперсий.
				F ф .	F т .
Межгрупповая	123	2	61,5	0,5	4,10
Остаточная	1202	10	120,2	-	-
Общая	1325	12	-	-	-

61,5

F ф = -------------- = 0,5                        (15)

120,2

F т = 4,10

F ф < F_т следовательно, нулевая гипотеза о случайном характере различия средних принимается и данная группировка подтверждает о существенной зависимости между энергообеспеченностью и урожайностью.