Диссипативность линейных трехтемповых систем

Исследованию свойств пассивных и диссипативных нелинейных систем посвящено большое количество публикаций. Это объясняется широким спектром приложений таких систем: гидродинамика, электроэнергетика, радиотехника, динамика полета и др. Общее понятие диссипативной системы введено в работах [1,2]. Понятие диссипативности по Виллемсу означает, что решения системы удовлетворяют интегральной связи с некоторым функционалом (функционалом расхода) от входа и выхода системы; им показано, что в этом случае на пространстве состояний системы можно определить функцию, которая при определенных условиях будет играть роль функции Ляпунова системы. Таким образом, понятие диссипативной системы позволило рассматривать устойчивость системы по Ляпунову и устойчивость в смысле конечности нормы вход-выходных отображений [3]. В работах [4,5] развиты методы теории диссипативных систем. В обзоре [6] рассматриваются некоторые результаты, касающиеся анализа и синтеза управления нелинейными системами на основе понятий пассивности и диссипативности. Условия пассивности в задаче стабилизации нелинейных систем с помощью обратной связи получены в работе [7].

Данная работа посвящена исследованию диссипативности линейных трехтемповых систем относительно функции расхода. Цель работы – найти функцию запаса линейной трехтемповой системы.

ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим модель линейной трехтемповой системы вида:

Ш=_о ^Ek^i ~ T^tqA^Xj + B_tu,i — 0,2;

У ~ Sj=o ^j^xj,             (1)

где t E R,^ E R\u EF,y E RP^Bp CpiJ = 0^ - постоянные матрицы соответствующих размерностей, et, i = 1,2 – малые положительные параметры, so — lj и функция расхода iv(u,y) = y' Qy + 2y'Su + и Ru, где Q,S,R

– постоянные матрицы, причем Q, R – симме- трические, штрих означает транспонирование.

Определение 1. Вещественно-значимая функция w: ^o+n^nz у R^r X R^p -» R такая, что для любого t > 0, любого начального состояния x(0) = x° и любого допустимого управления ^uC^-) выполняется Jo I^C^c^^^^^c^'yC⁵))!^⁵ ^ +°°' называется функцией расхода системы (1).

Определение 2. Система (1) называется диссипативной относительно функции расхода w, если существует функция V: K"o+”i+"z -> R+, у e c° такая, что для любых x(0) = x°, для любых допустимых управлений u(-) и для любого t > 0 выполняется неравенство ^(x1) < V(x°) + Jor w(x(s),u(s),y(s))ds, где x1 = Ф(х°Д, u). Функция V называется функцией запаса системы (1), а неравенство на- зывается неравенством диссипации.

Пусть для системы (1) выполняются предположения, аналогичные условиям Ai-A₄, при-веденные в работе [6]:

Для любогоx(t0) = X и любого допустимого u(") существует единственное решение системы (1). Это решение определено на[^+®) и таково, что y(-) – локально-интегрируемая с квадратом функция.

Система (1) глобально достижима из начала координат. Это означает, что для любых .\" Е 7/'г-' -_'': : существуют :■ 1 : и такие, что <Ф(х(О), tx — tc/u) = х1.

Введем функцию доступного запаса у, >•. ■ = - _:-Л _._:. । ;,■ ;„ v ■■- которая предполагается дифференцируемой по х.

Функция расхода ;■/ удовлетворяет условию: для любого / = 2 найдется ^ такое, что ^w<^ < 0.                --

Собственные значения ■. : = _ -. матрицы л-- удовлетворяют неравенству Re /Ц(Л₂₂) < -2/? < 0.

Для построения функции запаса S’ х ■ = л Рл :■■ = Л -V_ х- ■ запишем необходимые и достаточные условия диссипа-тивности [8] системы (1) относительно функции расхода ;■/:

Эф V2 л I ®Ф V*2 л v Эф

ЗД^^о^оА+^^Е.^!^ +^

(%о %; x₂)F'IV],/? = W W

При j = 5- = 2 получим систему

— У² А х

ЭХ1^=° 2j j

= 0,^~В. = 0, R = И/'ИЛ

2 Эх2 z

Матрицу Р будем

искать в

виде

(РР

*11У

£1^12

£1^2^ 13  £1^2^ 23

£1£2^1з\ где

£1£2^33/

Р ₌ р°-о._£ р^ + е р^од + _{£ £} Р^1Д А, _Ег_р2.о Mj      Т E^j Т Е₂Гу Е_гЕ₂Гц т Е_гГ-.

2 0,2, ,

“у^ ■ “ ¹ :_ = -- 2. Полагая, что матрица '. 1-' квадратнаяневырожденнаяматрица, извторо-го уравнения, получим г = 75 - С 5'/^--пусть Р = ’V^-" и подставив в первое уравнение, получим уравнение Лурье РН + Н 'Р - PLP + М = О, Н = (^ X hy = ^^T^i . _L = h\

(Q - SKK'S'^Cpij = 0,2.

Уравнение Лурье имеет единственное положительно определенное решение. Обозначим, ^о,о_ ^^^^/^^^^^, j^i'O _ К^*^ ^К^^У | К^*^

(_Каоу_Тм = К°'°(К^0Д)' + к⁰-¹^⁰-⁰)', т^1Д = к^а'^а(к^1Ду + /c¹'^t>(№’¹)' + к^ал ■

(К 1,0)/ _{+ к} 1,1 ^0,0) !_Т 2,0 _ /(-0,0 ^2,0)/ ₊ ду^'0 ^2^^“^^^/ | К^*^ ^К^'^у ^ о,2 _ К^'^ ■ (tfO-²)' ₊/f 0,1(^0,ly _+/f 0,2^0^^ ...

Выполняя действия и приравнивая соответствующие элементы матриц, получим систему 6 линейно независимых уравнений. Система нулевого приближения имеет вид:

5=1['’1^(^-и-в,,1г">.

5=, в;,^^)')]+Е^^ЛЧ^Л +C^,₀(y-5T°'°S^,)C_k = 0,к = 03,Z = 13; 5=г[^₽“((^л°-1.») - в,-1Т^м д₌, в;_, • (р”⁰)')1+ е^.^ч)'^,?⁰)' +с; w - 5pO,o_s/)_Ck = о, к = 1,2, Z = 2,3;

^°« - В₂Т^В’₂Р^ + (^“₂)'^ + CAQ - ST^q'^qS')C₂ = 0, Л°- = B.T^S'Ci -^            ■'Ле    Ч    *      У

А i,j = 0,1,2

Последнее уравнение этой системы - уравнение Лурье, положительно определенное решение которого существует и единственно [9], „о,о _ .0,0 _                                   , г-- — _ -.. Подставим это решение в третье и пятое уравнения системы, которые примут вид:

р^о,од1 а. р⁰'°д! 4- рО'Од¹ 4-ГД° У 7^0,0 Л1 02 ■ Лг ^Н12 ■ yis ^н22 ■ 1^207 ^ьзз

+ОД - ST°'°S')C₂ = О, Р^А^ + р^¹ ■ л^₂ + №)'4° + с; ( - sr⁰-^ эс₂ = О, где .< = Л¹, - 5 "^::5:i" : = 2 1 2. Из п 0/0    f «f х « пятого уравнения, получим ^-. = _ з

T«“S'-Q)C₂ - M’J'L"’ - р“л*₂) • (лу-¹.

Подставив Рл" в четвертое уравнение, получим уравнение Лурье:

р. . ^- P.V - Р. . ^:БР. . ^: - с = 2 где

^ Д                    Д Д           Д Д         ill ill д=4 - л^гх - я^а^ггч^ ■ T°-°S' - Q3CT - 4^^) - АХМ2УгВ2 ■ т°-°в'2 ((A^T^ST^S1 - oq - 4^), в = в.то,ов'.-аКСа^У1 в2 • тмв[ - B

-(С;(5Г^вд5'-0Х₂-(^1)'-Ь^УА^В^В'^А^ТЧСг^ -У)^-/,⁰^) + C^Q-ST^S'y,.

Это уравнение имеет единственное поло-

„0,0    ,0,0

жительно определенное решение ^ 22 * „0,0 _ .0,0 _ .o,of.o,o .о,ох    ТТпп-

Значит,                                 Под ставим найденные решения во второе и третье уравнения. Из третьего уравнения найдем

Р» = (Cj(ST^MS- - Q)C₂ - (л"₀)'^ - р^л^ - Р^Хлу¹.

Подставим во второе уравнение, получим Р^₁₊Р™А^П(^

Ли = A-Л^СД^) ^°i + (4(4) 1"

О 70,° _ e ro.o^y^ao + 5vLMy> £ = оД °^- L3°) = (^(ST^S' - 0c2 -

ЮШ^Й " B^CB^ + 5;K°)')+Mo)'^+ИЖУ - cite - ””$% этого

K^)1, уравнение, уравнение

Выразим из р^м = (-D -Р^А¹ 42 V ^и  41 ^н01

ставим   в   первое зультате получим уравнения

и

под-в   ре

Лурье:

р°-°д1 + (А¹ УР^0,0 - p^Q'^QB^OlOP^0,0 + Н^оя = 0 Л^{1 г}ц ^н00 ' V^OO? ^ГЦ ^rH ^{D г}н ^{т п и}^00

^00  ^01 ^-И 7  W10 ' ^12 <-^227

Л^У-Л^С^)"^ * VBqT^b; ■ ((Л^)')"¹ - А^А^УЧВ^В; + Л}₂ -(Л₂¹₂)-¹3₂7’⁰-⁰3[((дЬ)')-¹)-Л^₂(Л^₂)-¹ ■ B^BKC^T¹]" [4(ST°-⁰S' - Q)C₀ "(№)' + ЙА + ^В^Т^В^ ■ ((А^УУЧС^5Т^М5' - Q}C₀ - 4'₃°Л%)

—L°'°A⁰ — L°'°A⁰ 1 — ^ь22^ЛЮ^ь 23 *401 L^d0

-^UU1

- (в₁ + л^Сл^Г^-л^н)"¹^]?'⁰'⁰ • B^^DD’^^CST^S' - Q)Co - 4°^Л20 ^УЮГ¹»^ - № - Ю+(4^+ВДт¹^ ■

№^s' - №. - 44) - 44 - W

(Ar1^ - л^л^ват00^ - в; -((лиэ-Чл^'+УЧС^Э-Чл^У),

0,0

–

д² = j¹ —   (д¹ V¹ л¹Н

^02   ^02  ^01 V^llJ л12'п все сла-

р0,0        хпзппиогттло гаемые, не содержащие 41 ■ Это уравнение имеет единственное положительно определенное решение 41 — ^и' из которого получаем „0,0    ,0,0 ,0,0    ,0,0х,0,0 ,0,0 ,0,0^ .    —-

^Plj = Ч) ' Ч) = ^Llj (^1V ^L22' ^L33^a = 2,3.

Приравнивая коэффициенты при первых степенях малых параметров £1 и s2, получим систему линейных уравнений:

уз р'1Л2 .1(к+1) I уз    /д1(2) у

A-j=2^r2j ^j-l* A,j=k+l\^Hj-l.l)

( P^lv4 V ₌ уА'^ t = 1 2- P¹¹'¹¹ Д¹⁽³⁾ k^k+L// ^V2,k+V^{K X}'²*¹ *33 ^H22

41¹(³4 P^lvla = y^zv^z2 1 4. / =17 ф I ^22 J ^гзз *зз 'Чт^г ^ti^taj

Z, e {0,1}, i = 1,2, где Л,0 ^ — ^to BiT^0,0 • (вД + в;И“)' + в;(1“)'),л^^я = : А^-В.Т-ЧвЯ + B^L“)'),A^ = А^ ■ В^^В^Л = 0^;^

– постоянные матрицы. Из двух последних уравнений этой системы, получаем D1^ _ Г^О -0,1 _ .0,1  „

*33    L33*  *33 — ^33" Потребуем, чтобы матрицы L и ^aa были положительно определены. Из девятого и десятого уравнения выразим н        23      \ 23        22    12 )

Гд¹¹³^¹v¹^¹* =v^k'^la-(a^1W\

^**22 /  ' ’23       ’23      \ 21 /  33 '

k13      43    ^20 / b33

+Z2 = 1, lT Ф 12,Ц E {0,1}, i = 1,2. Подста вим эти выражения в седьмое и восьмое уравне- ния системы, получим:

nii.Z2.l(4)   / !(4)y v, =  гд,,.1(4)

42   11  ' \11 У 42     v22

= Д1(2) - Д1(3)Гд1(34 41(2)      = уггг2 _

Л11    **12 V^ZZ /        ' *22*22

yV- - (A^^a)'^А^А^» + + №)' (№’)') ¹(te^,‘)' - ^ ■ A^yit + 4 = 1,4 * ЧЦ e {0,1},i = 1,

2. Эти линейные уравнения с невырожденной матрицей имеют единственное решение

= гУ P*1 = r^1

^22 L22^ ^22 ^22’ Потребуем, чтобы эти матрицы были положительно определены. Под- ставим найденные решения в третье и четвер- тое уравнения, получим линейные уравнения:

рк-Чд¹^) I рк-Чд^ _{= v}l_v4* .1(4) ₌ 41    01   ' 1Z 11      12   ^?л01

Ц2) _ 1(3)7 1(3) \ ¹ 1(2) l_vl_a* ₌ l_vl₂ 01      02 \"22 У ^л22 ' ’12       ’12

Отсюда,

Подставим найденные решения в первое и второе уравнения, получим два линейных уравнения

рЧ'Ч дА

41 оо

_РЧ-Ч₌ тАЧ* д¹^ = 41   41 'оо

А

= л1(1)-л1С4Ул1(4)>1Л00   Л01 \Л11 /

Ж’Г^М

"\^

1(1) п

Отсюда,

piTi_z _ _LV» / + г = 1 J * L, L е {ОД}, I = 1,2, ДД         ДД X X         X X I

^1 = Ур^£У1 = ^-а1У1 - ^bi4 + Yi^u-^Zi =Xi,i = 1,П.

Функция расхода для -ой подсистемы

Пусть для систе-мывыполняютсяусловия 1–5. Функциюзапасабу-демискатьввидеФ^.уО = (x_t УдРД^У xj i/

(Pa: PliX ___

Запишем необходи-

V.£2i                                                     - мые и достаточные условия диссипативности -ой подсистемы относительно функции расхода

и т. д. Приравнивая коэффициенты при получим следующую систему линейных уравнений уз рЧ-Ч д1(т+1) . уз    f Д1^ V-

A-llj j-l,m   ^j = m+l\^Hj-V0j

Из по следних          уравнений находим

__ г к,о Dk-1^1   ,к—1,1 n 0,к   у 0.1 к Rr тгтпп

Выполняя те же действия, что и для «первого» приближения, найдем все остальные неизвестные последней системы, при этом требуем, чтобы все блоки, стоящие на главной диагонали матрицы были положительно определены. Таким образом, элементы матрицы могут быть найдены как асимптотические разложения по малым паР Р ■ Р == раметрам

^ + -     с^0 + -)

4((ii2°)' + -) ЧДи + -) ЧЧ^-и + ••■) • ЧЧМ)' + -) ЧЧ№)' + -) ЧЧДз° + -У

Условием положительной определенности матрицы является положительная определенность ее главных блоков, так как определитель матрицы равен 1₽1 = =Ьг (|4°|К1 lkz?l + °(=1) + О(=2)} т.е.                       Погрешность такого вычисления                         Функция              является функцией запаса системы (1).

Пример.

А)          Рассмотрим          систе- му,       описываемую уравнениями где коэффициенты отличны от нуля,                . Обозна чим,           тогда система примет вид:

где

Выполняя действия и умножая первое и второе уравнения на малый параметр получим систему:

^2sPit^xiyi - ^2P2i<^bi^xi + ^а1^х1УД + ^Pityt

-^^рзД^ъ1^х1Ух + ^а1У^ = ^C¹ - A², - f₃²t)

-2£(/_ы/2. + f^DxiVi * £^21 + f^)yb

Yi (^p2i^xi + ^P3iyD = ^E27№i + f3i)^xi + (/2,

+       Приравнивая коэффициенты при не известных, получим систему уравнений

2=?!, - 2Р_гА - 2P₃₁b_t = -2_Еу₁₍^ + f₃₍

М.2Р_КЬ, = =№ + Й - У.2Р₃₁а, - 2s p₂₁ = -=Vi+®.p₂₁r_t = ^U_U + f«).

--^^^ pl - ^yM

2Vi " ¹¹        2^

и ~ fai ~ ₂'7zi ^— f*i ~ 2 ■   Тогда,

Функция запаса для i-ой подсистемы имеет вид

раметра ^ = ^0^7, =2_кг0^/Л i = 1,3;; = 1,4. Подставляя асимптотические разложения в систему уравнений и полагая, fl - ff — v получаем РА^Рг

_  3    _ z-0 _ V2 ! _ 1

~  ₂>Tz ~ /4 ~ ₂'Р3 ~ ₂' Функция запаса

+(2V2e+ —)х,у₆ + (2е + ■■■ )у²]. Следовательно, i-ая подсистема диссипативна относительно функции расхода w^i = 1,п.

Б) Рассмотрим систему, описываемую уравнениями х = 2х + у + Зи, су = х — у +2и, z = х. Функция расхода имеет вид w(u,x) = 2х2 + бхи + и2. Пусть система удовлетворяет условиям 1–5. Функцию запаса будем искать в виде ф(х,у) = (х у)р(ХуР=(Р1 РД Запи- шем необходимые и достаточные условия дис-сипативности данной cистемы относительно функции расхода w:

Выполняя действия

и умножая пер- вое и второе уравнения на малый параметр получим систему:          Т

+2Р₂(х² - ху) + 2sP₂(2xy + у²) + 2Р₃ ■ (ху - у²) = е(2х² - (Д² + Д²)х² - 2(Д ■ Д + №)^ХУ ~ (Д² + Ау²)"- ЗеР_гх + 2Р₂ ■ х + 3sP₂y + 2Р₃у = е(Зх + ^'^^ +

VzC/,+^)y

---—~—Приравнивая коэффициенты при

2     ?

неизвестных, получим систему уравнений

^еР_х + 2Р₂ = е(2 - f^ - f^), 2еР_х

-2Р_г + 4еР₂ + 2Р₃ = -2е(А/₂ + f₃f₄), 2е - Р₂ - 2Р₃ = -s(f₂² + /ДЗ^Р, + 2Р₂ = е

(^ ~^~ -^Г ) * ^^^2 ~^~ ^^3      ^*2"   * Функ ции ^i' fj представимы в виде асимптотических разложений по степеням малого па- ф(х,у) = x2 — 3sxy 4- £ —+ O(e2). Следовательно, данная система диссипативна относительно функции расхода w.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование моделей систем, описываемых сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений и изучено свойство диссипативно-сти разнотемповых систем относительно функции расхода. Найдена функция запаса линейной разнотемповой системы. Приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Автор выражает глубокую признательность профессору В.А. Соболеву за полезные обсуждения и ценные советы.