Двоичные коды и базовые векторы шестифазной электромеханической системы

Ид ея р еали зац и и э лек т р о т я г и с и сп о ль зо вани ем мн о г о ф азн о г о д ви г ат еля ( к о ли ч ест во ф аз бо лее т р ех) в н аст о я щ е е вр емя ст ан о ви т ся прив л екате л ь ной для м ног и х и с с л е дов а тел ей. Об этом свидетельствует значитель н о е к о ли ч ест во п у бл икац и й , н ап р авленн ы х н а и з у ч е ни е р азли ч н ы х аспек т о в мн о г о ф азн о го и сп о лн ени я э лек т р и ч еск их машин [1–6].

К роме из в е с т ных пре имуще с тв , а им е н но: сн ижен и е вибра ц и й эл е к тром а гни тного происх ожде н ия рад и а л ьного и танг ен ц иа л ь ного т ипов , уменьшение ном и на л ь ного фа з ного тока и повышение о т ка з о ус то йчи в ос ти, ув е личение кол иче с тв а фа з обм отки двига тел я п ре дос та в л яет до пол нител ь ные в оз м ож нос ти в у п ра в л е н ии, пр и ре а л из аци и цифров ых рег у л яторов. Многофа з ное исполне ни е эл е к тром е х а н иче с к и х с ис те м предполагает мод ерн из ац и ю програ мм н о го обе сп ече н ия ц ифр ов ой с и с тем ы у пра вл ения н а ос нов е сигнал ь ного проце с сора , ре а л изу юще го «в екторны й ре г у лятор » . З н ачи те л ь ный и нте рес пре дс та вл я ют исслед о ван и я во змо ж н о с т и п р и ме н е н ия а дд ити в н ой технологии при изготовлении мно г о ф аз н ой о б мо тки .

Ц е л ью ра бо ты я в ляе тс я к ла с с ифи ка ц ия б аз ов ы х в е к торов , пос трое ние диа гра м м ы в е рш ин базов ых в екторов и по дт в ер жде н ие фа к та : в е личи на мод у л я б аз ов ого в е к тора (ре зул ь тир у юще го в ект ор а ди скретны х с ос тоя ни й) при у в ел ичени и ч исл а фаз (число фа з че тно) с тре м итс я к в е личи не м одул я ре зул ь тир у юще го в екто ра не пре рыв ного в р ащ е н ия (а м плит у де с и н у с оиды ре зу л ьт ир ующего напряжения).

При изучении пространственно-векторной модуляции пятифазной и семифазной электромеханических систем было установлено: вершины базовых векторов располагаются на плоскости аналогично проекциям на плоскость вершин 5-куба и 7-куба соответственно. В связи с этим была построена диаграмма вершин базовых векторов шестифазной электромеханической системы и проведен ее анализ. При количестве фаз, равном шести, расположение вершин базовых векторов совпадает с расположением определенных точек правильного шестиугольника.

Эквивалентные схемы нагрузки шестифазного преобразователя и модули базовых векторов

Шестифазный преобразователь имеет N =2⁶ =64 логических состояний, каждое из которых соответствует двоичному коду. Из них: два «нулевых кода» 000000 и 111111, когда обмотки двигателя замкнуты накоротко нижними или верхними ключами, а также 62 «активных кода» 100000 – 011111. (Логическая «1» в двоичном коде соответствует состоянию стойки моста преобразователя: верхний ключ замкнут, а нижний – разомкнут; логический «0» соответствует состоянию: нижний ключ замкнут, верхний разомкнут).

Рис. 1. Функциональна схема шестифазной электромеханической системы Fig. 1. Functional diagram of a six-phase electromechanical system

Функциональная схема шестифазной электромеханической системы представлена на рис. 1, где изображено: шестифазная обмотка двигателя ABCDEF, соединенная по схеме «звезда» и под- ключенная к мостовому преобразователю. Верхние ключи обозначены нечетными цифрами, а нижние ключи – четными цифрами. Входное напряжение преобразователя U = 1. DSC/MCU -контроллер цифровой системы на основе микроконтроллера.

В те рм инол оги и «теори и и нформ ац и и» д ля случая определения количества ин форма ци и i в о д ном си м в ол е «а л фа ви та» м ощнос ти N (в одном л о г иче ском с ос тоян и и пре о бра з ов а те л я из N = 64 возможных состояний), з а коном е рнос ть приобр етает вид формулы Хартли:

i = log 2 N .

С оотв ет с тв е н но, м ощнос ть «ал фав и та» рав на N = 2 i ( i = m , где m - к ол иче ств о фа з дви га те ля).

N = 32 = 2 5

N = 64 = 2⁶

Активные двоичные коды формируют различ-

ные варианты эквивалентных схем нагрузки преобразователя в импульсном режиме. При этом ба-

зис в электротехническом смысле – это импульсные напряжения фазных обмоток. На рис. 2a–c приведены: обобщенные варианты эквивалентных схем, которые формируются двоичными кодами (символами «алфавита») на основе принципиальной схемы. Схема шестифазной обмотки, выполненная с количеством пар полюсов p = 4 и q = 1, приведе-

на на рис. 2d.

Возможные значения базиса приведены на рис. 2a–c. В зависимости от двоичного кода и эквивалентной схемы величины базиса приобрета-

ют

1 значения: ,

15  51  12  211

,,  ,,  ,,  ,,.

6  63  33  322

В данной работе сделан акцент на исследовании алгоритма на основе базового вектора (результирующего вектора дискретных состояний) с модулем 2, который соответствует эквивалентной схеме по рис. 2c.

N = 2048 = 2¹¹

a)

b)

c)

d)

Рис. 2. Эквивалентные схемы импульсной нагрузки шестифазного преобразователя и принципиальная схема шестифазной обмотки

Fig. 2. Equivalent circuits of the pulse load of a six-phase converter and the basic circuit diagram of a six-phase winding

В таблице приведены двоичные коды преобразователя и модули базовых векторов (результирующих векторов дискретных состояний), которые им соответствуют. Всего 62 варианта, из них: шесть базовых векторов с модулем 2, восемнадцать базовых векторов с модулем 3 , тридцать базовых векторов с модулем 1, восемь базовых векторов с модулем 0 (это тип «нулевого вектора», при котором в обмотках существуют импульсные напряжения (формируется базис), но в результате сложения базисных векторов результирующий вектор дискретных состояний равен нулю; базис есть, а результирующий вектор равен нулю).

Удобным инструментом для классификации базовых векторов многофазных систем и формирования кластеров является «треугольник Паскаля» (рис. 3) и формула биноминальных коэффициентов. Под кластером понимается совокупность базовых векторов, которые формируют симметричное многофазное напряжение дискретной формы. Шестифазной электромеханической системе соответствует шестая строка «треугольника Паскаля». Сумма чисел шестой строки N = 26 = 64 . Формула биноминальных коэффициентов Cnk (или число сочетаний из n по k); имеет вид:

Cn = ( n ) =------- . Для шестифазной системы

"    “    k !( n - к )!

n = 6, k = 1, 2, 3. (В электротехническом смысле n = 6 - это количество фаз).

Например, если к =3, то С 6 = ( 6 ) = ^^ ^ = 20.

Двадцать базовых векторов формируют кластеры векторов: шесть базовых векторов с модулем 2, двенадцать векторов с модулем 1 и два базовых вектора с модулем 0 (при ненулевом базисе). Двоичные коды векторов зафиксированы в таблице.

Матрица A соответствует симметричному шестифазному напряжению, изображенному на рис. 4. Столбцы матрицы A формируются двоичными кодами, которые соответствуют базовым

Двоичные коды преобразователя и модули базовых векторов Binary codes of the converter and basis vector modules

№ цифрового кода преобразователя	Цифровой код преобразователя ( A B C D E F )	Модуль базового вектора	№ цифрового кода преобразователя	Цифровой код преобразователя ( A B C D E F )	Модуль базового вектора
1	1 0 0 0 0 0	1	62	0 1 1 1 1 1	1
2	0 1 0 0 0 0	1	61	1 0 1 1 1 1	1
3	1 1 0 0 0 0	√3	60	0 0 1 1 1 1	√3
4	0 0 1 0 0 0	1	59	1 1 0 1 1 1	1
5	1 0 1 0 0 0	1	58	0 1 0 1 1 1	1
6	0 1 1 0 0 0	√3	57	1 0 0 1 1 1	√3
7	1 1 1 0 0 0	2	56	0 0 0 1 1 1	2
8	0 0 0 1 0 0	1	55	1 1 1 0 1 1	1
9	1 0 0 1 0 0	0	54	0 1 1 0 1 1	0
10	0 1 0 1 0 0	1	53	1 0 1 0 1 1	1
11	1 1 0 1 0 0	1	52	0 0 1 0 1 1	1
12	0 0 1 1 0 0	√3	51	1 1 0 0 1 1	√3
13	1 0 1 1 0 0	1	50	0 1 0 0 1 1	1
14	0 1 1 1 0 0	2	49	1 0 0 0 1 1	2
15	1 1 1 1 0 0	√3	48	0 0 0 0 1 1	√3
16	0 0 0 0 1 0	1	47	1 1 1 1 0 1	1
17	1 0 0 0 1 0	1	46	0 1 1 1 0 1	1
18	0 1 0 0 1 0	0	45	1 0 1 1 0 1	0
19	1 1 0 0 1 0	1	44	0 0 1 1 0 1	1
20	0 0 1 0 1 0	√3	43	1 1 0 1 0 1	√3
21	1 0 1 0 1 0	0	42	0 1 0 1 0 1	0
22	0 1 1 0 1 0	1	41	1 0 0 1 0 1	1
23	1 1 1 0 1 0	√3	40	0 0 0 1 0 1	√3
24	0 0 0 1 1 0	√3	39	1 1 1 0 0 1	√3
25	1 0 0 1 1 0	1	38	0 1 1 0 0 1	1
26	0 1 0 1 1 0	1	37	1 0 1 0 0 1	1
27	1 1 0 1 1 0	0	36	0 0 1 0 0 1	0
28	0 0 1 1 1 0	2	35	1 1 0 0 0 1	2
29	1 0 1 1 1 0	√3	34	0 1 0 0 0 1	√3
30	0 1 1 1 1 0	√3	33	1 0 0 0 0 1	√3
31	1 1 1 1 1 0	1	32	0 0 0 0 0 1	1

Рис. 3. Треугольник Паскаля как инструмент классификации базовых векторов

Fig. 3. Pascal's triangle as a tool for classifying basis vectors

Рис. 4. Диаграмма симметричного шестифазного напряжения

Fig. 4. Symmetrical six-phase voltage diagram

векторам. Коэффициенты базиса со ответствуют: (логическая «1» соответствует ; «0» соответс т-

справедливо следующее. Пусть B = { e 1 , e ₂,..., е ₆ } -базис линейного пространства U . Базовому вектору U соответствует столбец его координат

вует ~). Номера двоичных кодов преобразовате ля (49, 35, 7, 14, 28, 56) из таблицы, соответствуют двоичным кодам, которые формируют матрицу A и симметричное шестифазное напряжение. Столбец матрицы соответствует базовому вектору, строка – дискретной форме фазного напряжения.

U ] B =

[ x 1

x 2

I * 6 )

в базисе B , модуль которого опре-

	' 111000л	A
	011100	B
A =	001110 000111	C D
	100011	E
	^ 110001 )	F

деляются формулой | и | = ^

x_ie_i .

i = 1

Построение базового вектора U , который соответствует, например, первому столбцу матрицы A, приведено на рис. 5. При единичном входном напряжении преобразователя коэффициенты 11 базиса равны: х 1 = х ₅ = х ₆ = — , х ₂ = х ₃ = х 4 = -— ,

При определении базового вектора (результ и рующего вектора дискретных состояний), который соответствует определенному двоичному коду,

а модуль вектора | и | = 2 .

Амплитуда формы фазного

первой гармоники дискретной

изображенного на

a)

напряжения,

b)

Рис. 5. Эквивалентная схема нагрузки преобразователя (a) и построение базового вектора, который соответствует коду 1 0 0 0 1 1 (b)

Fig. 5. Equivalent circuit of the converter load (a) and construction of the basis vector, which corresponds to the code 1 0 0 0 1 1 (b)

22 рис. 4, тождественно равна величине ( – это л л величина модуля обобщенного вектора напряжения). Величина модуля результирующего вектора напряжения в многофазной системе определяется: m ■ —, где m - число фаз. Следовательно, величина 2 п модуля результирующего вектора напряжения шестифазной системы равна . Этот результи- л рующий вектор позиционируется как вектор непрерывного вращения, в отличие от базового вектора, который является вектором дискретных состояний. Очевидно, что модуль результирующего вектора примерно равен модулю базового вектора.

На рис. 5 т ак ж е пр ив е дена эквив ал е н тная сх е м а на гр узки пре обра з ов а те ля в имп у л ьс ном р е ж и ме , котора я форм ир у е тс я цифров ым кодом 1 000 1 1 . Зн ак коэффиц ие н та ба зис а опре дел яетс я по э л е ктротех н иче с к им прав и л а м : е с л и в обм отк у им п у л ь сный ток в тека е т, то з на к коэффи ц ие н та пол ожител ь н ый ; е с л и в ы тека е т, то з нак отри цательный.

Аналитически по рис. 5 м од у л ь ба з ов ого в ектора (ре з ул ь тир у юще го в ектора дискре тны х состоян и й, который соотве тствует код у 1 0 00 1 1)

ношению двух равных линейных напряжений. Многофазная система (с любым числом фаз) формирует базовый вектор с единичным модулем! Системы с количеством фаз более трех, кроме единичного вектора, формируют базовые векторы с другими модулями. Например, пятифазная система формирует базовые векторы с модулями 1,618; 0,618 и 1; семифазная – с модулями 2,247; 1,802; 1,247; 1; 0,802; 0,555; 0,445 и 1,41. Этот вывод зафиксирован в работах [7, 8].

Расчет модулей базовых векторов

Таким образом, модуль базового вектора с модулем 2 шестифазной системы определяется

выражением

I U = —-— = —-— = 2, а модуль ба- п . л sin sin m 6

зового вектора 3 может быть определен из гео

. 2л.л sinsin метрии окружности: U =---m =--3 = 3Ъ .

sinsin m6

Выражения справедливы при любом четном количестве фаз m .

Например, для восьмифазной электромеханической системы максимальный модуль из геомет-

определяется U

= 1 + 2 ■ c os ^П = 2 .

рического расчета равен

Рис. 6. Линейные напряжения шестифазной системы Fig. 6. Linear voltages of a six-phase system

I U I = -17

sin m

sin ^{П   sin22},5

= 2,613,

а из расчета по модулям базисных векторов модуль базового вектора равен

|U | = 2 ■ sin 22,5 ° + 2 ■ sin 67,5 ° = 2,613.

Модули векторов, полученные из расчетов по двум формулам, тождественно равны, но для анализа удобней пользоваться формулой, полученной из геометрического расчета. Если рассмотреть

предел функции lim m ^и . Л sin

m

m

, то получается,

Л

что модуль базового вектора (модуль результирующего вектора дискретных состояний) при увеличении числа фаз стремится к модулю результирующего вектора непрерывного вращения (амплитуде синусоиды результирующего напряжения),

На рис. 6 п ред ставл е ны усл ов ные линей ные на пря ж ен и я шес т ифа з ной сис те м ы). Из рис . 6 очев ид но, что отноше н ие м акс им а л ь ны х линейны х напряжений U _Л2 и U _Л3 к м и нима л ь н ом у U _Л1 равно 3 и 2. Эт и м од у ли с оотв е тству ют данным таблицы, т. е. м од ули ба зов ых в е к торов им е ют геометрическую интерпретацию.

Ед и нич ный м од у л ь ба з ов ого в е ктора с оотв етствует, наприм е р, ка к в тр е х фа з ной сис те м е , о т-

который равен , где m – число фаз. Этот вывод Л справедлив для модуля максимального базового вектора многофазной системы при любом количестве фаз.

Учитывая, что «частота» следования базовых векторов в цикле при увеличении количества фаз также возрастает, можно предположить избыточность режима синусной широтно-импульсной модуляции, который необходим для трехфазной системы.

П рин ц и п м ож но с ф ормулиров а ть с л е д у ющ им о б ра зом : «непре рыв нос ть» в трех фа з ной с исте м е достигается посредс тв ом «вре м е ни » и ли с ин у сной Ш ИМ, а при у в ел ичени и ч ис л а фа з ис пол ьзу е тся «пространственный фактор».

Обсуждение

На рис. 7 а изо б р а же н а д и а гр амма вер шин ба зо вы х в ект о р о в ш ес т и фазн ой эле к т р о ме ха ни ч ес к о й си с т емы . М одул и в ект о р о в пр и ве д е н ы в т а блиц е.

Вершины век торов с м оду л е м 2 обра зуют один «слой» (на рис. 7а – э т о в е кторы 1–6).

Вершины векторов с модулем 3 формируют три «с л оя » и они с оотв етс тву ю т в ос е м на д ца т и в ектора м та б л и цы; в е ктор ы не коллине а рные по отношению к векторам с модулем 2 и 1 (н а р ис. 7а – это векторы 7–12).

В е ршин ы в е к торов с м оду л е м 1 форм ируют пять «сл ое в » (он и с оотв е тству ют три дцати в е к торам таблицы (на рис. 7а – э то в е кторы 13 –18).

Десять вершин «нулевых векторов». Всего 64 вершины.

На рис. 7b изображен правильный шестиугольник. Если предположить, что OA = 2 , тогда OG = 3 , OH = 1 , т. е. пропорции модулей базовых векторов шестифазной системы, представленных на рис. 7а, совпадают с пропорциями отрезков шестиугольника, изображенного на рис. 7b.

Для сравнения на рис. 8а приведена диаграмма вершин базовых векторов пятифазной электромеханической системы: вершины десяти базовых векторов с модулем 1,618, вершины десяти базовых векторов с модулем 0,618, вершины десяти базовых векторов с модулем 1 и вершины двух нулевых векторов, которые расположены в нулевой точке системы координат. Диаграмма формируется из трех кластеров (по десять) коллинеарных векторов. Пропорции диаграммы совпадают с пропорциями отрезков рис. 8b, на котором изображены проекции на плоскость вершин 5-куба [9].

a)

Рис. 7. Диаграмма вершин базовых векторов шестифазной электромеханической системы Fig. 7. Diagram of the vertices of the basis vectors in a six-phase electromechanical system

a)

b)

Рис. 8. Диаграмма вершин базовых векторов пятифазной электромеханической системы Fig. 8. Diagram of the vertices of the basis vectors in a five-phase electromechanical system

Аналогично формируется диаграмма вершин базовых векторов семифазной системы. Вершины 14 базовых векторов с модулем 2,247, вершины 14 базовых векторов с модулем 1,802 и т. д. с модулями 1,247, 1, 0,8, 0,555, 0,445 (векторы коллинеарные с осями обмотки), а также 28 вершин векторов с модулем 1,41 (эти векторы не коллинеарные с осями). Данная диаграмма соответствует пропорциям проекции вершин 7-куба на плоскость [9].

Диаграммы вершин базовых векторов при нечетном числе фаз соответствуют пропорциям проекций n-куба на плоскость. Три фазы – это 3-куб, пять фаз – это 5-куб, семь фаз – это 7-куб и т. д.

Диаграммы вершин базовых векторов при четном числе фаз не соответствуют проекциям вершин n-куба на плоскость. Вершины базовых векторов четырехфазной системы формируют квадратную решетку; вершины базовых векторов шестифазной системы изображены на рис. 7а.

Выводы

• 1.    Получены численные значения модулей базовых векторов напряжений (результирующих векторов дискретных состояний) для шестифазной электромеханической системы.

• 2.    Предложен геометрический способ вычисления модулей базовых векторов четно-фазной системы.

• 3.    Установлено, что при увеличении числа фаз двигателя (четное число фаз) величина модуля базового вектора напряжения (результирующего вектора дискретных состояний) стремится к величине модуля «результирующего вектора непрерывного вращения».