Двухпроводная электрическая линия с произвольными параметрами

Для двухпроводной электрической линии с произвольными параметрами предложен способ вычисления тока в общем виде, основанный на использовании преобразования Лапласа.

Двухпроводная электрическая линия описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [1]:

dl T Si„

--+ L-- + Ri — 0

dxd

di

— + C— + Ge — 0 dxd

Все обозначения, кроме вводимых автором данной работы, соответствуют обозначениям, заимствованным из [1]. Применяя к системе уравнений (1) преобразование Лапласа, для изображений напряжения E(x,s) и тока I(x,s), оригиналы которых соответственно равны e(x,t) и i(x,t), получим систему операторных уравнений:

dE

+ (Ls + R)I = 0 dx

--+ (Cs + G)E = 0 dx

Исключая из системы (2) последовательно I(x,s) и E(x,s), получим для них независимые уравнения:

d2E    2d2I

—- - hE — 0, —--hl — 0.

dx2

Решениями уравнений (3) являются выражения: sh ( ⁽l ^- x^)h(s) )

E(x,s) E(0,s) sh (lh(s))

I(x,s) = E(0,s)

I Cs + G V Ls + R

ch ( (l — x)h(s) )

sh ( lh(s) )

где l – длина линии; h2(s)=(Ls+R)(Cs+G); E(0,s) – изображение начального значения напряжения, оригинал которого считается существующим и равным e(0,t).

Оригинал e(x,t), соответствующий изображению E(x,s), легко вычисляется разложением множителя при E(0,s) в (4) в ряд и почленным его переводом в пространство оригиналов [1].

Оригинал i(x,t) аналогичным способом вычислен быть не может из- за наличия в изображении I(x,s) в (5) множителя

I Cs + G V Ls + R

В конкретных расчетах ограничиваются рассмотрением частных

случаев, преобразуя

сопротивление

I R + Ls

V G + Cs

операторное характеристическое в постоянный множитель [2]. Указанное

затруднение можно преодолеть, используя известное свойство преобразования Лапласа [3]:

пусть существует соответствие f(a,t) — F(a,s), где a - параметр, f(a,t) -оригинал, F(a,s) – его изображение, тогда имеет место правило:

-df(a,t) - -dF(a,s) . da       da

Применим это правило для нахождения оригинала i(x,t).

Изображение I(x,s) в (5) разложением в ряд приводится к виду:

I(x,s) = -1 • E(0,s>

R o s + 1

^               ^

£ h(s)e ^— z i ^h(s) + £ h(s)e ^— z 2 ^h(s)

n = 0                   П 2 = 1

,

где o =L/R , z₁=2ln₁+x , z₂=2ln₂-x .

Коэффициенты z1 и z2 по отношению к переменным s, t являются параметрами. Используя правило (6), запишем:

df l ^t) - — E(0, s)h(s)e ^— z^{1 h(s)} , f (t) - E(0, s)e ^— z^{1 h(s)} ;

dz1

df ² ^!) - — E(0, s)h(s)e ^{— z} 2 ^h(s) , f (t) - E(0, s)e ^{— z} 2 ^h(s) . dz₂

Зная оригиналы f1(t) и f2(t) для отдельных членов ряда (7) и применяя к нему почленно теорему свертывания, получим:

t

^

t.                   ^

i^t)=—rI g(t—t) £

^R n             n, =0

df i ( т ) + £ df 2 (T) dz i     П 2 = , dz 2

^{d T} ,

11 где g(t) -       , g(t) = e os +1         о

Оригинал fv(t) изображения E(0, s)e zvh(s), (V = 1,2) вычисляется по формуле [1]:

0 при 0 <  t < a z _v ,

I , ( ₽ 2 V ^т 2 -^{a 2}z v ) VT ² —a ²z 2"

d T

e Y,Zve(0,t — azv) + y2zv J e(0,t — т)e e,T azv

при t > a z _v для второго значения.

Выражения (8) и (9) дают решение задачи.