Двухтемпературная модель процесса теплопроводности через ограждающие конструкции зданий и сооружений

В процессе нестационарного теплообмена ограждающих конструкций зданий и сооружений, содержащих теплопроводные включения, возникает ряд задач, не решаемых классическими методами теории теплопроводности [1-4]. Примером такой системы может являться металлическое включение. В этой системе в нестационарном случае температура электронного газа может существенно отличаться от температуры решетки. Этот факт и объясняет высокую теплопроводность металлов. Другим наглядным примером может являться прохождение теплового электромагнитного излучения, характеризуемого своей температурой T , через полупрозрачные ограждения, при котором происходит обмен энергией между решеточной структурой и излучением. Однако, это не единственная проблема классической теории теплопроводности, классическое уравнение теплопроводности в некоторых случаях «перестает» точно описывать теплоперенос. Исправлению уравнения теплопроводности посвящено достаточно много работ. Первым, кто предложил использовать уравнение Фурье с демпфером (чтобы избежать парадокса с бесконечной ско- ростью распространения тепла, присущего всем уравнениям параболического типа) был Дж. Максвелл [5]. Позднее В.А. Фок [6] впервые рассмотрел гиперболическое уравнение для передачи энергии. Позднее Каттано [7] подробно изучил данный вопрос. Для быстро протекающих тепловых процессов (типа тепловых ударов) вариант волновой теории предложен Г.А. Гениевым [8].

Учет запаздывания приводит к уравне- ниям вида

Тр ^ + q = -XV T;(1)

ot d 2T tp -^T + "^ = div [ aTgradT].

Здесь T ( x , y , z ) – искомое поле температур; q – плотность теплового потока; λ – ко

Х эффициент теплопроводности; ат —--- - ко- сV Р эффициент диффузии тепла (коэффициент температуропроводности); с и ρ – удельная теп- лоемкость и плотность материала соответственно; тр - время релаксации.

Уравнение типа (2) описывает большинство явлений переноса. Теоретические оценки показывают, что время релаксации тр для большинства твердых тел весьма невелико, хотя эмпирически введенное тр исправляет нестационарные тепловые поля.

Следует отметить, что даже для однородной гомогенной среды имеется не один механизм передачи тепла. Переносимую часть внутренней энергии можно трактовать как неравновесный фононный газ, диффундирующий в общем случае по разным механизмам (в твердых телах существует не менее двух мод колебаний – продольные и поперечные волны).

Процесс передачи тепла с позиций современной физики можно рассматривать как диффузию аддитивной скалярной величины тепловой энергии с внутренней структурой. Каждый резервуар энергии (различные степени свободы, например, колебательная, вращательная и т.д.) в соответствии с общей теорией переноса [9-11] будем называть каналами распространения, и приписывать свою квазиравновес-ную локальную температуру.

Ограничимся рассмотрением прохождения тепла через плоскую ограждающую конструкцию при наличии двух механизмов теплопроводности, т.е. двух подсистем, каждая из которых характеризуется своей температурой T 1 и Т 2 . Примером такой системы может служить металлическое включение, состоящее из электронов с температурой Т e и атомной решетки с температурой Т s .

Пусть вдоль оси OX (одна обобщенная координата) распространяется тепловая энергия с общей плотностью U ( x,t ) = U ( x,t ) + U ₂ ( x,t ) , со скоростями с 1 с с 2 соответственно. Так как энергия распространяется как по оси OX, так и в противоположном направлении, то плотности энергии будем приписывать символы ^ и ^ . Составим четыре уравнения баланса энергии.

1 д Ф ^ 1     д Ф ^ 1

~--——  -----[ ^а _п + a i2 ⁺ (')., ] Ф ^! + ...

С  д t

... + ^а_п^Ф 1 + a 2 Ф 2 ⁺ ° 21 ^Ф _> 2;

1 д Ф^ _ д Ф^

С  д t

... ^— [ ^а.. + a i2 +Ш 12 ] Ф ^ 1 + ...

... + а Ф . + а 2 Ф ,  ■ О 2 Ф 2 ;

± д Ф _ 2 ₌ д Ф .

С2   д t         дx...

... — [ а22 + а21+^21] Ф-> 2 +...(3)

... ⁺ а 22 Ф 2 ⁺ аФ . + О . Ф ,

1 д Ф^ _ д Ф^

С д t

... — [ а ₂₂ + а ₂ +^21 ] Ф^ 1 + ...

... + а .. Ф , 2 + а 2 ^Ф ,   + О Ф . .

Здесь ^Ф^ 1 = C1U^ 1 , (Ф^ 2 = С1и^ 2   то ки тепла на каждом из двух каналов, распространяющиеся в положительном (^) и отрицательном (^) направлении оси OX.0

Матрица показателей рассеяния аnk описывает диффузию тепловой энергии. Показате- ли прохождения ^2 и ш21 - вероятность перехода на единицу длины без изменения направления распространения из одного резервуара энергии в другой.

Введем плотности потоков тепла на ка- ждом из двух каналов соответственно

9 1 , 2 ( ^X,t ) ^{- Ф} ^ 1 , 2 ( ^x,t ) - ^Ф ^ 1 , 2 ( ^x,t ) •    (4)

Аналогично плотность энергии на каждом канале будет равна

^U 1 , 2 - 71- [ ^Ф - 1 , 2 ( x,t ) + ^Ф ^ 1,2 ( x,t ) ] •  (5)

C 1 , 2

Почленно складывая и вычитая уравнения в системе (3) с учетом соотношений (4) и (5), получим следующую систему уравнений теплопроводности:

-—- ^{— —} —   ^{( а}12 ⁺ ^ 12 ) C 1 U 1 ^{+ ( а} 21 ^+Ю 21 ) ^C2^U 2 ;

д tд ди2

^{( а} 21 ⁺ ® 21 ) ^C2^U 2 ^{+( а} 12 ^+Ю 12 ) C 1 U 1 ;

Су t^у^x

1 д^1=_ c^Ul С д t

... ^{— ( а} 21 -^ 21 ) q 2 ;

[ ² a ll ⁺⁽ a 12

^{+ Ю} 12 ) ] q l - -

1 д q .     ^д

„   -      С.2  -     |_2a22 +(a21 +®21 )_| q2

С ^ 2 Су t

... — (а12 — 012 ) qi.(7)

Система уравнений (6) представляет собой баланс энергии с учетом перехода тепла с одного канала распространения на другой. Система уравнений (7) является обобщенным законом Фурье и в случае наличия только одного канала распространения переходит в гиперболическое уравнение теплопроводности (1).

Так как время релаксации у существующих конструкционных материалов невелико, то систему уравнений (7) можно переписать в виде

**

dT1

qi = —Xn       X12

dxdx

„     du,. dTL q 2     X 21   7     X 22   7

dxdx что является естественным обобщением закона Фурье. Матрицу λ в выражении (8) будем называть матрицей коэффициентов теплопроводности. Матричные элементы матрицы теплопроводности, используя уравнение (7) можно легко выразить через введенные выше показатели рассеяния и прохождения, а именно:

2 а 22 + ( а 21 + ^21 ) X =------------- с1р1С1;

¹¹             A

X ₁₂   "'  / а  с 2 р 2 С 2 ;

A

X,

X

² а_и + ( а 12 + Ю 1₂ )

'22 “         A

® ^{12 —} а ¹²

’ 12           д       ^с 1 ^р 1 1 ;

(9) с 2 P 2 С 2 ;

A = 4 а^а^ 2 + 2 |^ а^ । ( а 2 ] + ш^ ) + ••• где ...+ а . Л а + ш ) + ш а + ш

22    12      12          21 12      1 а ₂₁ 2

- определитель системы (7); С 2 и р12 - теплоемкость и плотность для первой и второй подсистемы соответственно. Для металлов это плотность и теплоемкость электронного газа и решетки соответственно – известные величины для большинства металлов и сплавов. В со- стоянии равновесия с учетом принципа детального равновесия имеем:

а₁₂с Р! С = а₂₁с ₂ Р2 С ; Ш 2 с Pi С = Ш С р₂ С.

Из соотношения (10) вытекает следующее следствие:

^ш 12    ^ш 21

, а 12     а 21

что позволяет уменьшить число неизвестных характеристик материала. В частности из соотношения (10) следует справедливость соотношения взаимности Онсагера для двухтемпературной модели

X 12 =Х 21 =Л . (12)

Показатели рассеивания а и а связаны со средней длиной свободного пробега фононов l и l в каждой из подсистем следующим образом [11]

^а 11 = Т" ; а 22 = у .

l ₁₁              l ₂₂

Подставляя выражение (8) в систему уравнений (6) и пренебрегая в силу их малости временами релаксации, получим следующие уравнения теплопроводности для обеих подсистем:

d T __Xi^d 2 T_ Л d² Т₂

d t ” С, р! d x²   C р, d x ²   “'

...+ ^{( а} 12 ^+ш 12 ) C 1 ⁽ T 2 ^— T 1 ) ^;

d T ^£2^ ₊ ^_d T L₊^{к ?}

d t    С, р₂ d x ²    С ₂р₂ d xx

...+ ⁽ a 21 ^+ш ₂ 1 ) C 2 ^{( Т} 1 - T 2 ) .

В случае металлических включений при комнатной температуре электронная теплоемкость составляет не более 2 – 8 % от решеточ- ной, т.е. ^еРе □ 2 — 8 % [12], причем с пониже-Cs Р8

нием температуры вклад убывает. Наоборот решеточная теплопроводность в металлах составляет 3 – 5 % от теплопроводности электронного газа [12]. Термоупругость металлов целиком определяется решеточной составляющей тепловой энергии, что и позволяет определить температуру решетки. Если же удается поддержать на концах металла постоянную разность температур AT, то экспериментально определяемый коэффициент теплопроводности согласно (8) равен q = —X^T = —(X+X+ 2Л)^Т .  (15)

A X   ^V e ^{s      7} A X

Однако, в силу неравновесности про- цесса теплопередачи при экспериментальном определении коэффициента теплопроводности металлов, электронная и решеточная температуры не совпадают, что и приводит к так называемому масштабному эффекту (зависимости свойств материала от его линейных размеров). Наличие двух температур позволяет в рамках классической физики объяснить и описать данное явление. Двухтемпературная модель применима и к описанию гомогенной двухфазной среды с существенно отличающимися коэффициентами теплопроводности обеих фаз.

Учет двух температур оказывает существенное влияние и при расчете теплоустойчивости ограждающей конструкции.

Заметим, что характер решения системы уравнений (14) существенно зависит от структуры падающего теплового потока, что требует более корректного задания граничных условий.

Двухтемпературная модель позволяет существенно сблизить расчетные и экспери- ментальные поля температур.